Ejercicios: Modelos matriciales de producción

Una producción bruta $x$ satisface $x=0,2x+80$: una quinta parte se consume internamente y $80$ unidades se destinan a demanda final. Calcula $x$ y la parte consumida internamente.

El esquema representa el consumo interno y la salida a demanda final.

En un modelo $x=Ax+d$, $x$ y $d$ son vectores columna de producción y demanda final, y $a_{ij}$ es la cantidad del bien $i$ necesaria por unidad producida del bien $j$. Interpreta los cuatro coeficientes de $A=\begin{pmatrix}0,1&0,3\\0,2&0\end{pmatrix}$.

Con $A=\begin{pmatrix}0&0,2\\0,1&0\end{pmatrix}$ y $x=\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}$ unidades, calcula el consumo intermedio $Ax$ y la demanda final $d=x-Ax$.

Cada mesa necesita $3$ horas de carpintería y $1$ de acabado; cada silla $1$ y $2$, respectivamente. Escribe la matriz de recursos con filas tareas y columnas productos y calcula los recursos para $4$ mesas y $5$ sillas.

En $r=Aq$, las filas de $A$ representan materias primas y las columnas productos. Explica qué significa $a_{ij}=2,5$ y qué unidad debe tener.

La matriz de consumo es $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$. Calcula el incremento de recursos si la producción aumenta en $\Delta q=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$.

Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}$ y recursos disponibles $r=\begin{pmatrix}10\\12\end{pmatrix}$, comprueba si fabricar $q=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ es viable sin superar recursos.

Cada unidad del producto A usa $2$ kg de material y cada unidad del B usa $5$ kg. El material cuesta $3\ \text{€}$ por kg. Escribe el vector fila de costes de material por producto.

Con el convenio $a_{ij}$ = unidades del bien $i$ por unidad del bien $j$, resuelve $x=Ax+d$ para $A=\begin{pmatrix}0,2&0\\0,1&0,5\end{pmatrix}$ y $d=\begin{pmatrix}40\\30\end{pmatrix}$. Comprueba que la producción satisface tanto los consumos internos como la demanda final.

En un modelo de producción, $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$. Calcula el incremento de producción necesario si la demanda final aumenta en $\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$ unidades. Interpreta por qué puede superar el aumento de demanda.

Una empresa planifica $x=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}$ unidades y tiene $A=\begin{pmatrix}0,5&0,25\\0&0,5\end{pmatrix}$. Calcula la demanda final que podrá atender. ¿Puede atender $\begin{pmatrix}25\\25\end{pmatrix}$ sin cambiar su plan?

Dos productos necesitan horas según $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, con procesos por filas, y se dispone de $\begin{pmatrix}50\\40\end{pmatrix}$ horas. Si se usan exactamente todas las horas, calcula la producción de cada producto y comprueba las dos restricciones.

Un taller usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ horas de dos tareas por producto. Si consume exactamente $r=\begin{pmatrix}14\\13\end{pmatrix}$ horas, recupera las cantidades producidas.

La matriz $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ indica kg de dos materiales por dos productos. Los materiales cuestan $c=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ euros/kg. Obtén el coste por producto y el coste de fabricar $q=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$.

La producción semanal es $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con filas productos y columnas semanas. Para $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, calcula los recursos semanales $AQ$ e interpreta su primera columna.

Con $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, una empresa quiere fabricar lotes proporcionales a $q_0=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$. Dispone de $20$ y $12$ unidades de recursos. Halla el mayor factor real $t\geq0$ tal que $A(tq_0)$ sea viable.

En el modelo $x=Ax+d$, toma $A=\begin{pmatrix}0,2&0,1\\0,2&0,3\end{pmatrix}$ y $d=\begin{pmatrix}30\\20\end{pmatrix}$. Obtén $x$ mediante $(I-A)^{-1}$ y calcula el incremento de producción si solo la demanda final del segundo bien aumenta en $10$ unidades.

Un sector sigue $x=ax+d$ con demanda final $d>0$ y coeficiente técnico $a\geq0$. Discute la existencia de una producción no negativa para $0\leq a<1$, $a=1$ y $a>1$. Relaciona la solución algebraica con su viabilidad.

Una empresa tiene capacidad máxima de $100$ unidades del primer bien y $80$ del segundo. Su modelo satisface $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$ y demanda final $d=\lambda\begin{pmatrix}40\\20\end{pmatrix}$, con $\lambda\geq0$. Determina el mayor $\lambda$ atendible y qué capacidad se agota primero.

Dos productos utilizan recursos según $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$. Se desea consumir exactamente $r=\begin{pmatrix}5\\20\end{pmatrix}$. Resuelve $Aq=r$ y decide si la solución es económicamente admisible.

En un modelo de dos sectores, $x=Ax+d$, donde $A=\begin{pmatrix}0,2&0\\0&0,25\end{pmatrix}$ y demanda final $d=\begin{pmatrix}80\\60\end{pmatrix}$. Calcula la producción bruta y el autoconsumo de cada sector.

En $x=Ax+d$, toma $A=\begin{pmatrix}0&0,5\\0,25&0\end{pmatrix}$ y $d=\begin{pmatrix}50\\25\end{pmatrix}$. Resuelve el sistema e interpreta por qué $x$ supera la demanda final en ambos sectores.

Una planta usa $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ recursos por producto. Su plan actual es $q=(4,3)^{\mathsf T}$ y dispone de $r=(20,15)^{\mathsf T}$. Si quiere aumentar por igual ambos productos, halla el máximo aumento real admisible y los recursos sobrantes.

Dos recetas consumen ingredientes según $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$. Hay exactamente $10$ y $20$ kg. Encuentra todos los planes reales no negativos que consumen ambos recursos por completo. ¿Puede deducirse un plan único?