Ejercicios: Coste, ingreso y beneficio marginal

El coste total es $C(q)=500+9q+0,1q^2$ euros, con $q\geq0$ kg. Calcula el coste marginal y su valor en $q=20$, indicando unidades.

El ingreso es $I(q)=50q-0,5q^2$ euros para $0\leq q\leq50$ kg. Calcula $I'(10)$ e interpreta el ingreso aproximado por un pequeño aumento de producción desde $10$ kg.

Dados $I(q)=24q$ y $C(q)=90+6q+q^2$, en euros, con $0\leq q\leq20$ kg, calcula el beneficio marginal en $q=4$ e indica si el beneficio aumenta localmente.

Una empresa tiene $C(30)=700\ \text{€}$ y $C'(30)=11$ euros/kg. Estima $C(30,5)$ mediante el coste marginal y explica por qué el resultado es aproximado.

Para $C(q)=80+5q+q^2$, calcula el coste fijo, el coste marginal y su valor en $q=3$.

Si $R(q)=20q$ y $C(q)=100+8q$, calcula el beneficio marginal e interpreta su signo.

El coste medio es $C(q)/q$. Calcula coste medio y marginal para $C(q)=120+6q$ en $q=20$ y explica por qué difieren.

La demanda inversa es $p(q)=40-2q$. Escribe el ingreso total y el marginal. ¿Coincide el ingreso marginal con el precio?

Para $C(q)=100+4q+0,3q^2$ euros y $q\geq0$ kg, compara $C'(10)$ con $C(11)-C(10)$. Explica la diferencia entre derivada e incremento de una unidad.

La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada. Los ejes muestran intervalos ampliados.

Una demanda inversa es $p(q)=40-0,2q$ euros/kg para $0\leq q\leq100$ kg. Calcula el ingreso marginal y compáralo con el precio en $q=50$. Explica por qué no coinciden.

Sea $C(q)=160+5q+0,1q^2$ euros, con $q>0$ kg. Calcula el coste medio $A(q)=C(q)/q$ y determina dónde coincide con el marginal. Relaciona ese punto con el mínimo de $A$.

Una empresa vende a $18\ \text{€}$ por kg y tiene $C(q)=200+6q+0,05q^2$ euros, con $0\leq q\leq200$ kg. Halla dónde se igualan ingreso y coste marginales y decide si es un máximo global de beneficio.

El coste total de un servicio es $C(q)=80+20\ln(1+q)$ euros, con $q\geq0$ horas de servicio. Calcula $C'$ y $C''$ y razona si un coste marginal decreciente implica que el coste total disminuya.

La producción $P(L)=10\sqrt{L}$ se mide en kg por día cuando se emplean $L>0$ horas de trabajo diarias. Calcula la productividad marginal en $L=25$ y estima el incremento productivo por añadir media hora.

Para $C(q)=200+4q+0,2q^2$, compara $C'(10)$ con $C(11)-C(10)$.

Una empresa tiene $R'(q)=50-2q$ y $C'(q)=10+q$. Localiza la cantidad en que el beneficio deja de crecer y justifica mediante signos.

Sea $C(q)$ un coste diferenciable para $q>0$ y $A(q)=C(q)/q$ su coste medio. Demuestra $A'(q)=(C'(q)-A(q))/q$ y deduce cuándo el coste medio crece o decrece. Aplica a $C(q)=72+3q+2q^2$.

El ingreso $I(q)=36q-0,2q^2$ y el coste $C(q)=120+4q+0,1q^2$ se miden en euros, con capacidad $0\leq q\leq40$ kg. Calcula el beneficio marginal en la capacidad máxima y encuentra el máximo global. Explica por qué no exige igualdad marginal en este caso.

La producción $q$ de un artículo es un entero entre $0$ y $30$. Su beneficio es $B(q)=31q-q^2-100$ euros. Usa la derivada para localizar candidatos y el incremento exacto $B(q+1)-B(q)$ para determinar todos los óptimos enteros.

Se conocen $C'(20)=14$ euros/kg y $C''(q)=0,4$ euros/kg al cuadrado en $20\leq q\leq23$. Calcula el incremento exacto de coste para esos $3$ kg usando que $C'$ es lineal, y compáralo con la estimación marginal en $20$.

Demuestra que la derivada del coste medio $c(q)=C(q)/q$ es $[qC'(q)-C(q)]/q^2$. Deduce cuándo aumenta comparando coste marginal y medio, para $q>0$.

Para $C(q)=100+2q+q^2$, encuentra dónde coinciden coste marginal y medio y comprueba qué ocurre allí con el coste medio.

Un impuesto hipotético de $t\ \text{€}$ por unidad modifica $B(q)=-q^2+30q-50$ en $B_t(q)=B(q)-tq$, con $q\geq0$. Obtén el beneficio marginal y la cantidad óptima para $0\leq t\leq30$.

Con $R(q)=60q-q^2$ y $C(q)=40+12q$, calcula el beneficio marginal en $q=20$ y el incremento exacto de beneficio al vender cinco unidades más. Explica la discrepancia con $5B'(20)$.