Ejercicios: Exponenciales, logaritmos y crecimiento

Una comunidad comienza con $800$ usuarios y crece un $5\%$ mensual compuesto.

La figura representa los datos del enunciado.

Escribe $N(t)$ para meses enteros y calcula $N(2)$.

Una máquina conserva cada año el $80\%$ de su valor anterior. Su valor inicial es $15000\ \text{€}$. Escribe $V(t)$ y calcula su valor tras dos años.

Resuelve $3^{x+1}=81$ y $\log_2(x-1)=3$, respetando el dominio de la segunda ecuación.

Para $f(x)=\ln(x-2)$, indica el dominio, el corte con el eje horizontal y si la función crece o decrece.

Un equipo conserva cada año el $80\%$ de su valor. Parte de $1000\ \text{€}$. Escribe el modelo y el valor tras dos años.

Compara $2^x$ y $\left(\frac12\right)^x$: indica cuál crece y el valor de ambas en cero.

Resuelve $\ln x=2$ y da una expresión exacta.

Una población se triplica cada periodo. Si empieza en $40$, calcula el tamaño tras tres periodos.

Un índice pasa de $120$ a $145,2$ en dos años con una tasa anual compuesta constante. Calcula la tasa y escribe el modelo para $t\geq0$.

Un fondo ficticio evoluciona según $A(t)=4000\cdot1,06^t$, con $t\geq0$ en años. Calcula el tiempo real para duplicarse y el primer aniversario en que ya se ha duplicado. Redondea el tiempo real a dos decimales.

Una concentración evoluciona según $Q(t)=90\cdot e^{-0,2t}$, con $t$ en horas. Determina el tiempo exacto para quedar reducida a un tercio y aproxímalo a dos decimales.

Resuelve $\ln(x)+\ln(x-3)=\ln(10)$ y descarta las raíces incompatibles con el dominio.

Los modelos $A(t)=100+20t$ y $B(t)=100\cdot1,2^t$ representan usuarios para años enteros $t\geq0$. Compara sus valores en $t=0,1,2,3$ y explica la diferencia entre sus reglas de crecimiento.

Un índice se modela como $I(t)=60\cdot e^{kt}$ y cumple $I(4)=90$. Halla $k$ y expresa el porcentaje de crecimiento entre $t=0$ y $t=1$.

Un modelo es $N(t)=200\cdot1,15^t$. Halla el tiempo real hasta alcanzar $400$ y distingue del primer periodo entero que lo supera.

Un índice pasa de $80$ a $125$ en dos periodos con factor constante positivo. Halla el factor y la tasa por periodo.

Dos modelos de población de clientes son $A(t)=1200\cdot1,04^t$ y $B(t)=900\cdot1,08^t$, con $t\geq0$ en años. Obtén cuándo se igualan y el primer año entero en que $B$ supera a $A$.

Una demanda es $q(p)=500\cdot e^{-0,08p}$ para $p\geq0$. Obtén su inversa con el dominio correcto y el aumento de precio necesario para reducir cualquier demanda inicial a la mitad.

Un índice sigue $I(t)=a\cdot b^t$, con $a,b>0$, y se observa $I(2)=242$, $I(5)=322,102$. Halla $a$ y $b$ y determina cuándo alcanza $400$. Da una expresión exacta del tiempo.

Dos procesos reducen un stock inicial positivo: el primero conserva un $70\%$ cada tres días y el segundo un $88\%$ cada día. Modela ambos para tiempo real no negativo, calcula sus factores diarios y determina cuál reduce más rápido el stock.

Una cantidad sigue $Q(t)=A\cdot b^t$ y cumple $Q(1)=60$, $Q(3)=135$, con $b>0$. Halla $A,b$ y $Q(0)$.

Compara $A(t)=100+20t$ con $B(t)=100\cdot1,2^t$ para $t=0,1,2,3$. Explica por qué igual crecimiento inicial no implica modelos iguales.

Una cantidad decrece según $Q(t)=500e^{-0,2t}$. Calcula el tiempo exacto para quedar en el $30\%$ del valor inicial y aproxima a dos decimales.

Resuelve $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$, indicando el dominio antes de combinar logaritmos.