Ejercicios: Tasa de variación y derivada

Una plataforma registra $V(2)=180$ y $V(5)=330$ ventas acumuladas, con $t$ en días. Calcula el incremento total y la tasa de variación media entre ambos días, indicando unidades.

Para $f(x)=x^2$, calcula la pendiente de la secante entre $x=1$ y $x=2$ y la pendiente de la tangente en $x=1$. Explica qué cambio mide cada una.

La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.

El coste total de producir $q$ kg de una mezcla es $C(q)=240+7q$, en euros, para $q\geq0$. Calcula por definición $C'(10)$ e interpreta el resultado.

Una máquina produce $P(2)=80$ y $P(5)=230$ piezas acumuladas, con el tiempo en horas. Calcula la tasa media en ese intervalo e interpreta sus unidades.

Para $f(x)=4x-7$, calcula la tasa media entre $x=1$ y $x=6$. Compárala con la pendiente.

El saldo de un depósito cambia de $2500\ \text{€}$ a $2420\ \text{€}$ en cuatro meses. Determina la variación total y la tasa media mensual.

Se sabe que $C'(30)=12$, con $C$ en euros y $q$ en unidades. Explica su significado y estima el coste adicional al pasar de $30$ a $31$ unidades.

Para $f(x)=x^2$, calcula las pendientes de las secantes desde $x=2$ hasta $x=3$ y hasta $x=2,1$. ¿A qué valor parecen aproximarse?

Calcula por definición la derivada de $f(x)=2x^2-x$ en $x=3$ y escribe la ecuación de la tangente en ese punto.

Sea $f(x)=\sqrt{x}$, con $x>0$. Usa el conjugado en el cociente incremental para hallar $f'(4)$ y la recta tangente en $x=4$.

Una demanda es $D(p)=120-3p$ unidades diarias, con $p$ medido en euros por unidad y $0

Sea $f(x)=|x-2|$. Calcula las derivadas laterales en $x=2$ mediante cocientes incrementales y decide si existe una tangente con pendiente finita única.

Obtén $f'(3)$ usando la definición con incrementos para $f(x)=x^2-2x$.

Para $V(t)=100+6t-t^2$, calcula la tasa media en $[1,3]$ y la instantánea en $t=1$. Explica por qué difieren.

Determina, mediante cocientes incrementales laterales, si $f(x)=|x-2|$ es derivable en $x=2$.

La recta tangente a $f$ en $x=4$ es $y=3x-5$. Halla $f(4)$ y $f'(4)$ y estima $f(4,02)$.

Define $f(x)=x^2$ si $x\leq1$ y $f(x)=ax+b$ si $x>1$. Determina $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x=1$, justificando continuidad e igualdad de derivadas laterales.

Calcula por definición $f'(a)$ para $f(x)=1/x$, con $a\neq0$. Usa el resultado para hallar el punto de la rama $x>0$ donde la tangente tiene pendiente $-4$.

Una tarifa total para $q$ kg es $C(q)=20+4q$ si $0\leq q\leq10$, y $C(q)=60+3(q-10)$ si $q>10$, en euros. Estudia continuidad y derivabilidad en $q=10$. Calcula el coste exacto adicional de pasar de $10$ a $10,2$ kg y explica por qué no existe allí un único coste marginal bilateral.

Para $f(x)=1/x$, usa la definición de derivada para hallar $f'(a)$ cuando $a>0$. Interpreta el signo.

La función es $f(x)=x^2$ si $x\leq1$ y $f(x)=ax+b$ si $x>1$. Halla $a$ y $b$ para que sea continua y derivable en $1$.

Para el coste $C(q)=100+q^2$, medido en euros, compara el coste exacto de pasar de $q=10$ a $q=10+h$ con la estimación basada en $C'(10)$. Determina el error para $h=0,5$.

Encuentra el punto interior de $[1,4]$ donde la pendiente instantánea de $f(x)=x^2+x$ coincide con la pendiente media del intervalo.

Una función satisface $f(2+h)=5+3h+h^2$ para todo $h$ cercano a cero. Sin obtener una fórmula expandida de $f(x)$, calcula $f(2)$ y $f'(2)$ y escribe la tangente.