Fração geratriz de um número decimal
Quatro amigos jantam fora e a conta é de $10\,€$. Cada um paga $10 : 4 = 2{,}50\,€$, e fica tudo certo. Mas se forem três, a calculadora mostra $3{,}3333\ldots$ e a divisão nunca acaba. Qual é o valor exato que cada um deve pagar? Neste apartado aprendes a transformar qualquer dízima numa fração, que é a forma exata de a escrever.
Dízimas finitas e infinitas periódicas
Todo o número racional pode escrever-se como dízima finita ou como dízima infinita periódica. Nas periódicas, há algarismos que se repetem indefinidamente: é o período. Marca-se com um traço por cima.
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Dízima finita: $2{,}75$ (acaba).
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Dízima infinita periódica simples: $1{,}\overline{6}$, em que o período começa logo a seguir à vírgula.
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Dízima infinita periódica mista: $0{,}1\overline{25}$, em que, entre a vírgula e o período, há algarismos que não se repetem: o anteperíodo.
Classifica os seguintes números conforme sejam decimais exatos, dízimas periódicas puras ou dízimas periódicas mistas. Depois, indica para cada um deles qual é a sua…
Classifica os seguintes números conforme sejam decimais exatos, dízimas periódicas puras ou dízimas periódicas mistas. Depois, indica para cada um deles qual é a sua parte inteira e, se tiverem, o seu período e o seu anteperíodo.
- a) $2,75$
- b) $1,\widehat{6}$
- c) $0,1\widehat{25}$
- d) $34,\widehat{09}$
Dízimas finitas → fração
Uma dízima finita lê-se como uma fração decimal. Por exemplo, $0{,}75$ lê-se «setenta e cinco centésimas»:
$$0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$Escreve-se no numerador o número sem a vírgula. No denominador escreve-se $1$ seguido de tantos zeros como casas decimais. Por fim, simplifica-se até obter a fração irredutível.
Calcule a fração geratriz destes decimais exatos. Não se esqueça de simplificar a fração até chegar à fração irredutível. a) $0,8$ b) $1,25$ c) $0,064$ d) $12,5$
Calcule a fração geratriz destes decimais exatos. Não se esqueça de simplificar a fração até chegar à fração irredutível.
- a) $0,8$
- b) $1,25$
- c) $0,064$
- d) $12,5$
Um relógio inteligente indica que completaste $0,65$ do teu objetivo diário de passos, como mostra o anel da figura. Que fração do total de passos representa esta…
Um relógio inteligente indica que completaste $0,65$ do teu objetivo diário de passos, como mostra o anel da figura. Que fração do total de passos representa esta quantidade? Expressa o resultado como uma fração irredutível.
A Amina e o Marcos estão a comparar o quanto avançaram na leitura de um livro. A Amina diz que leu $\frac{3}{4}$ do livro, e o Marcos diz que leu $0,75$ partes. Calcule…
A Amina e o Marcos estão a comparar o quanto avançaram na leitura de um livro. A Amina diz que leu $\frac{3}{4}$ do livro, e o Marcos diz que leu $0,75$ partes.
Calcule a fração geratriz do número do Marcos e verifique se realmente leram o mesmo.
Dízimas periódicas simples → fração
Aqui não podemos ler o número como fração decimal, porque nunca acaba. O truque é fazer desaparecer a parte infinita por subtração.
Se o período tiver dois algarismos, multiplica-se por $100$. Com três, por $1000$, e assim por diante.
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples: a) $0,\widehat{4}$ b) $0,\widehat{15}$ c) $2,\widehat{3}$ d) $1,\widehat{72}$
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples:
- a) $0,\widehat{4}$
- b) $0,\widehat{15}$
- c) $2,\widehat{3}$
- d) $1,\widehat{72}$
Ontem choveu muito e o udómetro da escola recolheu um total de $3,\widehat{3}$ litros por metro quadrado. Como expressarias essa quantidade exata de água usando uma…
Ontem choveu muito e o udómetro da escola recolheu um total de $3,\widehat{3}$ litros por metro quadrado. Como expressarias essa quantidade exata de água usando uma fração?
Encontra a fração geratriz da dízima infinita periódica simples $12,\widehat{3}$. Para isso, segue o método algébrico designando o número por $x$ e multiplicando pela…
Encontra a fração geratriz da dízima infinita periódica simples $12,\widehat{3}$. Para isso, segue o método algébrico designando o número por $x$ e multiplicando pela potência de 10 adequada para subtrair as expressões e eliminar a parte decimal. Não te esqueças de simplificar o resultado.
Dízimas periódicas mistas → fração
Agora há anteperíodo. A ideia é a mesma: usar duas multiplicações por potências de $10$ que alinhem a parte periódica, e subtrair.
Escreva na forma de fração irredutível as seguintes dízimas infinitas periódicas mistas: a) $0,1\widehat{6}$ b) $1,2\widehat{3}$ c) $0,0\widehat{5}$ d) $2,1\widehat{45}$
Escreva na forma de fração irredutível as seguintes dízimas infinitas periódicas mistas:
- a) $0,1\widehat{6}$
- b) $1,2\widehat{3}$
- c) $0,0\widehat{5}$
- d) $2,1\widehat{45}$
Para determinar a fração geratriz da dízima periódica mista $0,2\widehat{5}$, o Marcos escreve no quadro o seguinte procedimento: $$0,2\widehat{5} = \frac{25 - 2}{99} =…
Para determinar a fração geratriz da dízima periódica mista $0,2\widehat{5}$, o Marcos escreve no quadro o seguinte procedimento:
$$0,2\widehat{5} = \frac{25 - 2}{99} = \frac{23}{99}$$Ao ser questionado pelo professor, o Marcos justifica-se dizendo: «O numerador é a subtração entre o número formado pelos algarismos sem vírgula e a parte não periódica, e no denominador coloco dois noves porque a seguir à vírgula há no total dois algarismos decimais».
- a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual cometeu o Marcos ao determinar o denominador da fração.
- b) Escreve a regra correta para este tipo de números e calcula a fração geratriz irredutível de $0,2\widehat{5}$.
- c) Verifica que o teu resultado é o correto efetuando à mão a divisão do teu numerador pelo teu denominador até obteres pelo menos três casas decimais.
Um "streamer" da Twitch calculou que a duração média das suas subscrições é de $2,41\hat{6}$ meses. Se ele quer expressar esse tempo de forma exata para o seu relatório…
Um "streamer" da Twitch calculou que a duração média das suas subscrições é de $2,41\hat{6}$ meses. Se ele quer expressar esse tempo de forma exata para o seu relatório trimestral:
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Identifique que tipo de número decimal ele é.
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Calcule a sua fração geratriz seguindo os passos do método das potências de 10.
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Simplifique a fração até que seja irredutível.
Numa aula de Educação Física, três alunos cronometraram quanto tempo demoram a percorrer 100 metros rasos. Os tempos obtidos foram: Sara: $12,5$ segundos. João:…
Numa aula de Educação Física, três alunos cronometraram quanto tempo demoram a percorrer 100 metros rasos. Os tempos obtidos foram:
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Sara: $12,5$ segundos.
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João: $12,\hat{5}$ segundos.
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Beatriz: $12,0\hat{5}$ segundos.
Exprime o tempo de cada aluno na forma de fração geratriz irredutível e ordena-os do mais rápido para o mais lento.
Operar e comparar com a fração geratriz
Se somares $0{,}333$ a outro número, usas só três algarismos e já cometes um erro, pequeno mas real. A fração geratriz é o valor exato, e as frações somam-se, subtraem-se, multiplicam-se e dividem-se sem perder precisão.
Para comparar uma dízima periódica com outro número, escreve ambos como fração com o mesmo denominador.
Alguns exercícios juntam raízes e potências. Passa o radicando a fração e extrai a raiz do numerador e do denominador: $\sqrt{0{,}25} = \sqrt{\dfrac{25}{100}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$. Com expoente negativo, inverte a base: $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}$.
Calcule o valor da seguinte expressão de forma exata. Para isso, primeiro deves transformar cada número decimal na respetiva fração geratriz irredutível: $$1,25 -…
Calcule o valor da seguinte expressão de forma exata. Para isso, primeiro deves transformar cada número decimal na respetiva fração geratriz irredutível:
$$1,25 - 0,\hat{3} \cdot \left( \frac{1}{2} + 0,1\hat{6} \right)$$Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. O ponto $A$ representa o número decimal $0,8\hat{3}$ e o ponto $B$ representa o número…
Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. O ponto $A$ representa o número decimal $0,8\hat{3}$ e o ponto $B$ representa o número $1,\hat{2}$.
Calcule a fração geratriz de cada ponto e encontre a distância exata que há entre $A$ e $B$ expressa como uma única fração irredutível.
Um jovem programador está a projetar um videojogo e precisa de definir a probabilidade de aparecer um objeto raro. O código exige que a probabilidade seja inserida como…
Um jovem programador está a projetar um videojogo e precisa de definir a probabilidade de aparecer um objeto raro. O código exige que a probabilidade seja inserida como uma fração irredutível, mas o motor gráfico devolve o valor no formato de dízima periódica mista: $P = 0,02\widehat{45}$.
Determina a fração geratriz que o programador deve inserir e justifica se essa probabilidade é maior ou menor que $\frac{1}{40}$.
De volta ao início: na conta do restaurante, cada um dos três amigos paga exatamente $\dfrac{10}{3}\,€ = 3{,}\overline{3}\,€$. Na prática, pagam-se $3{,}34\,€$ ao primeiro e $3{,}33\,€$ aos outros, uma aproximação do valor exato.