Ejercicios: Determinantes, inversa y sistemas

Calcula el determinante de $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ y decide si tiene inversa.

Comprueba mediante multiplicación si $B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ es la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$.

Escribe como $Ax=b$ el sistema $2x+y=7$, $x+3y=11$, indicando la matriz de coeficientes y los vectores de incógnitas y términos independientes.

La figura muestra las dos ecuaciones como rectas.

Calcula el determinante de $A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$ y decide si tiene inversa.

Obtén la inversa de $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ y comprueba el producto.

Escribe en forma matricial el sistema $2x+y=7$, $x-y=2$, identificando matriz de coeficientes, incógnitas y términos independientes.

Decide sin resolver si el sistema $x+2y=3$, $2x+4y=8$ tiene solución y relaciona la conclusión con sus filas.

Resuelve $3x=9$, $2y=8$ usando la inversa de la matriz diagonal de coeficientes.

Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\7\end{pmatrix}$.

Una matriz aumentada se reduce por filas a $\begin{pmatrix}1&2&0&5\\0&1&3&4\\0&0&1&1\end{pmatrix}$. Resuelve el sistema por sustitución regresiva.

Discute el número de soluciones de cada sistema sin intentar invertir una matriz singular: $x+2y=3$, $2x+4y=6$; y $x+2y=3$, $2x+4y=7$.

Calcula $\det A$ para $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&4\\0&0&5\end{pmatrix}$. ¿Cómo cambia el determinante al intercambiar las dos primeras filas? Justifica ambas respuestas.

Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ y comprueba al menos una fila del producto $AA^{-1}$.

Determina para qué valores de $k$ es invertible $A=\begin{pmatrix}k&2\\3&1\end{pmatrix}$.

Resuelve $x+2y=8$, $3x+5y=21$ utilizando determinantes o la inversa de la matriz de coeficientes.

Discute el sistema $x+y=4$, $2x+2y=b$ según el valor de $b$. Parametriza las soluciones cuando existan.

Estudia el sistema $x+ay=2$, $ax+y=2$ según el parámetro real $a$: señala cuándo tiene una solución, ninguna o infinitas, y da las soluciones en cada caso compatible.

Una tienda vende lotes A y B. El lote A contiene dos cuadernos y un bolígrafo; el B, un cuaderno y tres bolígrafos. Se han vendido en total $31$ cuadernos y $33$ bolígrafos. Plantea y resuelve el sistema mediante una matriz inversa y comprueba que las cantidades de lotes son viables.

Una matriz aumentada de tres ecuaciones se reduce a $\begin{pmatrix}1&2&-1&4\\0&1&3&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. Describe todas las soluciones mediante un parámetro y decide si existe alguna con sus tres componentes no negativas.

Discute y resuelve, según $k$, el sistema $x+y=2$, $x+ky=3$.

Si $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$, calcula $A^{-1}$ y resuelve $AX=I+A$.

Resuelve el sistema triangular $x+2y-z=3$, $2y+z=5$, $3z=9$ y calcula el determinante de su matriz de coeficientes.

Una matriz cuadrada $A$ verifica $A^2-3A+2I=0$. Demuestra que tiene inversa y exprésala usando $A$ e $I$.

Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1,01\end{pmatrix}$, resuelve $Ax=\begin{pmatrix}2\\2,01\end{pmatrix}$ y luego $Ay=\begin{pmatrix}2\\2,02\end{pmatrix}$. Explica por qué un cambio pequeño de datos puede producir un cambio grande en la solución.