Ejercicios: Derivadas sucesivas y aproximación lineal
Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de $f(x)=2x^4-5x^2+3$.
Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de $f(x)=2x^4-5x^2+3$.
Para $f(x)=e^{-3x}$, calcula $f''(x)$ y explica el signo de esta derivada.
Para $f(x)=e^{-3x}$, calcula $f''(x)$ y explica el signo de esta derivada.
Usa la aproximación lineal de $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=9$ para estimar $\sqrt{9,12}$. La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.…
Usa la aproximación lineal de $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=9$ para estimar $\sqrt{9,12}$.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada. Los ejes muestran intervalos ampliados.
Para $f(x)=e^x$, calcula las tres primeras derivadas y su valor en cero.
Para $f(x)=e^x$, calcula las tres primeras derivadas y su valor en cero.
Se conoce $f(10)=40$ y $f'(10)=3$. Estima $f(10,2)$ mediante aproximación lineal.
Se conoce $f(10)=40$ y $f'(10)=3$. Estima $f(10,2)$ mediante aproximación lineal.
Aproxima $\sqrt{4,04}$ usando la tangente a $\sqrt{x}$ en $x=4$.
Aproxima $\sqrt{4,04}$ usando la tangente a $\sqrt{x}$ en $x=4$.
Calcula las derivadas segunda y tercera de $f(x)=5x^2-7x+1$.
Calcula las derivadas segunda y tercera de $f(x)=5x^2-7x+1$.
Calcula $f^{(3)}(x)$ para $f(x)=\ln x$, con $x>0$, y propón una fórmula para $f^{(n)}(x)$, $n\geq1$.
Calcula $f^{(3)}(x)$ para $f(x)=\ln x$, con $x>0$, y propón una fórmula para $f^{(n)}(x)$, $n\geq1$.
Usa la linealización de $e^x$ en $0$ para estimar $e^{0,03}$. Decide si la estimación queda por encima o por debajo del valor exacto usando $f''$.
Usa la linealización de $e^x$ en $0$ para estimar $e^{0,03}$. Decide si la estimación queda por encima o por debajo del valor exacto usando $f''$.
El coste $C(q)=300+8q+0,02q^2$ se mide en euros y $q$ en kg, con $q\geq0$. Estima mediante la tangente el incremento al pasar de $50$ a $51,5$ kg, calcula el incremento…
El coste $C(q)=300+8q+0,02q^2$ se mide en euros y $q$ en kg, con $q\geq0$. Estima mediante la tangente el incremento al pasar de $50$ a $51,5$ kg, calcula el incremento exacto y el error absoluto.
Para $f(x)=\ln x$, estima $\ln(1,04)$ mediante la tangente en $1$. Justifica el sentido del error a partir de la curvatura.
Para $f(x)=\ln x$, estima $\ln(1,04)$ mediante la tangente en $1$. Justifica el sentido del error a partir de la curvatura.
Aproxima $\ln(1,03)$ linealizando en $x=1$. Justifica si la aproximación queda por encima o por debajo usando la segunda derivada.
Aproxima $\ln(1,03)$ linealizando en $x=1$. Justifica si la aproximación queda por encima o por debajo usando la segunda derivada.
Aproxima $1/2,02$ mediante la función $f(x)=1/x$ en $x=2$.
Aproxima $1/2,02$ mediante la función $f(x)=1/x$ en $x=2$.
Para $f(x)=x^3-6x^2+9x$, encuentra los ceros de $f'$ y de $f''$. Explica por qué responden a preguntas distintas.
Para $f(x)=x^3-6x^2+9x$, encuentra los ceros de $f'$ y de $f''$. Explica por qué responden a preguntas distintas.
Una producción cumple $P(t)=100+20t-2t^2$. Calcula $P'(3)$ y $P''(3)$ e interpreta ambos si $t$ se mide en días y $P$ en unidades.
Una producción cumple $P(t)=100+20t-2t^2$. Calcula $P'(3)$ y $P''(3)$ e interpreta ambos si $t$ se mide en días y $P$ en unidades.
Usa la linealización de $f(x)=1/x$ en $x=2$ para estimar $1/2,02$. Calcula el error exacto y justifica su signo mediante $f''$.
Usa la linealización de $f(x)=1/x$ en $x=2$ para estimar $1/2,02$. Calcula el error exacto y justifica su signo mediante $f''$.
Una función de coste, en euros, satisface $C(40)=900$, $C'(40)=12$ euros/kg y $|C''(q)|\leq0,5$ euros/kg al cuadrado para $40\leq q\leq42$. Usa…
Una función de coste, en euros, satisface $C(40)=900$, $C'(40)=12$ euros/kg y $|C''(q)|\leq0,5$ euros/kg al cuadrado para $40\leq q\leq42$. Usa $C(40+h)\approx C(40)+C'(40)h$ y la cota $|R|\leq Mh^2/2$ para estimar $C(42)$ y dar un intervalo garantizado.
Calcula $f''$ para $f(x)=xe^x$. Halla su linealización en $0$ y razona si sobreestima o subestima $f(x)$ para $0<x<0,1$.
Calcula $f''$ para $f(x)=xe^x$. Halla su linealización en $0$ y razona si sobreestima o subestima $f(x)$ para $0
La aproximación lineal de $f$ en $x=2$ es $L(x)=5-3(x-2)$. Determina $f(2)$ y $f'(2)$. ¿Permite deducir $f''(2)$? Justifica con dos funciones.
La aproximación lineal de $f$ en $x=2$ es $L(x)=5-3(x-2)$. Determina $f(2)$ y $f'(2)$. ¿Permite deducir $f''(2)$? Justifica con dos funciones.
Aproxima $e^{-0,04}$ mediante la tangente en cero y decide si sobrestima o subestima el valor real.
Aproxima $e^{-0,04}$ mediante la tangente en cero y decide si sobrestima o subestima el valor real.
Para $f(x)=x^2$, compara la aproximación lineal en $x=3$ con el valor exacto en $x=3+h$. Determina el mayor $|h|$ para un error como máximo $0,01$.
Para $f(x)=x^2$, compara la aproximación lineal en $x=3$ con el valor exacto en $x=3+h$. Determina el mayor $|h|$ para un error como máximo $0,01$.
Si $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, halla sus coeficientes sabiendo $f(0)=2$, $f'(0)=-1$, $f''(0)=6$ y $f^{(3)}(0)=12$.
Si $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, halla sus coeficientes sabiendo $f(0)=2$, $f'(0)=-1$, $f''(0)=6$ y $f^{(3)}(0)=12$.
La demanda es $q(p)=100/p$ para $p>0$. Estima el cambio de demanda al subir el precio de $10$ a $10,2$ y compáralo con el cambio exacto.
La demanda es $q(p)=100/p$ para $p>0$. Estima el cambio de demanda al subir el precio de $10$ a $10,2$ y compáralo con el cambio exacto.