Determinantes, inversa y sistemas
Una tienda vende dos tipos de lotes y sabes cuántos cuadernos y bolígrafos se han despachado en total. ¿Puedes averiguar cuántos lotes de cada tipo se vendieron? A veces hay una única respuesta, a veces ninguna y a veces infinitas. El determinante y la matriz inversa te dicen cuál de los tres casos tienes antes de ponerte a calcular.
Determinante e invertibilidad
Calcula el determinante de $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ y decide si tiene inversa.
Calcula el determinante de $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ y decide si tiene inversa.
Calcula $\det A$ para $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&4\\0&0&5\end{pmatrix}$. ¿Cómo cambia el determinante al intercambiar las dos primeras filas? Justifica ambas…
Calcula $\det A$ para $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&4\\0&0&5\end{pmatrix}$. ¿Cómo cambia el determinante al intercambiar las dos primeras filas? Justifica ambas respuestas.
Determina para qué valores de $k$ es invertible $A=\begin{pmatrix}k&2\\3&1\end{pmatrix}$.
Determina para qué valores de $k$ es invertible $A=\begin{pmatrix}k&2\\3&1\end{pmatrix}$.
La matriz inversa
Comprueba mediante multiplicación si $B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ es la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$.
Comprueba mediante multiplicación si $B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ es la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$.
Obtén la inversa de $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ y comprueba el producto.
Obtén la inversa de $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ y comprueba el producto.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ y comprueba al menos una fila del producto $AA^{-1}$.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ y comprueba al menos una fila del producto $AA^{-1}$.
Sistemas en forma matricial
Cada ecuación es una recta. Resolver el sistema es buscar el punto donde se cortan.
Escribe como $Ax=b$ el sistema $2x+y=7$, $x+3y=11$, indicando la matriz de coeficientes y los vectores de incógnitas y términos independientes. La figura muestra las dos…
Escribe como $Ax=b$ el sistema $2x+y=7$, $x+3y=11$, indicando la matriz de coeficientes y los vectores de incógnitas y términos independientes.
La figura muestra las dos ecuaciones como rectas.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\7\end{pmatrix}$.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\7\end{pmatrix}$.
Una tienda vende lotes A y B. El lote A contiene dos cuadernos y un bolígrafo; el B, un cuaderno y tres bolígrafos. Se han vendido en total $31$ cuadernos y $33$…
Una tienda vende lotes A y B. El lote A contiene dos cuadernos y un bolígrafo; el B, un cuaderno y tres bolígrafos. Se han vendido en total $31$ cuadernos y $33$ bolígrafos. Plantea y resuelve el sistema mediante una matriz inversa y comprueba que las cantidades de lotes son viables.
Discusión de sistemas: ninguna, una o infinitas soluciones
Decide sin resolver si el sistema $x+2y=3$, $2x+4y=8$ tiene solución y relaciona la conclusión con sus filas.
Decide sin resolver si el sistema $x+2y=3$, $2x+4y=8$ tiene solución y relaciona la conclusión con sus filas.
Discute el número de soluciones de cada sistema sin intentar invertir una matriz singular: $x+2y=3$, $2x+4y=6$; y $x+2y=3$, $2x+4y=7$.
Discute el número de soluciones de cada sistema sin intentar invertir una matriz singular: $x+2y=3$, $2x+4y=6$; y $x+2y=3$, $2x+4y=7$.
Estudia el sistema $x+ay=2$, $ax+y=2$ según el parámetro real $a$: señala cuándo tiene una solución, ninguna o infinitas, y da las soluciones en cada caso compatible.
Estudia el sistema $x+ay=2$, $ax+y=2$ según el parámetro real $a$: señala cuándo tiene una solución, ninguna o infinitas, y da las soluciones en cada caso compatible.
Sistemas triangulares y sustitución regresiva
Reducir por filas la matriz aumentada $(A\,|\,b)$ lleva a una forma escalonada. Entonces se resuelve de abajo arriba: la última ecuación da una incógnita y se sustituye hacia arriba.
Una matriz aumentada se reduce por filas a $\begin{pmatrix}1&2&0&5\\0&1&3&4\\0&0&1&1\end{pmatrix}$. Resuelve el sistema por sustitución regresiva.
Una matriz aumentada se reduce por filas a $\begin{pmatrix}1&2&0&5\\0&1&3&4\\0&0&1&1\end{pmatrix}$. Resuelve el sistema por sustitución regresiva.
Una matriz aumentada de tres ecuaciones se reduce a $\begin{pmatrix}1&2&-1&4\\0&1&3&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. Describe todas las soluciones mediante un parámetro y…
Una matriz aumentada de tres ecuaciones se reduce a $\begin{pmatrix}1&2&-1&4\\0&1&3&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. Describe todas las soluciones mediante un parámetro y decide si existe alguna con sus tres componentes no negativas.
Resuelve el sistema triangular $x+2y-z=3$, $2y+z=5$, $3z=9$ y calcula el determinante de su matriz de coeficientes.
Resuelve el sistema triangular $x+2y-z=3$, $2y+z=5$, $3z=9$ y calcula el determinante de su matriz de coeficientes.
Sensibilidad: cuando el determinante es casi cero
Un determinante muy próximo a cero indica que las dos ecuaciones son casi la misma recta. Entonces el punto de corte se mueve mucho si los datos cambian un poco.
Resuelve $x+2y=8$, $3x+5y=21$ utilizando determinantes o la inversa de la matriz de coeficientes.
Resuelve $x+2y=8$, $3x+5y=21$ utilizando determinantes o la inversa de la matriz de coeficientes.
Discute y resuelve, según $k$, el sistema $x+y=2$, $x+ky=3$.
Discute y resuelve, según $k$, el sistema $x+y=2$, $x+ky=3$.
Una matriz cuadrada $A$ verifica $A^2-3A+2I=0$. Demuestra que tiene inversa y exprésala usando $A$ e $I$.
Una matriz cuadrada $A$ verifica $A^2-3A+2I=0$. Demuestra que tiene inversa y exprésala usando $A$ e $I$.
Vuelve al principio: con el sistema $2a+b=31$, $a+3b=33$ el determinante es $5\neq0$, así que hay una única combinación de lotes, que se obtiene con $A^{-1}b$.