Expressões algébricas

Identifique os elementos dos seguintes monómios completando as informações de cada um:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Para cada um, indique: Coeficiente, Parte literal e Grau.

Numa loja de jogos online, o preço de uma subscrição mensal é de $x$ euros. Traduza para a linguagem algébrica as seguintes situações:

1. a) O custo de três subscrições mensais.
2. b) O preço de uma subscrição depois de aplicar um cupão de desconto de $5$ euros.
3. c) O valor que um grupo de amigos paga por uma subscrição mensal mais um jogo de $25$ euros.
4. d) O dobro do preço de uma subscrição aumentado em $10$ euros.

Estamos a projetar um novo tablet cujo ecrã é retangular. A base mede $x$ centímetros e a altura mede $5$ centímetros a menos do que a base. Escreva uma expressão algébrica para o perímetro do ecrã e simplifique-a.

Numa loja de banda desenhada, o preço de uma assinatura mensal é de $x$ euros. Por cada revista adicional comprada, cobram-se $y$ euros, mas, se forem compradas mais de cinco, aplica-se um desconto de $3$ euros sobre o total. Escreva a expressão algébrica que representa o gasto mensal de um cliente que comprou $7$ revistas adicionais.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas para os valores indicados:

1. a) $5x - 3$ para $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ para $a = 3$ e $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$

A Beatriz tem de calcular o valor numérico do trinómio $3x^2 - 5x + 4$ para $x = -2$. No seu exame, escreveu o seguinte desenvolvimento:

1. a) Identifica e explica com clareza os dois erros que a Beatriz cometeu relacionados com o uso dos parênteses e a prioridade das operações.
2. b) Escreve o desenvolvimento correto passo a passo e encontra o verdadeiro valor numérico da expressão.

Encontra o valor numérico do polinómio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para os valores das variáveis indicados:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Uma empresa tecnológica estima os seus lucros mensais (em euros) através do polinómio $B(x) = 2x^3 - 40x^2 + 150$, onde $x$ representa o número de pacotes de servidores contratados (em dezenas).

1. a) Sem calcular o valor exato ainda, estima se para $x = 50$ o lucro será positivo ou negativo e de que ordem de grandeza será (centenas de milhares ou milhões de euros). Justifica a tua estimativa explicando qual é o termo dominante do polinómio quando a variável se torna grande.
2. b) Calcula o valor numérico exato de $B(50)$ substituindo e operando ordenadamente.
3. c) Verifica se a tua estimativa foi acertada e calcula agora o valor numérico para $x = 3$. A partir deste segundo cálculo, fundamenta por que razão, para valores pequenos da variável, o termo de maior grau nem sempre determina por si só o sinal do resultado.

Observe a seguinte sequência de figuras feitas com pontos e determine a expressão algébrica do termo geral $a_{n}$ (onde $n$ é a posição da figura). Quantos pontos terá a figura que ocupar a posição $n=50$?

Um artista digital está a criar um mosaico de pixels que cresce seguindo um padrão determinado. Na etapa $n=1$ usa 3 pixels, na etapa $n=2$ usa 8 pixels, na etapa $n=3$ usa 15 pixels, e assim sucessivamente.

Observa o padrão visual e realiza as seguintes tarefas:

1. Encontra a expressão algébrica (termo geral) que determina o número de pixels necessários para qualquer etapa $n$.

2. Se o ecrã digital tiver um limite de $1000$ pixels, o artista poderia completar a etapa $n=30$? Justifica a tua resposta calculando o valor numérico.

Classifique as seguintes expressões algébricas indicando se são monómios, binómios ou trinómios. No caso dos polinómios (binómios e trinómios), indique também qual é o seu grau.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Reduza as seguintes expressões algébricas somando ou subtraindo os monómios semelhantes:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Um pavilhão desportivo municipal tem um campo de basquetebol de forma retangular. Se o comprimento do campo é $y$ metros e a sua largura é metade do comprimento, escreve o polinómio que representa a área do campo em função de $y$.

No serviço público de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa, a inscrição tem uma taxa fixa de manutenção de $25$ euros por ano. Cada viagem padrão de menos de meia hora custa $0,60$ euros, mas se o utilizador exceder esse tempo, é-lhe aplicada uma sobretaxa adicional de $1,50$ euros por cada fração de tempo extra.

1. a) Escreve uma expressão algébrica que represente a despesa anual total de uma pessoa que realiza $x$ viagens padrão e acumula $y$ sobretaxas por excesso de tempo.
2. b) Classifica a expressão obtida de acordo com o seu número de termos (monómio, binómio ou trinómio) e indica qual é o seu grau.
3. c) Calcula o valor numérico para descobrir quanto pagará no total o André se ao longo do ano tiver realizado $60$ viagens padrão e tiver acumulado $4$ sobretaxas.

Desenha um trinómio na variável $x$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1. O seu grau é $2$.

2. O coeficiente do termo de maior grau é um número inteiro negativo.

3. O seu termo independente é $5$.

4. O seu valor numérico para $x = 3$ é exatamente igual a $2$.

1. a) Determina fundamentadamente os coeficientes que faltam e escreve a expressão algébrica do teu trinómio.
2. b) Esta é a única solução possível ou existem outros trinómios diferentes que também cumpram todas as condições? Justifica a tua resposta deduzindo que relação devem manter os seus coeficientes.

Calcule a expressão algébrica que representa a área da seguinte figura geométrica em função de $x$. Simplifique o resultado somando os termos semelhantes.

Reduza ao máximo a seguinte expressão algébrica efetuando as operações com monómios e eliminando os parênteses:

$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Dados os polinómios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ e $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realize as seguintes operações e ordene o polinómio resultante do maior para o menor grau:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$

Um drone de vigilância percorre um terreno retangular cujas dimensões são dadas pelos polinómios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para o comprimento e $A(x) = 2x + 1$ para a largura. Obtenha o polinómio que representa a área total do terreno.

Utiliza os casos notáveis para desenvolver as seguintes expressões sem efetuar a multiplicação passo a passo:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$

Extrai o maior fator comum possível nas seguintes expressões algébricas:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

O novo modelo de um smartphone tem um ecrã retangular de vidro com dimensões de $x$ de largura e $x+4$ de comprimento. Ao redor do ecrã há uma moldura ou "bezel" protetor que tem uma espessura uniforme de $2$ cm em todos os seus lados.

1. Encontra o polinómio reduzido que expressa a área total da parte frontal do telemóvel (ecrã mais moldura).

2. Encontra o polinómio reduzido que expressa unicamente a área da moldura (a zona cinzenta).

3. Se a largura do ecrã $x$ for de $6$ cm, qual é a área da moldura?

Uma empresa de aluguer de trotinetes elétricas cobra uma taxa base de $B$ euros por desbloqueio e $0,15$ euros por cada minuto de utilização ($m$). Além disso, se o utilizador percorrer mais de $5$ quilómetros, aplica-se uma taxa adicional de segurança de $S$ euros. À soma destes valores deve aplicar-se $21\%$ de IVA.

1. Escreve a expressão algébrica do custo total $C$ de uma viagem se o utilizador ultrapassar $5$ km de distância.

2. Simplifica a expressão anterior realizando as operações possíveis.

3. Se a taxa base for de $1$ euro e a taxa adicional de segurança for de $2$ euros, quanto pagará uma pessoa que utilizar a trotinete durante $20$ minutos e percorrer $6$ km?

Efetue as operações e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica utilizando os casos notáveis para reduzir termos:

Mostre o processo passo a passo, indicando qual o caso notável que aplicou em cada situação.

Considere o polinómio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.

1. Determine o valor do coeficiente $k$ sabendo que o valor numérico do polinómio para $x = 2$ é igual a zero ($x = 2$ é uma raiz do polinómio).

2. Depois de encontrar $k$, calcule o valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Pretende-se projetar uma área de jogos num parque que consiste num grande círculo de raio $R$. Dentro desse círculo, será instalada uma área de areia quadrada cujo lado mede exatamente o raio $R$ do círculo. O restante do círculo será coberto com relva artificial.

1. Escreve a expressão algébrica reduzida para a área da zona de relva artificial em função de $R$. Utiliza $\pi$ como símbolo.

2. Coloca o fator comum em evidência na expressão obtida.

3. Se o raio $R$ for de $10$ metros, calcula a área de relva (usa $\pi \approx 3,14$).

Simplifique a seguinte fração algébrica extraindo primeiro o fator comum e utilizando casos notáveis no numerador e no denominador:

Para que valor de $x$ essa expressão não teria sentido? (Dica: o denominador não pode ser zero).

Demonstre algebricamente que a diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre igual à soma desses números.

Instruções:

1. Designa por $n$ o primeiro número e por $n+1$ o seguinte.

2. Escreve a expressão da diferença dos seus quadrados: $(n+1)^2 - n^2$.

3. Desenvolve e simplifica a expressão.

4. Verifica o resultado com os números $12$ e $13$.

Duas estudantes, a Irene e a Leonor, recebem a tarefa de traduzir para linguagem algébrica e avaliar a seguinte instrução: «O quádruplo da diferença entre o quadrado de um número $n$ e $9$, tudo aumentado no triplo do referido número».

• A Irene traduz a frase mantendo a estrutura literal através de parênteses: $I(n) = 4(n^2 - 9) + 3n$.

• A Leonor prefere aplicar a propriedade distributiva e ordenar os termos desde o início: $L(n) = 4n^2 + 3n - 36$.

1. a) Verifica algebricamente se ambas as expressões são equivalentes ou se alguma delas cometeu um erro na sua formulação.
2. b) Se tiveres de calcular o valor numérico para $n = 3$, avalia-o usando a forma da Irene e depois usando a da Leonor. Justifica qual dos dois caminhos resulta mais rápido e com menor risco de cálculo para este valor concreto.
3. c) Se te pedirem para identificar, sem margem para dúvidas, o grau do polinómio, o número de termos e o termo independente, justifica qual das duas formas é imprescindível utilizar e porquê.

De acordo com os dados do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA), num dia de montanha a temperatura ambiente no ponto de partida (a $0$ metros de altitude) é de $12$ ºC. À medida que se sobe uma altura de $h$ metros, a temperatura diminui $0,65$ ºC por cada $100$ metros subidos devido ao gradiente térmico vertical. Por outro lado, a sensação térmica sentida reduz-se adicionalmente em $0,2$ ºC por cada km/h de velocidade do vento ($v$).

1. a) Escreve uma expressão algébrica reduzida que determine a sensação térmica $S(h, v)$ em função da altitude $h$ (em metros) e da velocidade do vento $v$ (em km/h).
2. b) Classifica a expressão obtida de acordo com o seu número de termos e indica o grau de cada um deles relativamente às suas variáveis.
3. c) Uma equipa de resgate encontra-se num refúgio a $1600$ metros de altitude e o anemómetro regista rajadas de vento de $35$ km/h. Calcula o valor numérico da sensação térmica exata no refúgio.
4. d) Se o protocolo da Proteção Civil exigir a ativação do alerta por frio extremo caso a sensação térmica desça abaixo dos $-7$ ºC, fundamenta algebricamente a partir de que velocidade do vento se ativará o referido alerta se a equipa permanecer a essa mesma altitude de $1600$ metros.