Proporcionalidade inversa
Quatro pessoas limpam o pavilhão da escola em 30 minutos. Se trabalharem seis, demoram menos tempo, mas quanto menos? Quantas mais torneiras abres para encher um depósito, menos horas demoras. Nestes problemas, quando uma grandeza se multiplica por um número, a outra divide-se por esse número. É a proporcionalidade inversa.
O que é a proporcionalidade inversa?
Na proporcionalidade direta, o dobro de uma dá o dobro da outra. Aqui, o dobro de uma dá a metade da outra. O gráfico não é uma reta que passa na origem: é uma curva que desce e nunca chega a tocar nos eixos.
Indique fundamentadamente se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa: a) O número de pessoas que pintam uma vedação e o tempo que…
Indique fundamentadamente se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa:
- a) O número de pessoas que pintam uma vedação e o tempo que demoram a terminá-la.
- b) O número de quilos de maçãs compradas e o preço total pago.
- c) A velocidade com que circula um comboio e o tempo que gasta a percorrer a distância entre duas cidades.
- d) O número de páginas de um livro e o seu peso.
Para montar o palco de um festival de música, $4$ operários trabalharam durante $12$ horas. Se o festival decidir contratar um total de $8$ operários que trabalhem ao…
Para montar o palco de um festival de música, $4$ operários trabalharam durante $12$ horas. Se o festival decidir contratar um total de $8$ operários que trabalhem ao mesmo ritmo, quantas horas demorarão a montar o mesmo palco?
A constante de proporcionalidade
Para saber se uma tabela é de proporcionalidade inversa, multiplica cada par de valores: se o resultado for sempre o mesmo, é.
Complete a tabela a seguir no seu caderno sabendo que as grandezas $A$ e $B$ são inversamente proporcionais. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$. |…
Complete a tabela a seguir no seu caderno sabendo que as grandezas $A$ e $B$ são inversamente proporcionais. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$.
| Grandeza $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Grandeza $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Um grupo de amigos quer alugar uma carrinha para ir de excursão. Se forem $6$ amigos, cada um deve pagar $15$ euros. Calcule quanto cada um teria de pagar se, no final,…
Um grupo de amigos quer alugar uma carrinha para ir de excursão. Se forem $6$ amigos, cada um deve pagar $15$ euros. Calcule quanto cada um teria de pagar se, no final, se inscreverem $10$ pessoas na viagem.
Um grupo de amigos ganhou um prémio de $300$ € num concurso de robótica e decidiu repartir o dinheiro em partes iguais. Completa a seguinte tabela para descobrir quanto…
Um grupo de amigos ganhou um prémio de $300$ € num concurso de robótica e decidiu repartir o dinheiro em partes iguais. Completa a seguinte tabela para descobrir quanto dinheiro receberia cada um consoante o número de pessoas que formem o grupo. Indica também qual é a constante de proporcionalidade inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinheiro por pessoa ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
No gráfico podes ver marcado o caso de $2$ amigos.
Regra de três inversa
Um drone de entrega demora $12$ minutos a entregar uma encomenda, deslocando-se a uma velocidade de $40$ km/h. Se o centro de controlo decidir aumentar a sua velocidade…
Um drone de entrega demora $12$ minutos a entregar uma encomenda, deslocando-se a uma velocidade de $40$ km/h. Se o centro de controlo decidir aumentar a sua velocidade para $60$ km/h para o envio seguinte ao mesmo local, quanto tempo demorará a chegar?
Para montar o palco de um festival de música, $8$ operários trabalharam durante $15$ horas. Se a Câmara Municipal precisa que a montagem esteja concluída em apenas $10$…
Para montar o palco de um festival de música, $8$ operários trabalharam durante $15$ horas. Se a Câmara Municipal precisa que a montagem esteja concluída em apenas $10$ horas, quantos operários adicionais deverão contratar, supondo que todos trabalham ao mesmo ritmo?
Uma associação protetora de animais tem ração para alimentar os seus $45$ cães durante $20$ dias. Se amanhã chegarem mais $15$ cães resgatados de uma ninhada, quantos…
Uma associação protetora de animais tem ração para alimentar os seus $45$ cães durante $20$ dias. Se amanhã chegarem mais $15$ cães resgatados de uma ninhada, quantos dias durará o stock de ração se a quantidade diária por cão não for alterada?
Problemas com várias etapas
Em alguns problemas a situação muda a meio, ou a mesma constante serve para vários casos. Calcula primeiro o que resta e só depois aplica o produto constante.
A proporcionalidade inversa também pode ser escrita como função:
$$y = \frac{k}{x}$$Com $k = 120$, por exemplo, $x = 4$ dá $y = 30$. Se a área de um retângulo é fixa, a base e a altura são inversamente proporcionais (e $k$ é a área). Se a base aumenta $25\,\%$, multiplica-se por $1{,}25$, e a altura fica multiplicada por $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, isto é, diminui $20\,\%$.
Um agricultor utiliza uma mangueira com um caudal de $5$ litros por minuto para encher um reservatório de água em $12$ horas. Que caudal deveria ter uma nova mangueira…
Um agricultor utiliza uma mangueira com um caudal de $5$ litros por minuto para encher um reservatório de água em $12$ horas. Que caudal deveria ter uma nova mangueira se ele quisesse encher o mesmo reservatório em apenas $3$ horas?
Uma expedição de montanha tem mantimentos armazenados para alimentar $20$ caminhantes durante $12$ dias. No entanto, após os primeiros $4$ dias de travessia, encontram…
Uma expedição de montanha tem mantimentos armazenados para alimentar $20$ caminhantes durante $12$ dias. No entanto, após os primeiros $4$ dias de travessia, encontram outro grupo de $5$ pessoas que ficaram sem provisões e decidem partilhar os seus mantimentos. Se mantiverem a mesma ração diária por pessoa, quantos dias a menos do que o previsto durarão os alimentos restantes?
Três amigos decidem dividir os $282$ € obtidos num prémio de um concurso de robótica de forma inversamente proporcional aos minutos que demoraram a resolver a sua prova…
Três amigos decidem dividir os $282$ € obtidos num prémio de um concurso de robótica de forma inversamente proporcional aos minutos que demoraram a resolver a sua prova final. Se o primeiro amigo demorou $12$ minutos, o segundo $15$ minutos e o terceiro $20$ minutos, quanto dinheiro corresponde a cada um?
Voltando ao princípio: se 4 pessoas demoram 30 minutos, a constante é $4 \times 30 = 120$ (pessoas $\times$ minutos). Com 6 pessoas demoram $120 : 6 = 20$ minutos.