Tabelas de frequências

Pretende-se realizar um estudo para saber qual é o livro favorito dos $1\,200$ alunos de uma escola secundária de Lisboa. Para isso, escolhem-se ao acaso $80$ alunos e pergunta-se-lhes o título do livro de que mais gostaram este ano.

Indica quais são os seguintes elementos deste estudo estatístico:

• População

• Amostra

• Indivíduo

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas. Para as que forem quantitativas, indique se são discretas ou contínuas:

1. a) A cor favorita dos teus colegas de turma.
2. b) O número de mensagens de WhatsApp que recebes por dia.
3. c) A altura exata dos jogadores de uma equipa de basquetebol.
4. d) O modelo de telemóvel que os professores da escola usam.
5. e) O número de irmãos dos alunos do 8.º ano.

Um grupo de amigos registou o número de vezes que foi ao cinema no último mês. Os resultados obtidos são:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1$

Organize estes dados numa tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) para cada valor da variável.

Num inquérito sobre a rede social favorita de $20$ adolescentes, foram obtidos os seguintes resultados de frequência absoluta:

Calcule a frequência relativa ($f_i$) e a percentagem ($\%$) de cada categoria.

A tabela seguinte mostra o número de animais de estimação que as famílias de uma urbanização têm. Completa a coluna das frequências absolutas acumuladas ($N_i$):

Pista. A frequência acumulada de cada linha é a soma da sua frequência absoluta e da frequência acumulada da linha anterior. A primeira linha passa diretamente: $N_1 = n_1$. A última frequência acumulada deve coincidir com o total.

Num inquérito sobre o número de animais de estimação que as famílias de uma turma do 8.º ano têm, foi elaborada a seguinte tabela incompleta. Completa-a no teu caderno sabendo que o total de alunos é $30$.

Qual é a percentagem de alunos que têm no máximo um animal de estimação?

Num campeonato local de videojogos, foi registada a idade dos participantes. Observa a tabela de frequências relativas e responde:

Se no campeonato participou um total de $120$ pessoas:

1. a) Quantos participantes têm exatamente $13$ anos?
2. b) Quantos participantes têm mais de $13$ anos?

Uma loja de roupa jovem quer analisar o número de peças que cada cliente compra. Sabe-se que a frequência relativa acumulada ($H_i$) para a compra de $2$ peças é $0,75$. Se foram analisados $160$ clientes:

1. a) Quantos clientes compraram $2$ ou menos peças?
2. b) Se a frequência absoluta de comprar $1$ única peça é de $60$ clientes, quantos clientes compraram exatamente $2$ peças?

Foi perguntado aos alunos de uma turma quantas horas, em média, passam por dia a estudar. Alguns dados da tabela foram perdidos. Complete-a sabendo que o total de alunos é $25$.

Observa a seguinte tabela de frequências que reúne o tamanho do calçado de um grupo de $10$ amigos e responde às perguntas:

1. a) Quantas pessoas usam um tamanho inferior a $38$?
2. b) Qual é a percentagem de pessoas que usa o tamanho $39$?
3. c) Qual é o tamanho mais comum (o que tem maior frequência absoluta)?

Para um estudo sobre os hábitos de alimentação, foram recolhidos os seguintes dados qualitativos sobre o tipo de fruta que $25$ crianças comem ao lanche num campo de férias:

Maçã, Banana, Pera, Maçã, Laranja, Banana, Maçã, Pera, Banana, Maçã, Laranja, Maçã, Pera, Maçã, Banana, Laranja, Maçã, Banana, Pera, Maçã, Laranja, Maçã, Banana, Maçã, Pera.

Construa uma tabela de frequências completa que inclua: Variável ($x_i$), Frequência absoluta ($n_i$), Frequência relativa ($f_i$) e Percentagem ($\%$).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um grupo de 20 adolescentes registou quantas horas passa por semana a ver séries em plataformas de streaming. Os dados obtidos são os seguintes:

$5, 8, 12, 5, 10, 15, 8, 8, 10, 12, 15, 5, 8, 10, 12, 8, 10, 12, 10, 8$.

Organiza estes dados numa tabela de frequências que inclua:

• Frequência absoluta ($n_i$).

• Frequência relativa ($f_i$).

• Percentagem ($\%$).

Observe o seguinte gráfico circular que representa o tipo de música preferido pelos $200$ alunos de uma escola:

Construa a tabela de frequências absolutas e relativas correspondente a este gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa escola secundária perguntou-se aos 50 alunos do 2.º ano do ESO como se deslocam habitualmente para ir às aulas: a pé, de autocarro, de bicicleta/trotinete ou no carro da família. A contagem inicial indica que 28 alunos vão a pé, 11 de autocarro e 7 de bicicleta ou trotinete (os restantes vão no carro da família).

1. a) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo exato com papel e caneta, estima mentalmente que percentagem aproximada de estudantes se desloca a pé. Será inferior a $40\,\%$, estará compreendida entre $50\,\%$ e $60\,\%$, ou superará os $70\,\%$? Justifica numa frase o teu raciocínio mental.
2. b) Verifica: Determina a frequência absoluta dos que vão no carro da família, completa a tabela calculando a frequência relativa ($h_i$) e a percentagem de cada meio de transporte, e verifica numericamente se a tua estimativa inicial estava correta. Por último, confirma que a soma total das frequências relativas dá exatamente 1 e a das percentagens $100\,\%$.

Realizou-se um estudo sobre a distância (em km) que $40$ pessoas percorrem para chegar ao seu local de trabalho. Os dados foram agrupados nos seguintes intervalos: $[0, 4)$, $[4, 8)$, $[8, 12)$ e $[12, 16)$.

Sabendo que as frequências absolutas são $14$, $10$, $8$ e $8$ respetivamente:

1. a) Constrói a tabela de frequências incluindo o ponto médio da classe ($c_i$) de cada intervalo.

1. b) Quantas pessoas percorrem $8$ km ou mais?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

O professor de Educação Física cronometrou a prova de velocidade de 60 metros planos para os 30 alunos do 2.º ano do ESO. Os registos obtidos oscilam entre $8,72\text{ s}$ e $13,25\text{ s}$ e, devido à precisão do cronómetro digital, praticamente cada estudante tem uma marca distinta com duas casas decimais. Para organizar os dados antes de os analisar, dois alunos debatem que tipo de tabela utilizar:

• Proposta da Lucía: Construir uma tabela de frequências simples com uma linha para cada um dos tempos individuais registados, indicando quantas vezes aparece cada um.

• Proposta do Marcos: Agrupar os tempos em quatro intervalos contínuos de amplitude $1,2\text{ s}$ a começar em $8,5\text{ s}$, e calcular a marca de classe de cada intervalo para a usar como valor representativo.

1. a) Compara ambas as propostas e fundamenta qual é a adequada para este conjunto de dados. Que inconveniente insuperável apresenta a proposta descartada na hora de resumir a informação?
2. b) Escreve os quatro intervalos propostos pelo Marcos na forma $[a; b)$ e calcula a marca de classe de cada um deles. Explica o que significa matematicamente a marca de classe e para que será utilizada depois no estudo estatístico.

Um município quer analisar a idade dos jovens que utilizam a nova ciclovia. Sabe-se que a variável é quantitativa contínua e os dados foram agrupados em cinco intervalos de amplitude constante. Completa a tabela sabendo que:

• A amplitude total de idade é de $10$ a $30$ anos.

• A frequência absoluta do segundo intervalo é o dobro da do primeiro, e a do terceiro é igual à do primeiro.

• $N_3 = 40$

• $f_4 = 0,25$

• $n_5 = 5$

• O total da amostra é $N = 60$.

Indica também os pontos médios dos intervalos ($x_i$) para cada intervalo.

Num clube de e-sports registaram-se as horas semanais de treino dos seus 40 membros. Foram organizadas em quatro intervalos de classe: $[0, 4), [4, 8), [8, 12)$ e $[12, 16]$.

Conhecem-se os seguintes dados:

1. As frequências relativas dos dois primeiros intervalos são idênticas: $f_1 = f_2$.

2. A frequência relativa acumulada do segundo intervalo é $F_2 = 0,5$.

3. O último intervalo tem uma frequência absoluta de $n_4 = 4$.

Deduz a tabela completa de frequências absolutas e relativas. Quantos jogadores treinam pelo menos $8$ horas semanais?

Um professor de Educação Física regista o tempo (em segundos) que os seus alunos demoram a percorrer $100$ metros planos. Os resultados são agrupados numa tabela de frequências com intervalos de $2$ segundos de amplitude.

Sabendo que:

• O primeiro intervalo começa em $12$ segundos.

• $f_1 = 15\%$

• $f_2 = 35\%$

• $N_3 = 28$ alunos.

• $F_3 = 0,7$ (frequência relativa acumulada).

• Os restantes alunos distribuem-se equitativamente pelos dois últimos intervalos até atingir um tempo máximo de $22$ segundos.

Calcula o número total de alunos ($N$) e completa a tabela de frequências absolutas.

O Tomás realizou um inquérito aos seus 20 colegas de turma sobre o número de livros que leram durante o último trimestre e apresentou os seguintes resultados numa tabela:

• Para 0 livros: frequência absoluta $n_1 = 4$; frequência absoluta acumulada $N_1 = 4$; frequência relativa $h_1 = 0,20$.

• Para 1 livro: $n_2 = 8$; $N_2 = 12$; $h_2 = 0,40$.

• Para 2 livros: $n_3 = 5$; $N_3 = 17$; $h_3 = 0,25$.

• Para 3 livros: $n_4 = 3$; $N_4 = 20$; $h_4 = 0,30$.

Ao somar a coluna das frequências relativas, o Tomás obtém $0,20 + 0,40 + 0,25 + 0,30 = 1,15$ e afirma em voz alta: «Como a soma das frequências relativas não dá 1, o inquérito está mal feito e temos de voltar a perguntar a todos».

1. a) Localiza o erro numérico concreto que o Tomás cometeu no cálculo da tabela.
2. b) Explica por que razão a sua conclusão sobre o inquérito é errónea e escreve os valores corrigidos das frequências relativas ($h_i$) e as suas correspondentes percentagens.

Num atelier municipal de robótica participam $N = 40$ alunos cujas idades estão compreendidas entre os 12 e os 15 anos. Ao passar os dados para o computador, apagaram-se várias quadrículas da tabela de frequências, mas conservam-se as seguintes informações:

• A frequência relativa acumulada para os alunos de 13 anos ou menos é $H_2 = 0,65$.

• A frequência absoluta acumulada para os alunos de 14 anos ou menos é $N_3 = 36$.

• O número de participantes de 12 anos é exatamente o dobro do de participantes de 15 anos ($n_1 = 2 \cdot n_4$).

Reconstrói fundamentadamente a tabela de frequências completa determinando, para cada uma das quatro idades ($12, 13, 14$ e $15$ anos), a frequência absoluta ($n_i$), a frequência absoluta acumulada ($N_i$) e a frequência relativa ($h_i$). Mostra de forma clara as operações e deduções que realizas para encontrar cada valor desconhecido.

Num estudo sobre o consumo de dados móveis de um grupo de adolescentes, começou-se a elaborar a seguinte tabela de frequências. No entanto, alguns dados perderam-se. Sabendo que o tamanho da amostra é de $N = 80$ indivíduos e que a frequência relativa acumulada do terceiro intervalo é $F_3 = 0,825$, complete a tabela de frequência absoluta ($n_i$), relativa ($f_i$), absoluta acumulada ($N_i$) e relativa acumulada ($F_i$).

A partir do polígono de frequências acumuladas das notas de um teste de matemática, reconstrói a tabela de frequências absolutas. Sabendo que o número total de alunos é $30$, determina quantos alunos obtiveram uma nota maior ou igual a $5$ mas menor que $9$.

Nota: Os pontos do gráfico são $(1, 3), (3, 7), (5, 15), (7, 24), (9, 28), (10, 30)$, onde a primeira coordenada é a nota e a segunda a frequência absoluta acumulada $N_i$.

Analisa a seguinte tabela de frequências correspondente ao número de faltas de assiduidade de uma turma de $25$ alunos durante um mês. Encontra os dois erros de coerência lógica que existem nas colunas de frequências acumuladas ($N_i$ e $F_i$) e justifica porque são erros com base nas propriedades das tabelas de frequências.

Num estudo sobre os hábitos de leitura num município, registou-se o tempo semanal (em horas) que os utilizadores da biblioteca pública passam a ler. Os dados foram agrupados em quatro intervalos de igual amplitude: $[0; 2)$, $[2; 4)$, $[4; 6)$ e $[6; 8)$. Após uma falha informática, o número total de inquiridos ($N$) foi apagado do relatório, mas conservam-se as seguintes informações:

• A frequência absoluta acumulada do terceiro intervalo é $N_3 = 54$.

• No último intervalo ($[6; 8)$) estão registadas exatamente 6 pessoas.

• A frequência relativa do segundo intervalo é $h_2 = 0,35$.

• No primeiro intervalo há o dobro de pessoas do que no terceiro ($n_1 = 2 \cdot n_3$).

1. a) Deduz fundamentadamente a dimensão total da amostra ($N$) e calcula a frequência absoluta ($n_i$) de cada um dos quatro intervalos.
2. b) Um vereador lê os resultados do relatório e afirma: «Como a marca de classe do intervalo $[2; 4)$ é $3$ horas e nele há $n_2$ pessoas, se somarmos os tempos reais de leitura de todas as pessoas desse grupo obteremos exatamente $3 \cdot n_2$ horas». Explica detalhadamente o erro conceptual que o vereador comete e constrói um exemplo numérico concreto que demonstre que a sua afirmação não tem de se cumprir.

Realizou-se um inquérito sobre o número de livros lidos no último ano a um grupo de pessoas. Sabe-se que a moda é $3$ livros e que a média aritmética é exatamente $2,5$ livros. Com os dados da tabela incompleta, calcula os valores de $x$ e $y$ (frequências absolutas).

Foi realizado um inquérito aos alunos de uma escola sobre o seu desporto favorito. Os resultados são apresentados nesta tabela de dupla entrada, mas faltam alguns dados. Completa-a.

A partir da tabela, calcula a percentagem de alunos (total) que prefere basquetebol.

Pretende-se realizar um estudo sobre o uso de redes sociais. Para isso, pergunta-se a uma amostra de alunos do 8.º ano qual é a sua rede favorita (TikTok ou Instagram) e se publicam conteúdo diariamente (Sim ou Não).

Complete a tabela sabendo que:

• Foram inquiridos $80$ alunos no total.

• $45$ alunos preferem o Instagram.

• Dos que preferem o TikTok, $15$ não publicam diariamente.

• No total, $50$ alunos da amostra publicam conteúdo diariamente.

Qual é a percentagem dos alunos que preferem o Instagram que publica conteúdo diariamente?

Realizou-se um inquérito sobre o uso de três plataformas de streaming (A, B e C) entre os alunos do 2.º ano do ESO. Apresenta-se esta tabela de dupla entrada incompleta que relaciona a plataforma preferida com o dispositivo principal de utilização.

Sabendo que o número total de alunos inquiridos é $69$, completa a tabela e calcula que percentagem do total de alunos utiliza maioritariamente o telemóvel para ver a Plataforma B.

A partir de um estudo inspirado em dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre estilos de vida na adolescência, recolheu-se informação de uma amostra de 120 estudantes do ensino secundário. Cruzam-se duas variáveis numa tabela de dupla entrada: «Prática de desporto semanal» (Sim / Não) e «Tempo diário dedicado ao lazer com ecrãs» (Baixo: menos de 2 horas; Médio: de 2 a 4 horas; Alto: mais de 4 horas). Conhecem-se os seguintes dados:

• $60\,\%$ dos inquiridos afirma que pratica desporto semanalmente.

• Dos estudantes que praticam desporto, 24 têm um consumo baixo de ecrãs e 36 têm um consumo médio.

• Entre os que não praticam desporto, exatamente 12 têm um consumo baixo de ecrãs e o número dos que têm um consumo alto triplica o dos que têm um consumo médio.

1. a) Modela estes dados construindo uma tabela de dupla entrada completa com as frequências absolutas, indicando com clareza as células interiores, os totais de linha e os totais de coluna.
2. b) Calcula que percentagem dos desportistas apresenta um consumo alto de ecrãs e que percentagem dos não desportistas apresenta um consumo alto de ecrãs.
3. c) Tendo em conta as duas percentagens calculadas, pode-se deduzir que nesta amostra existe uma relação entre não praticar desporto e fazer um uso intensivo de ecrãs? Justifica a tua conclusão comparando ambas as proporções.