Proporcionalidade direta

Indique quais dos seguintes pares de grandezas são diretamente proporcionais. Justifique brevemente a sua resposta:

1. a) O número de pessoas que entram num museu e o dinheiro arrecadado com os bilhetes.
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura.
3. c) A massa das maçãs compradas e o preço total a pagar.
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele demora a percorrer uma distância fixa.

Numa loja de desporto, todas as t-shirts do mesmo modelo têm o preço proporcional à quantidade comprada. Copia e completa a tabela seguinte no teu caderno e calcula a constante de proporcionalidade $k$ (preço de uma t-shirt).

Indique fundamentadamente quais dos seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade direta:

1. a) O número de bilhetes para um espetáculo e o preço total a pagar (sem despesas fixas de gestão).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O peso das maçãs compradas a granel e o custo da compra.
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que demora a percorrer uma distância fixa.
5. e) O número de páginas de um livro e o tempo gasto a lê-lo (assumindo uma velocidade de leitura constante).

Se uma torneira despeja $15$ litros de água a cada $3$ minutos, quantos litros despejará se for mantida aberta durante $10$ minutos? Resolve utilizando o método de redução à unidade (calculando primeiro quanto despeja num minuto).

Para preparar um bolo para $6$ pessoas, são necessários $300$ gramas de farinha. Se quisermos convidar $15$ pessoas e que todos comam a mesma proporção de bolo, de que quantidade de farinha vamos precisar?

Uma plataforma de streaming de videojogos oferece uma subscrição premium. Sabemos que por $4$ meses de serviço são pagos $35,20$ €.

1. a) Calcule a constante de proporcionalidade direta $k$ (preço por mês).
2. b) Complete a seguinte tabela de valores:

1. c) Quantos meses é possível contratar se houver um orçamento máximo de $100$ €?

Um videojogo ocupa $12$ GB de espaço e demorou $8$ minutos a ser descarregado com uma ligação estável. Se o próximo jogo a ser descarregado ocupa $18$ GB e a velocidade de transferência for a mesma, quantos minutos demorará a transferência?

Um drone de vigilância florestal voa a uma velocidade constante. O centro de controlo regista que o drone percorreu $10,5$ quilómetros nos primeiros $15$ minutos de voo.

1. a) Que distância o drone percorrerá se mantiver a mesma velocidade durante uma hora completa?
2. b) Se o drone precisar de cobrir uma distância total de $63$ km, quantos minutos demorará a completar a missão?

Uma empresa de fabrico de filamento para impressoras 3D sabe que o comprimento do fio extraído é diretamente proporcional ao tempo de funcionamento da máquina extrusora. Se em $15$ minutos são produzidos $45$ metros de fio de uma espessura determinada:

• a) Quantos quilómetros de fio serão fabricados se a máquina trabalhar sem interrupção durante um dia de trabalho completo de $8$ horas?

• b) Se o custo de produção é de $0,12\text{ €}$ por cada decâmetro ($10\text{ m}$) de fio, qual será o valor total da produção após essas $8$ horas?

O perímetro de um hexágono regular é diretamente proporcional ao comprimento do seu lado. Se um hexágono cujo lado mede $4$ cm tem um perímetro de $24$ cm, calcule o perímetro de outro hexágono regular cujo lado mede $7,5$ cm.

Numa planta de um quarto com uma escala $1:50$, o comprimento da cama mede $4$ cm. Qual é a medida real da cama expressa em metros? (Lembra-te de que a escala $1:50$ significa que $1$ cm no desenho equivale a $50$ cm na realidade).

Na planta de uma moradia realizada na escala $1:250$, a sala tem um comprimento de $3,2$ cm e uma largura de $2,4$ cm.

1. a) Calcule as dimensões reais da sala em metros.
2. b) Calcule a área real da sala em metros quadrados.

Um farol projeta uma sombra de $18\text{ metros}$ sobre o solo. Nesse mesmo instante, um poste vertical de $2,5\text{ metros}$ de altura situado perto do farol projeta uma sombra de $150\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do farol.

• b) Se o sol baixar e a sombra do poste aumentar $30\text{ cm}$ a mais, quanto medirá a nova sombra do farol?

Para preparar uma tinta de uma cor laranja específica, um artista mistura $150$ ml de tinta vermelha com $225$ ml de tinta amarela.

1. a) Quantos mililitros de tinta vermelha precisará de utilizar se quiser usar $600$ ml de tinta amarela para obter o mesmo tom?
2. b) Se o artista decidir criar uma mistura total de $1$ litro ($1000$ ml), que quantidade de cada cor deve adicionar, mantendo a proporção original?

Três irmãos decidem dividir os $144$ € que receberam como prenda dos seus avós de forma diretamente proporcional às suas idades, que são $10$, $12$ e $14$ anos, respetivamente. Que quantidade de dinheiro corresponde a cada um?

Três amigos decidem criar um canal de streaming de videojogos. Ao finalizar o primeiro mês, obtiveram uma receita de $1\,260\text{ €}$ com publicidade. Concordam em dividir o dinheiro de forma diretamente proporcional às horas que cada um dedicou a gravar e a editar conteúdo.

O Marcos dedicou $12$ horas, a Leonor dedicou o dobro do Marcos, e o Gonçalo dedicou tantas horas quanto a metade do que o Marcos e a Leonor dedicaram juntos. Calcule quanto dinheiro corresponde a cada um e determine qual é a constante de proporcionalidade $k$ (dinheiro por hora trabalhada).

Uma câmara municipal quer incentivar o uso de energias limpas e distribui um subsídio de $15\,000\text{ €}$ entre três condomínios que instalaram painéis solares. A divisão é feita de forma diretamente proporcional à superfície de painéis instalada.

O Condomínio A instalou $120\text{ m}^2$. O Condomínio B instalou $25\%$ a mais que o Condomínio A. O Condomínio C instalou $60\%$ da soma das superfícies dos condomínios A e B juntos. Calcule quanto dinheiro recebe cada condomínio.

Um carregador rápido de smartphone é capaz de carregar $18\%$ da bateria em apenas $12$ minutos. Se a velocidade de carga se mantiver constante:

1. a) Que percentagem de bateria se terá carregado após meia hora ($30$ minutos)?
2. b) Quanto tempo total (em minutos e segundos) levará o telemóvel a passar de $0\%$ a $100\%$ de carga?

O gráfico a seguir representa a relação entre a massa de um metal precioso e o seu valor no mercado. Observa que é uma função de proporcionalidade direta:

• a) Determina a constante de proporcionalidade $k$, que representa o preço por grama.

• b) Se uma joia contém $15\%$ de impurezas (massa que não tem valor) e pesa no total $24\text{ g}$, qual é o valor do metal puro que ela contém, com base no gráfico?

O serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa aplica a seguinte tarifa: $1,20\text{ €}$ fixos pelo desbloqueio da bicicleta mais $0,15\text{ €}$ por cada minuto de trajeto.

A Elena afirma: «Se por um trajeto de $10\text{ minutos}$ pago $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$, quando pedalar durante o dobro do tempo ($20\text{ minutos}$) terei de pagar o dobro ($5,40\text{ €}$). Como ao duplicar o tempo duplica o custo, ambas as grandezas são diretamente proporcionais».

1. a) Calcula o custo real de uma viagem de $20\text{ minutos}$ e determina se a afirmação da Elena sobre o preço é correta.
2. b) Utiliza o quociente $\frac{\text{preço}}{\text{tempo}}$ para $10$ e para $20\text{ minutos}$ e explica detalhadamente por que razão o tempo de utilização e o preço final NÃO são grandezas diretamente proporcionais, indicando que elemento da tarifa quebra essa proporcionalidade e como se refletiria isto no seu gráfico em comparação com uma reta de proporcionalidade direta.
3. c) Modifica o enunciado original eliminando ou alterando unicamente um elemento da tarifa para que o preço total passe a ser diretamente proporcional ao tempo de utilização. Indica qual seria a nova constante de proporcionalidade direta $k$ e qual seria o seu significado na vida real.