Raízes quadradas e raízes cúbicas

Calcule mentalmente o valor das seguintes raízes quadradas exatas apoiando-se nas tabuadas da multiplicação:

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

Associa no teu caderno cada potência à sua raiz correspondente, como no exemplo:

Exemplo: $7^2 = 49 \rightarrow \sqrt{49} = 7$

1. a) $4^2 = 16$
2. b) $9^2 = 81$
3. c) $12^2 = 144$
4. d) $15^2 = 225$

O quarto da Beatriz tem forma quadrada e possui uma superfície total de $16$ metros quadrados. Quanto mede o comprimento da parede do seu quarto?

Observe o seguinte mosaico formado por pontos. Qual número natural representa o total de pontos? Qual é a sua raiz quadrada?

Indica entre quais dois números naturais consecutivos se encontram as seguintes raízes quadradas. Observa o exemplo:

Exemplo: $\sqrt{10}$ está entre $3$ e $4$ porque $3^2=9$ e $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Marco quer organizar a sua coleção de $40$ figuras de ação numa montra quadrada.

1. a) Qual é o maior quadrado perfeito que ele pode formar com as suas figuras?
2. b) Quantas figuras sobrarão se ele formar esse quadrado?
3. c) Quantas figuras faltariam para ele poder formar o próximo quadrado perfeito?

Uma empresa de logística quer armazenar $196$ pacotes de material médico num armazém de base quadrada. Se os pacotes devem ser colocados formando um quadrado perfeito no chão, quantos pacotes haverá em cada lado? Se depois receberem mais $30$ pacotes e quiserem voltar a formar o maior quadrado possível, quantos pacotes sobrarão?

Indique, sem utilizar a calculadora, entre quais dois números naturais consecutivos se encontram as seguintes raízes quadradas. Justifique a sua resposta com base nos quadrados perfeitos mais próximos:

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Sabe-se que um número natural tem uma raiz quadrada inteira igual a $15$ e o seu resto é o maior possível. De que número estamos a falar?

(Dica: O resto de uma raiz não pode ser igual ou maior que $2 \cdot \text{raíz} + 1$).

Sabendo que um número natural $N$ tem por raiz quadrada inteira $a = 45$, calcula qual é o maior valor que pode tomar esse número $N$ e qual é o seu resto nesse caso. Tem em conta a propriedade que relaciona o resto com a raiz inteira para que a aproximação seja máxima. Na figura (sem escala exata nas lacunas) tens o quadrado de lado $a$ e o quadrado seguinte, de lado $a+1$.

Determina, sem usar a calculadora e fundamentando a tua resposta através do cálculo de quadrados de números próximos, entre que dois números decimais consecutivos com uma casa decimal (por exemplo, $4,4$ e $4,5$) se encontra a raiz quadrada de $75$.

(Exemplo: $\sqrt{20}$ está entre $4,4$ e $4,5$ porque $4,4^2 = 19,36$ e $4,5^2 = 20,25$).

Num jogo eletrónico de construção, um jogador dispõe de $150$ blocos de pedra para criar a base de uma torre quadrada. Calcule:

1. O comprimento do lado da maior base quadrada que ele pode construir.

2. O número de blocos que sobrarão após a construção.

O clube de xadrez de uma escola tem $85$ alunos inscritos. Para a fotografia oficial do ano letivo, o fotógrafo quer posicioná-los formando um quadrado perfeito.

1. Quantos alunos ficarão de fora da fotografia se ele quiser formar o maior quadrado possível?

2. Quantos alunos faltariam para poder acrescentar mais uma linha e uma coluna ao quadrado anterior, de modo que ninguém fique de fora?

A Mei está a projetar uma colagem com fotografias quadradas de $10\text{ cm}$ de lado. Quer colocá-las sobre uma cartolina quadrada cuja superfície é de $2500\text{ cm}^2$, sem deixar espaços entre elas.

1. Qual é a medida do lado da cartolina?

2. Quantas fotografias da Mei cabem no total na cartolina?

Num olival de Elvas (Portalegre), uma cooperativa agrícola recebe uma remessa de $750$ oliveiras jovens para as dispor numa parcela formando uma grelha quadrada perfeita (mesmo número de árvores por linha que por coluna).

1. a) Qual é o maior número de oliveiras que pode ter cada lado da grelha? Quantas plantas ficarão por plantar após formar o referido quadrado?
2. b) Para aproveitar as plantas sobrantes e não deixar falhas, decidem comprar no viveiro as árvores estritamente necessárias para formar um quadrado com mais uma oliveira em cada linha e em cada coluna. Quantas oliveiras adicionais devem comprar, no mínimo?
3. c) Raciocina geometricamente por que razão a quantidade de árvores que é preciso adicionar para passar de um quadrado de lado $r$ para o quadrado seguinte de lado $r + 1$ é sempre igual a $2r + 1$.

Uma empresa de logística quer organizar uma frota de $2\,500$ drones numa formação perfeitamente quadrada para um espetáculo noturno. Devido a uma falha técnica, $15\%$ dos drones não pode levantar voo. Calcule:

1. O lado do maior quadrado que se pode formar com os drones que permanecem operacionais.

2. Quantos drones sobram após formar esse quadrado.

3. Quantos drones operacionais adicionais seriam necessários para acrescentar mais uma linha e uma coluna ao quadrado e para que este continue completo.

A área de um jardim quadrado é de $676$ $m^2$. Ao redor do jardim, quer-se instalar uma vedação de segurança que custa $12,50$ € o metro linear. No entanto, deve-se deixar uma abertura de $2,5$ metros para um portão num dos lados. Calcule o orçamento total para a instalação da vedação.

Foi construída uma plataforma quadrada unindo peças quadradas de plástico de $1$ $dm^2$ cada uma. Para contornar toda a plataforma, foram utilizadas $156$ peças de cor azul (que formam o perímetro exterior com a largura de uma peça).

1. Qual é a área total da plataforma em $dm^2$?

2. Qual é a raiz quadrada exata dessa área?

Na plataforma logística de Lisboa, uma empresa de encomendas armazena paletes quadradas idênticas no chão formando um grande bloco quadrado compacto de $n$ paletes por lado.

1. a) Após receber uma remessa de $49$ novas paletes, o encarregado verifica que pode colocá-las todas reorganizando a carga num novo quadrado compacto que tem exatamente mais uma fila e mais uma coluna do que o original (ou seja, de lado $n + 1$). Escreve a igualdade correspondente e calcula quantas paletes havia inicialmente no armazém.
2. b) Tomando como ponto de partida o bloco já ampliado (de lado $n + 1$), querem planear uma futura ampliação para que o lado passe a ser de $n + 3$ paletes. Deduz fundamentadamente quantas paletes adicionais precisarão de encomendar no total para o conseguir.
3. c) Se em vez de $49$ paletes tivessem recebido apenas $35$ sobre o stock inicial da alínea a), teria sido possível ampliar o lado do quadrado para $n + 1$? Se não for esse o caso, calcula a raiz quadrada inteira e o resto do novo total de paletes, e explica que significado prático têm ambos os valores na organização do armazém.

Aplique a propriedade da raiz de um produto para calcular as seguintes raízes de forma mais simples, como mostrado no modelo:

Modelo: $\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

1. a) $\sqrt{9 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{4 \cdot 81}$

Ao corrigir um trabalho no quadro, o Marcos escreve o seguinte:

«Como a raiz quadrada de um produto se pode separar no produto das raízes, com a soma acontece exatamente o mesmo: $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$».

1. a) Explica detalhadamente por que razão o raciocínio do Marcos é erróneo sem te limitares a dizer que «as regras não o permitem».
2. b) Calcula o valor verdadeiro da expressão $\sqrt{64 + 36}$ respeitando a hierarquia das operações e compara-o com o resultado do Marcos.
3. c) Desenha mentalmente ou descreve uma justificação geométrica: pode um quadrado de área $100\text{ cm}^2$ ter lado de $14\text{ cm}$?

Utilize as propriedades das raízes para resolver da maneira mais simples possível:

1. a) $\sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \cdot 49}$

Para calcular o valor exato da expressão $\sqrt{144 \cdot 25}$, dois alunos do 8.º ano propõem estratégias distintas:

• O João faz primeiro a multiplicação do radicando: $144 \cdot 25 = 3600$, e depois calcula $\sqrt{3600}$.

• A Beatriz aplica a propriedade distributiva da raiz em relação ao produto: $\sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$, e depois multiplica as raízes obtidas.

1. a) Desenvolve por completo ambos os procedimentos até chegares ao resultado final.
2. b) Compara os dois caminhos e justifica qual resulta mais vantajoso se tiveres de realizar o cálculo mentalmente ou sem calculadora.
3. c) Se a operação proposta fosse $\sqrt{144 : 4}$, poder-se-ia aplicar o método da Beatriz? E se fosse $\sqrt{144 - 64}$? Justifica em cada caso se a propriedade correspondente é aplicável ou não.

Resolve as seguintes operações combinadas respeitando a ordem das operações:

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \cdot \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \cdot 3$

Calcule o valor das seguintes expressões respeitando a ordem das operações:

1. a) $3 \cdot \sqrt{81} - 2^2 \cdot (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Calcule o valor da seguinte expressão combinada, prestando atenção à ordem das operações e às propriedades das raízes:

Queremos descobrir a raiz quadrada do número $85$ sem utilizar calculadora nem aplicar o algoritmo tradicional da raiz.

1. a) Estima o valor de $\sqrt{85}$ identificando entre que dois quadrados perfeitos consecutivos se encontra o radicando $85$, e deduz entre que dois números naturais inteiros consecutivos está compreendido esse valor.
2. b) A partir da tua estimativa anterior, indica qual é a raiz quadrada inteira $r$ de $85$ e calcula o seu resto $R$.
3. c) Comprova que o teu resultado é válido verificando que se cumpre a igualdade $N = r^2 + R$ e assegurando que o resto é estritamente menor do que o dobro da raiz mais um ($R < 2r + 1$).

Encontre o valor do algarismo $k$ para que o número $7\,05k$ seja um quadrado perfeito. Depois de encontrá-lo, calcule a raiz quadrada desse número utilizando o algoritmo passo a passo. (Dica: O número está compreendido entre $80^2$ e $90^2$).

Um astrónomo observa uma nebulosa cuja superfície aparente no céu é aproximadamente circular. Se a área calculada é de $5,76 \cdot 10^{10}$ $km^2$:

1. Expresse essa quantidade em notação decimal padrão.

2. Calcule o raio dessa nebulosa sabendo que a área de um círculo é aproximada pela fórmula $A \approx 3 \cdot r^2$ (utilizando $\pi \approx 3$ para simplificar).

3. Expresse o resultado do raio em notação científica.

Analisamos as propriedades da raiz quadrada inteira e do resto no conjunto dos números naturais.

1. a) Demonstra fundamentadamente por que razão o resto $R$ da raiz quadrada inteira $r$ de um número natural $N$ nunca pode ser maior ou igual a $2r + 1$. Apoia-te no cálculo do quadrado perfeito seguinte, $(r + 1)^2$.
2. b) Encontra todos os números naturais de dois algarismos ($10 \le N \le 99$) cuja raiz quadrada inteira seja exatamente igual ao seu resto ($r = R$). Justifica por que razão não existem mais soluções além das que encontraste.
3. c) Um número natural desconhecido $N$ tem raiz inteira $r$ e o seu resto $R$ é o maior resto possível para essa raiz. Se sabemos que, ao somar-lhe uma unidade, se converte num quadrado perfeito ($N + 1 = 144$), calcula o valor exato de $N$, a sua raiz inteira $r$ e o seu resto $R$.