Exercícios: Proporcionalidade inversa

Indique fundamentadamente se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa:

1. a) O número de pessoas que pintam uma vedação e o tempo que demoram a terminá-la.
2. b) O número de quilos de maçãs compradas e o preço total pago.
3. c) A velocidade com que circula um comboio e o tempo que gasta a percorrer a distância entre duas cidades.
4. d) O número de páginas de um livro e o seu peso.

Complete a tabela a seguir no seu caderno sabendo que as grandezas $A$ e $B$ são inversamente proporcionais. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$.

Para montar o palco de um festival de música, $4$ operários trabalharam durante $12$ horas. Se o festival decidir contratar um total de $8$ operários que trabalhem ao mesmo ritmo, quantas horas demorarão a montar o mesmo palco?

Um grupo de amigos quer alugar uma carrinha para ir de excursão. Se forem $6$ amigos, cada um deve pagar $15$ euros. Calcule quanto cada um teria de pagar se, no final, se inscreverem $10$ pessoas na viagem.

Um pecuarista tem ração suficiente para alimentar as suas $20$ vacas durante $30$ dias. Se vender $5$ vacas e ficar com $15$, quantos dias poderá alimentar as vacas restantes com a mesma quantidade de ração?

Duas engrenagens estão ligadas. A primeira tem $12$ dentes e dá $20$ voltas por minuto. Quantas voltas dará a segunda engrenagem se tiver $24$ dentes?

Um reservatório de água enche-se em $6$ horas utilizando uma torneira com um caudal de $10$ litros por minuto. Quanto tempo demorará a encher o mesmo reservatório se o caudal da torneira aumentar para $15$ litros por minuto?

Marta fez uma viagem de carro a uma velocidade constante de $90$ km/h e demorou $4$ horas. Se na viagem de volta decidir ir mais devagar, a uma velocidade de $60$ km/h, quanto tempo demorará a realizar o mesmo trajeto?

Para encher o reservatório contra incêndios de um município da Serra da Estrela utilizam-se $3$ bocas de água iguais, que demoram $12$ horas a enchê-lo por completo. Perante uma emergência, a equipa municipal decide ligar $6$ bocas idênticas ao mesmo tempo. Tomás, um dos técnicos, calcula o tempo que demorarão propondo a seguinte operação: $x = \dfrac{6 \cdot 12}{3} = 24\text{ horas}$.\na) Sem fazeres cálculos complexos, fundamenta analisando um caso extremo ou lógico por que razão o resultado obtido por Tomás não faz sentido na realidade.\nb) Explica que erro conceptual Tomás cometeu ao formular a sua regra de três.\nc) Corrige a formulação utilizando a constante de proporcionalidade inversa e determina quantas horas demorarão realmente as $6$ bocas.

Uma associação juvenil de um bairro do Porto aluga um autocarro para uma excursão ao Palácio de Cristal por um custo fixo de $720$ €, que se reparte em partes iguais entre as pessoas que compareçam.\na) Escreve a fórmula matemática que relaciona o preço por pessoa ($y$, em euros) em função do número de participantes ($x$). Indica o valor da constante de proporcionalidade inversa e explica o que representa neste contexto.\nb) A organização estabelece que a viagem só se realizará se o preço por pessoa se mantiver entre $15$ € e $30$ € (ambos incluídos). Propõe três valores possíveis para o número de participantes ($x$) e calcula o preço por pessoa ($y$) que corresponderia a cada um deles.

Um grupo de amigos ganhou um prémio de $300$ € num concurso de robótica e decidiu repartir o dinheiro em partes iguais. Completa a seguinte tabela para descobrir quanto dinheiro receberia cada um consoante o número de pessoas que formem o grupo. Indica também qual é a constante de proporcionalidade inversa.

No gráfico podes ver marcado o caso de $2$ amigos.

Um drone de entrega demora $12$ minutos a entregar uma encomenda, deslocando-se a uma velocidade de $40$ km/h. Se o centro de controlo decidir aumentar a sua velocidade para $60$ km/h para o envio seguinte ao mesmo local, quanto tempo demorará a chegar?

Para montar o palco de um festival de música, $8$ operários trabalharam durante $15$ horas. Se a Câmara Municipal precisa que a montagem esteja concluída em apenas $10$ horas, quantos operários adicionais deverão contratar, supondo que todos trabalham ao mesmo ritmo?

Uma associação protetora de animais tem ração para alimentar os seus $45$ cães durante $20$ dias. Se amanhã chegarem mais $15$ cães resgatados de uma ninhada, quantos dias durará o stock de ração se a quantidade diária por cão não for alterada?

Um agricultor utiliza uma mangueira com um caudal de $5$ litros por minuto para encher um reservatório de água em $12$ horas. Que caudal deveria ter uma nova mangueira se ele quisesse encher o mesmo reservatório em apenas $3$ horas?

Uma sala de tecnologia tem várias placas de platex retangulares que ocupam todas a mesma superfície: $1200$ cm². Complete a tabela das possíveis dimensões (base e altura) para essas placas e explique qual a relação que existe entre elas.

Duas rodas dentadas estão engrenadas. A primeira tem $48$ dentes e gira a $150$ rotações por minuto (rpm). A que velocidade girará a segunda roda se tiver $30$ dentes?

Seis torneiras iguais demoram $40$ minutos a encher uma piscina infantil. Se duas das torneiras se avariaram e ficaram fora de serviço, quanto tempo demorarão as torneiras restantes a encher a mesma piscina? Expresse o resultado em horas e minutos.

Uma brigada florestal composta por $4$ operários demora $18$ horas de trabalho efetivo a limpar uma faixa corta-fogo num baldio da Serra da Estrela. Perante a previsão de uma onda de calor, decide-se incorporar mais $2$ operários, com o mesmo ritmo de trabalho, formando uma equipa de $6$ pessoas.\na) Antes de calculares o valor exato, faz uma estimativa fundamentada: sabendo que o dobro dos operários ($8$) demoraria $9$ horas, a equipa de $6$ operários demorará mais ou menos de $10$ horas? Explica a tua dedução mental sem resolveres a equação ainda.\nb) Calcula o tempo exato que demorarão os $6$ operários empregando a propriedade do produto constante ($a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$).\nc) Verifica se o resultado numérico confirma a tua estimativa inicial e interpreta que significado físico tem a constante de proporcionalidade obtida em termos de «horas de trabalho de um único operário».

Um autocarro de linha regular realiza o percurso de $120\text{ km}$ que une duas localidades do distrito de Viseu. A velocidade média do percurso ($v$, em $\text{km/h}$) e o tempo gasto ($t$, em horas) são grandezas inversamente proporcionais.\na) Escreve a função que expressa o tempo $t$ (em horas) em função da velocidade média $v$.\nb) Num dia com trânsito fluido o autocarro circula a uma velocidade média de $80\text{ km/h}$, enquanto num dia com nevoeiro denso a sua velocidade média desce para $50\text{ km/h}$. Calcula o tempo de viagem em cada situação, expressando o resultado com precisão em horas e minutos.\nc) Se a empresa de transportes exigir que o percurso seja concluído num tempo máximo de $1$ hora e $15$ minutos, a que velocidade média mínima deve circular o autocarro? Justifica o teu procedimento.

Três amigos decidem dividir os $282$ € obtidos num prémio de um concurso de robótica de forma inversamente proporcional aos minutos que demoraram a resolver a sua prova final. Se o primeiro amigo demorou $12$ minutos, o segundo $15$ minutos e o terceiro $20$ minutos, quanto dinheiro corresponde a cada um?

Uma expedição de montanha tem mantimentos armazenados para alimentar $20$ caminhantes durante $12$ dias. No entanto, após os primeiros $4$ dias de travessia, encontram outro grupo de $5$ pessoas que ficaram sem provisões e decidem partilhar os seus mantimentos. Se mantiverem a mesma ração diária por pessoa, quantos dias a menos do que o previsto durarão os alimentos restantes?

Numa bicicleta de montanha, a relação entre o número de dentes do prato e o do pinhão determina o avanço. Se com um prato de $48$ dentes e um pinhão de $24$ dentes a roda traseira dá exatamente $200$ voltas num percurso, quantas voltas daria a roda se mudássemos para um pinhão de $16$ dentes mantendo a mesma pedalada (mesmas voltas do prato)? Justifica o tipo de proporcionalidade.

Um retângulo tem uma base de $12$ cm e uma altura de $8$ cm. Queremos construir outro retângulo que tenha exatamente a mesma área, mas cuja base seja $25$ % mais longa do que a do primeiro.

• a) Qual será a altura do novo retângulo?

• b) Em que percentagem diminuiu a altura em relação ao retângulo original?

Seis impressoras de alta velocidade demoram $4$ horas e $30$ minutos a imprimir $5000$ panfletos publicitários. Se duas das impressoras sofrerem uma avaria antes de começar o trabalho, quantas horas e minutos demorarão as impressoras restantes a realizar o mesmo trabalho?

Para encher uma piscina olímpica, são utilizadas $4$ torneiras que despejam um caudal de $12$ litros por minuto cada uma, demorando um total de $30$ horas. Se quisermos que a piscina se encha em apenas $18$ horas usando torneiras com um caudal superior, de $16$ litros por minuto, quantas torneiras deste novo modelo precisaremos de abrir?

Um comboio de mercadorias realiza o trajeto entre duas cidades a uma velocidade média de $80$ km/h, demorando $3$ horas e $45$ minutos. Na viagem de volta, devido a um defeito na via, deve reduzir a sua velocidade média para $60$ km/h.

• a) Quanto tempo demorará a completar a viagem de volta?

• b) Expresse o resultado em horas, minutos e segundos.

Observa a tabela seguinte, que representa a relação entre duas grandezas $M$ e $N$. Determina se se trata de uma relação de proporcionalidade inversa, calculando a sua constante $k$. Uma vez encontrada, completa os valores que faltam, expressando-os como números inteiros ou decimais exatos.

Numa cooperativa vinícola do Douro, uma equipa de $12$ vindimadores vindima a uva de uma parcela em $20$ dias. A direção necessita de prever quantos dias demoraria a vindimar a mesma parcela em três possíveis contratações: com $24$ vindimadores, com $6$ vindimadores e com $15$ vindimadores.\nPropõem-se duas formas de o resolver:\n- Método A: Formular três regras de três inversas independentes para cada caso.\n- Método B: Calcular a constante de proporcionalidade inversa $k$ (jornadas totais necessárias), formular a expressão $y = \dfrac{k}{x}$ e utilizar as relações de proporcionalidade simples (dobro/metade) quando for possível.\na) Aplica ambos os métodos para calcular os dias que correspondem a cada um dos três cenários.\nb) Compara os dois procedimentos e justifica fundamentadamente por que razão o Método B é mais eficiente e seguro quando se devem avaliar múltiplos cenários de pessoal.

No laboratório de Ciências de uma escola secundária verifica-se experimentalmente a lei de Boyle-Mariotte: a temperatura constante, o volume ($V$, em litros) ocupado por uma massa de gás e a pressão ($P$, em atmosferas) a que está submetida são inversamente proporcionais ($P \cdot V = k$). Ao iniciar a atividade prática, o gás ocupa $12\text{ litros}$ submetido a uma pressão de $2\text{ atm}$.\na) Aciona-se um êmbolo para comprimir o gás de modo que o seu volume final fique situado entre $3\text{ litros}$ e $4\text{ litros}$ (ambos os valores incluídos). Determina fundamentadamente o intervalo de pressão ($P$) no qual o compressor deve trabalhar.\nb) Um aluno propõe a seguinte hipótese: «Como duplicar a pressão reduz o volume para metade, se aumentarmos a pressão em $50\,\%$, o volume reduzir-se-á também em $50\,\%$». Demonstra algebricamente se a sua dedução é verdadeira ou falsa, e calcula a percentagem exata em que diminui realmente o volume ao aumentar a pressão em $50\,\%$.