Potências

Exprima os seguintes produtos na forma de potência e indique qual é a base e qual é o expoente em cada caso:

1. a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

1. b) $12 \cdot 12 \cdot 12$

1. c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

1. d) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Calcule o valor das seguintes potências básicas:

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Observe o seguinte quadrado formado por pequenas células. Exprima o número total de células na forma de potência e calcule o seu resultado.

Escreva a decomposição polinomial dos seguintes números utilizando potências de base $10$:

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Escreva a decomposição polinomial dos seguintes números utilizando potências de base 10:

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Aplique as propriedades das potências para escrever o resultado como uma única potência:

1. a) $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{5}$

1. b) $a^{3} \cdot a^{4}$

1. c) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3}$

1. d) $2^{6} \cdot 2^{6}$

Reduza a uma única potência utilizando a propriedade do quociente de potências com a mesma base:

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Aplique as propriedades das potências para reduzir as seguintes expressões a uma única potência:

a) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7} =$

Um vídeo de um streamer tornou-se viral numa rede social. Durante as primeiras horas, o número de pessoas que partilham o vídeo triplica a cada hora. Se no início 3 pessoas o partilharam:

a) Escreve na forma de potência o número de pessoas que terão partilhado o vídeo após 5 horas.

b) Calcula o valor dessa potência para saberes o número total de pessoas nesse momento.

Simplifique as seguintes expressões deixando o resultado na forma de uma única potência:

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

Num armazém de logística, as caixas são organizadas em estantes cúbicas. Um bloco de armazenamento é formado por 4 estantes de largura, 4 de comprimento e 4 de altura. Se cada estante contém 4 caixas:

a) Exprime o número total de caixas na forma de uma única potência.

b) Se cada caixa contém $2^3$ pacotes de folhas de papel, quantos pacotes de folhas há no total no bloco? Exprime o resultado como uma potência de base 2.

Calcule o valor das seguintes expressões combinadas respeitando a hierarquia das operações:

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \cdot 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \cdot (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Qual das seguintes expressões é maior? Efetue os cálculos necessários para justificar a resposta sem utilizar a calculadora.

a) $2^6$

b) $4^3$

c) $8^2$

d) $64^1$

Que relação encontra entre as bases de todas estas potências?

Um criador de conteúdos publica um vídeo que se torna viral. Se a cada hora o número de pessoas que o viram triplica ($3^{n}$), complete a seguinte tabela expressando os resultados na forma de potência:

Tempo decorrido	Pessoas que viram o vídeo
No início (Hora 0)	$3^{0} = 1$
Após 1 hora	$3^{1} = 3$
Após 2 horas
Após 5 horas
Após $n$ horas

Num teste do 2.º ano do Ensino Básico (2.º ESO), o Lucas resolveu dois exercícios de simplificação cometendo erros conceptuais frequentes:

• Caso A: Escreveu que $3^2 \cdot 3^4 = 9^6$, justificando que «se multiplicam as bases e se somam os expoentes».

• Caso B: Escreveu que $2^3 \cdot 5^3 = 10^6$, justificando que «se multiplicam as bases e se somam os expoentes».

1. a) Explica fundamentadamente o erro cometido no Caso A, indica que propriedade deveria ter aplicado e escreve o resultado correto sob a forma de uma única potência.
2. b) Explica o erro cometido no Caso B, que propriedade corresponde a essa operação e calcula a potência correta.
3. c) Redige uma regra clara e breve para que um colega não confunda quando se devem somar os expoentes e quando se multiplicam as bases.

Sem realizar o cálculo completo das potências, indique de forma justificada qual dos seguintes números é maior. Utilize para isso a transformação das bases para uma base comum:

$$ A = 8^{20} \cdot 4^{15} $$ $$ B = 16^{18} \cdot 2^5 $$

Encontra o valor da incógnita $x$ em cada uma das seguintes igualdades, aplicando as propriedades das potências:

a) $7^x \cdot 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

Encontra o valor da incógnita $n$ nas seguintes igualdades, aplicando as regras das potências:

1. a) $2^n \cdot 2^3 \cdot 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \cdot 9 = 3^{10}$

Para decifrar um código de segurança, deve encontrar-se um número natural $x$ que verifica a seguinte igualdade com potências:

$$\frac{4^{x+2} \cdot 8^x}{16^x} = 64$$

1. a) Decompõe as bases $4$, $8$, $16$ e o resultado $64$ em potências de base $2$.
2. b) Transforma o membro da esquerda numa única potência de base 2 aplicando ordenadamente as propriedades da potência de uma potência, do produto e do quociente de potências com a mesma base.
3. c) Iguala os expoentes obtidos em ambos os lados para propor uma equação do primeiro grau e calcula o valor de $x$. Verifica que a tua solução está correta substituindo o valor encontrado na expressão inicial.
4. d) Raciocínio inverso: Se o membro da direita fosse $1$ em vez de $64$, existiria algum número natural $x$ que cumprisse a igualdade? Justifica a tua resposta utilizando a propriedade do expoente 0 ($a^0 = 1$ para $a \neq 0$).

Exprime os seguintes dados utilizando a notação científica:

a) A distância média da Terra à Lua é de cerca de $384\,400$ quilómetros.

b) A população mundial aproximada é de $8\,000\,000\,000$ de pessoas.

c) Um ano-luz equivale aproximadamente a $9\,461\,000\,000\,000$ de quilómetros.

Para simplificar e calcular a expressão numérica $\dfrac{12^4}{3^4 \cdot 4^2}$ sem utilizar calculadora, dois alunos propõem estratégias distintas:

• Método da Beatriz: Agrupa primeiro o numerador e parte do denominador através da potência de um quociente: $\dfrac{12^4}{3^4} = (12 : 3)^4 = 4^4$. De seguida, divide $4^4 : 4^2$ subtraindo expoentes.

• Método do Marcos: Decompõe o número $12$ em fatores primos ($12 = 2^2 \cdot 3$), aplica a potência de um produto no numerador, decompõe o denominador ($4 = 2^2$) e simplifica subtraindo expoentes de potências com a mesma base.

1. a) Desenvolve passo a passo o procedimento seguindo o Método da Beatriz até encontrares o valor final.
2. b) Desenvolve o procedimento seguindo o Método do Marcos até obteres o resultado.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual consideras mais rápido neste exercício e porquê? Em que situação o método da Beatriz não se poderia aplicar e seria imprescindível utilizar o do Marcos?

Perante o aviso de nevões intensos emitido pelo IPMA numa região de montanha, a Proteção Civil ativa um protocolo em cadeia para avisar os abrigos isolados:

• No passo 1 (aos 10 minutos do alerta), o centro distrital avisa 3 postos principais.

• No passo 2 (aos 20 minutos), cada um desses 3 postos avisa 3 abrigos de zona.

• Em cada novo passo de 10 minutos, cada abrigo avisado no turno anterior contacta 3 novos abrigos locais, sem interromper a cadeia.

1. a) Modela através de uma potência de base 3 o número de abrigos novos que recebem o alerta exatamente no passo $n$. Quantos são avisados no passo 4?
2. b) Exprime através de uma soma de potências o total acumulado de abrigos avisados desde o início até terminar o passo 3 inclusive.
3. c) Se a cadeia termina quando num determinado passo se avisam $3^6$ abrigos, quantos minutos decorreram no total desde que se iniciou o primeiro aviso? Justifica como obténs o tempo a partir do expoente.

Numa escavação arqueológica perto da antiga Mesopotâmia, foi encontrada uma estrutura cerimonial formada por blocos de pedra cúbicos. A estrutura segue um padrão de "cubos encaixados". O primeiro nível é um cubo de $2 \cdot 2 \cdot 2$ blocos. O segundo nível envolve o anterior formando um cubo de $4 \cdot 4 \cdot 4$ blocos, e o terceiro, um de $8 \cdot 8 \cdot 8$ blocos.

1. a) Exprime como uma única potência de base 2 o número total de blocos que haveria no quinto nível se a aresta do cubo continuar a duplicar a cada passo.
2. b) Se cada bloco tem uma massa de $2^6$ kg, exprime a massa total da estrutura do quinto nível como uma única potência.

Uma nova rede social detetou que o número de "partilhas" de uma notícia falsa triplica a cada hora. Às 10:00 da manhã, a notícia já tinha sido partilhada $3^4$ vezes.

1. a) A que horas é que o número de partilhas superará pela primeira vez o número de $3^{10}$?
2. b) Se o servidor colapsar quando o número de partilhas atingir $9^7$, quantas horas terão passado desde as 10:00 até ao colapso? Apresenta todos os passos usando propriedades das potências.

Calcule o valor da seguinte expressão combinada, aplicando as propriedades das potências sempre que possível para simplificar o cálculo antes de efetuar as operações:

$$ \frac{(2^3 \cdot 2^2)^2 \cdot 5^7 \cdot 10^3}{(5^2)^4 \cdot 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

O armazenamento de um supercomputador é medido em "Exabytes". Sabendo que $1 \text{ kilobyte} = 10^3 \text{ bytes}$, $1 \text{ megabyte} = 10^3 \text{ kilobytes}$, $1 \text{ gigabyte} = 10^3 \text{ megabytes}$ e assim sucessivamente seguindo as potências de 10 (terabyte, petabyte, exabyte):

1. a) Expresse em notação científica quantos bytes há num Exabyte.
2. b) Se um ficheiro de vídeo de alta definição ocupa $2 \cdot 10^9$ bytes, quantos ficheiros deste tipo cabem num disco de $4 \text{ Petabytes}$? Expresse o resultado em notação científica.

Deseja-se projetar um mosaico quadrado composto por azulejos também quadrados. Sabe-se que o número de azulejos utilizados é a solução da seguinte operação:

$$ \sqrt{10^2 - 8^2} \cdot (3^3 - 5^2)^2 - 2^3 $$

1. a) Quantos azulejos terá o mosaico no total?
2. b) Quantos azulejos haverá em cada lado do mosaico quadrado?

Um número natural $X$ tem a seguinte decomposição em fatores primos: $X = 2^a \cdot 3^2 \cdot 5^b$.

Sabe-se que:

• O máximo divisor comum de $X$ e $180$ é $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0$.

• O mínimo múltiplo comum de $X$ e $180$ é $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Encontra os valores dos expoentes $a$ e $b$ e escreve o número $X$ em notação decimal. (Dado: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$).

O arquivo de um município português vai digitalizar atas históricas. Têm catalogadas $2^9$ caixas; cada caixa contém $2^6$ maços de documentos e cada maço ocupa, digitalizado em alta resolução, $2^7\text{ KB}$ (quilobytes).

O serviço técnico hesita entre adquirir uma pen USB de $64\text{ GB}$ ou contratar um disco em rede de $1\text{ TB}$.

Dados de equivalência aproximada: $1\text{ GB} \approx 10^6\text{ KB}$, $1\text{ TB} \approx 10^9\text{ KB}$ e $2^{10} = 1024 \approx 10^3\text{ KB}$.

1. a) Estima: Sem calculares o valor numérico detalhado, calcula mentalmente o tamanho total somando os expoentes em base 2 e utiliza a aproximação $2^{10} \approx 10^3$ para estimar a ordem de grandeza do arquivo em potências de 10. Formula uma hipótese: bastará a pen de $64\text{ GB}$ ou será necessário o disco de $1\text{ TB}$?
2. b) Verifica: Exprime o tamanho total exato do arquivo sob a forma de uma única potência de base 2 aplicando as propriedades do produto de potências.
3. c) Decompõe a dita potência na forma $(2^{10})^2 \cdot 2^k$ para calcular o seu valor numérico em quilobytes e determina fundamentadamente se a tua estimativa inicial estava correta e que suporte convém comprar para não gastar a mais.

Resolve os seguintes desafios construindo as potências que cumprem as condições pedidas:

1. a) Encontra três formas distintas de escrever o número $64$ como uma única potência $a^b$, onde tanto a base $a$ como o expoente $b$ sejam números naturais maiores que $1$.
2. b) Escreve o número $81$ como potência de base $3$ e como potência de base $9$. Demonstra, aplicando a propriedade da potência de uma potência, por que razão ambas as expressões representam exatamente a mesma quantidade.
3. c) Escreve uma multiplicação de duas potências que tenham base diferente e expoente diferente (ambos maiores que $1$) cujo resultado final seja exatamente igual a $2^7$.