Translações

Observa a quadrícula, na qual cada lado de um quadradinho mede uma unidade, e determina as componentes do vetor de translação $\vec{u}$ que permite mover o ponto $P$ até à posição do ponto $P'$.

Identifique qual das seguintes opções descreve corretamente uma translação:

1. a) Rodar uma chave numa fechadura.
2. b) O movimento de uma gaveta ao abri-la.
3. c) O reflexo de uma montanha num lago.
4. d) O movimento dos ponteiros de um relógio.

Dado o segmento de extremidades $A(-3, 1)$ e $B(1, 2)$, calcule as coordenadas do segmento transformado $A'B'$ após lhe aplicar uma translação de vetor $\vec{v} = (4, 3)$. Represente ambos os segmentos num referencial cartesiano.

Aplique uma translação de vetor $\vec{v} = (6, 2)$ ao triângulo de vértices $V_1(0, 0)$, $V_2(2, 0)$ e $V_3(1, 3)$.

1. Escreva as coordenadas dos novos vértices.

2. Como é a área do novo triângulo em relação à do original? Justifique a sua resposta.

Se transladarmos o ponto $Q$ segundo o vetor $\vec{v} = (-4, 7)$, obtemos o ponto $Q'(0, 2)$. Quais eram as coordenadas do ponto original $Q$ antes da translação?

Numa aplicação de design gráfico, um adolescente está a criar um logótipo. Desenhou um triângulo com vértices em $P(2, -1)$, $Q(5, 0)$ e $R(3, 4)$. Para completar o design, precisa de transladar o triângulo de modo que o vértice $P$ fique na origem das coordenadas $O(0, 0)$.

1. a) Indique as componentes do vetor de translação $\vec{v}$ que ele deve aplicar.
2. b) Calcule as novas coordenadas dos vértices $Q'$ e $R'$ após aplicar essa translação.

Considera o quadrilátero $ABCD$ cujos vértices são $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 3)$ e $D(2, 3)$, representado na figura.

1. a) Aplica ao quadrilátero uma translação de vetor $\vec{t} = (3, -4)$ e escreve as coordenadas dos vértices da figura imagem $A'B'C'D'$.
2. b) Calcula a área do quadrilátero original e verifica se a translação modificou o seu valor. Justifica a tua resposta com base nas propriedades das isometrias.

Num videojogo, uma personagem está no ponto $C(5, -2)$. O jogador pressiona uma combinação de teclas que equivale a uma translação. Se a personagem aparece de repente no ponto $C'(1, 3)$, qual é o vetor de translação $\vec{w}$ que atuou?

Um objeto sofre duas translações consecutivas. A primeira é definida pelo vetor $\vec{u} = (2, 5)$ e a segunda pelo vetor $\vec{v} = (3, -1)$. Qual é o vetor da translação única equivalente à composição das duas anteriores?

Um robô de armazém desloca-se pelo piso do armazém seguindo uma trajetória retilínea. O técnico definiu o seu movimento por meio da composição de três translações sucessivas:

1. $\vec{v_1} = (5, -2)$

2. $\vec{v_2} = (-3, 7)$

3. $\vec{v_3} = (a, b)$

Se o robô começa no ponto $(0, 0)$ e, após os três movimentos, termina no ponto $(4, 4)$, quais devem ser as componentes do terceiro vetor $\vec{v_3}$?

Diz-se que duas translações são inversas se, ao aplicá-las uma após a outra, o ponto final coincide com o ponto inicial (obtém-se a identidade).

1. a) Se um objeto foi transladado segundo o vetor $\vec{v} = (-7, 4)$, qual é o vetor da translação inversa?
2. b) Se aplicarmos ao ponto $M(x, y)$ a translação $\vec{u} = (3, -2)$ e depois a sua inversa, quais são as coordenadas do ponto resultante?
3. c) Um barco desloca-se do porto $A(10, 20)$ até uma boia $B$ por meio do vetor $\vec{v} = (50, -30)$. Devido a uma tempestade, tem de regressar imediatamente ao porto. Que vetor de translação deve seguir para voltar exatamente ao ponto $A$?

Dada a circunferência de centro $C(3, -2)$ e raio $r = 4$ unidades:

1. a) Determine a equação ou as coordenadas do centro $C'$ da circunferência transladada segundo o vetor $\vec{u} = (-5, 6)$.
2. b) Qual é o raio da nova circunferência?
3. c) Se um ponto $P(7, -2)$ pertence à circunferência original, calcule as coordenadas do seu ponto homólogo $P'$ após a translação.

No plano cartesiano, temos uma reta $s$ que passa pelos pontos $A(0, 2)$ e $B(2, 6)$. Aplicamos a essa reta uma translação de vetor $\vec{v} = (1, 3)$.

1. a) Calcule as coordenadas dos pontos transformados $A'$ e $B'$.
2. b) Determine o declive da reta original $s$ e da reta transladada $s'$. Que relação se observa entre eles?
3. c) Existem vetores de translação que deixem a reta $s$ invariante (ou seja, que a reta transformada coincida com a original)? Dê um exemplo de um desses vetores.

Considere a reta $r$ cuja equação é $y = 2x - 3$. Sabemos que uma translação deixa uma reta invariante (ou seja, a reta transforma-se em si mesma) se o vetor de translação for paralelo a essa reta.

1. Encontre um vetor de translação $\vec{u} = (a, b)$ de módulo $\sqrt{20}$ que deixe a reta $r$ invariante.

2. Se aplicarmos esse mesmo vetor $\vec{u}$ ao ponto $P(1, -1)$, que pertence à reta, quais são as coordenadas do ponto transformado $P'$? Verifique analiticamente se $P'$ continua a pertencer à reta $r$.

No desenho de um videojogo, uma personagem circular com centro em $C(x, y)$ e raio $R = 3$ deve esquivar-se de um obstáculo. A equação inicial do seu contorno é $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 9$.

A personagem é transladada através da composição de dois vetores: $\vec{u} = (7, 3)$ e $\vec{v} = (-2, 5)$. Na figura aparecem a posição inicial da personagem e o muro.

1. a) Determina as coordenadas do centro $C$ antes e depois da translação composta, e calcula o vetor $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.

1. b) Escreve a equação da circunferência na sua posição final.

1. c) Se o obstáculo é um muro vertical situado na reta $x = 5$, explica de forma fundamentada se a personagem choca com o muro após realizar o movimento.

Um drone de vigilância parte de uma base situada no ponto $B(12, 15)$, que vês marcado na quadrícula da figura. Realiza um primeiro deslocamento seguindo o vetor $\vec{u} = (-8, 4)$ para se colocar sobre um alvo. Depois de completar a missão, recebe uma ordem de deslocamento de emergência através do vetor $\vec{v} = (5, -10)$.

1. a) Calcula as coordenadas finais do drone depois de ambos os movimentos.

1. b) Determina o vetor de translação único $\vec{w}$ que permitiria ao drone regressar diretamente da sua posição final até à base $B$ num só movimento.

1. c) Se cada unidade da quadrícula representa $10$ metros, calcula a distância total (módulo) que percorreria nessa viagem de regresso.

Um arquiteto projeta um friso repetindo um motivo poligonal. Os vértices do motivo básico são $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(3, 2)$ e $D(1, 2)$. Para gerar o friso, aplica sucessivamente a translação de vetor $\vec{t} = (4, 0)$.

1. Calcule as coordenadas dos vértices do terceiro motivo do friso (o obtido após aplicar a translação duas vezes consecutivas ao motivo original).

2. Se quisermos que o friso seja uma composição de duas translações diferentes, $\vec{t_1}$ e $\vec{t_2}$, de modo que $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4, 0)$ e que a primeira translação $\vec{t_1}$ desloque o motivo para cima $2$ unidades, quais devem ser o vetor $\vec{t_1}$ e o vetor $\vec{t_2}$?

Dados os pontos $A(-2, 3)$ e $B(4, 7)$, aplica-se-lhes uma translação $T_1$ de vetor $\vec{u} = (k, 2k)$. Após esse movimento, o ponto $A$ transforma-se em $A'$. Sabendo que o módulo do vetor $\vec{AA'}$ é $10$ unidades e que $k > 0$:

1. Determine o valor de $k$.

2. Calcule as coordenadas de $A'$ e $B'$.

3. Demonstre que o segmento $A'B'$ tem o mesmo comprimento que o segmento $AB$. Que propriedade das translações fica demonstrada com isso?

Um triângulo equilátero tem os seus vértices nos pontos $A(0, \sqrt{3})$, $B(-1, 0)$ e $C(1, 0)$. É submetido a uma translação que leva o baricentro do triângulo à origem das coordenadas $O(0, 0)$.

Nota: O baricentro de um triângulo com vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ calcula-se como $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.

1. Calcule as coordenadas do baricentro original $G$.

2. Determine o vetor de translação $\vec{v}$ necessário.

3. Calcule as novas coordenadas dos vértices $A', B'$ e $C'$.

Define-se um movimento no plano como a composição de três translações sucessivas definidas pelos vetores $\vec{a} = (3, -1)$, $\vec{b} = (-5, 4)$ e $\vec{c} = (2, -3)$.

1. Demonstre analiticamente que essa composição de movimentos equivale à translação identidade.

2. O que significa geometricamente que o resultado seja a identidade?

3. Se um quadrado de área $16$ unidades quadradas for submetido a essas três translações, qual será a sua área final? Justifique a sua resposta com base nas propriedades das isometrias.