Ejercicios: Matrices, operaciones e interpretación

Las ventas de dos tiendas de los productos A, B y C son $V=\begin{pmatrix}12&8&5\\7&10&9\end{pmatrix}$. Identifica las dimensiones, interpreta $v_{23}$ y calcula el total vendido de cada producto.

Calcula $2A-B$ para $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&4\end{pmatrix}$.

Una matriz $A$ tiene $2$ filas y $3$ columnas y una matriz $B$ tiene $3$ filas y $4$ columnas. Indica cuáles de $AB$, $BA$ y $A+B$ existen y las dimensiones de los resultados válidos.

La matriz $A=\begin{pmatrix}4&7&2\\6&1&5\end{pmatrix}$ registra ventas: filas tiendas, columnas productos. Indica su dimensión e interpreta $a_{23}$.

Calcula $A+B$ para $A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}$.

Escribe la traspuesta de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ e indica sus dimensiones.

Si $A$ tiene dimensión $2\times3$ y $B$ dimensión $3\times4$, decide si existen $A+B$, $AB$ y $BA$. Indica las dimensiones de los resultados posibles.

Calcula $\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ e interpreta el resultado si el primer vector son cantidades y el segundo precios unitarios en euros.

Las unidades vendidas por dos sucursales son $V=\begin{pmatrix}4&6\\3&8\end{pmatrix}$, con columnas correspondientes a dos productos. Sus precios unitarios en euros son $p=\begin{pmatrix}12\\5\end{pmatrix}$. Calcula $Vp$ e interpreta cada componente.

Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}$, calcula $AB$ y $BA$. Usa los resultados para evaluar la afirmación «el orden de los factores no importa».

Una fábrica usa $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ horas por unidad: las filas representan corte y montaje; las columnas, productos A y B. Calcula las horas necesarias para fabricar $\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ unidades e identifica el proceso que requiere más horas.

El esquema muestra las necesidades de cada producto.

El gasto de dos departamentos en dos meses es $G=\begin{pmatrix}120&150\\80&100\end{pmatrix}$, en euros. Las filas representan departamentos y las columnas, meses. Escribe $G^T$ e interpreta sus filas. Construye una multiplicación matricial que sume el gasto de cada departamento.

Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$. ¿Conmutan?

Resuelve $2X+A=B$ si $A=\begin{pmatrix}2&0\\-2&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}6&8\\0&2\end{pmatrix}$.

Sea $V=\begin{pmatrix}10&5\\4&8\end{pmatrix}$, con filas tiendas y columnas artículos. Calcula el vector de ingresos de cada tienda para precios $p=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ y el ingreso conjunto.

Determina $x$ para que $A=\begin{pmatrix}2&x+1\\5&3\end{pmatrix}$ sea simétrica y calcula entonces $A+A^{\mathsf T}$.

Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, comprueba si $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$. Explica el origen de cualquier diferencia.

Dos talleres fabrican A y B según $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con talleres por filas. Cada unidad usa materiales según $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, con productos por filas y materiales X e Y por columnas. Calcula $QR$ y, si los materiales cuestan $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ euros por unidad, el coste material de cada taller. Explica por qué $RQ$ no representa esa misma operación.

Encuentra una matriz no nula $N$ de dos filas y dos columnas tal que $N^2=0$. Verifica tu ejemplo y explica por qué no se puede concluir $N=0$ a partir de $N^2=0$.

Sea $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Calcula $N^2$ y $(I+N)^2$. Explica por qué $N^2=0$ no obliga a $N=0$.

Encuentra todas las matrices diagonales $D=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$ que conmutan con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.

Si $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, calcula $A^2$ y $A^3$ y propone una fórmula para $A^n$ con $n$ entero positivo. Justifica multiplicando una vez más.

Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, calcula $(AB)^{\mathsf T}$ y $B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$. Explica qué orden conserva la igualdad.

Dos tiendas venden tres productos según $V=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$. Sus costes unitarios son $c=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}$ y precios $p=\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}$. Calcula el margen bruto por tienda mediante un único producto matricial.