Operações com números inteiros

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, o termómetro marcava $-5^{\circ}C$ às sete da manhã. Ao meio-dia, a temperatura subiu $12^{\circ}C$ e, ao chegar a noite, voltou a cair $9^{\circ}C$. Que temperatura o termómetro marcava no final do dia? Escreva a operação completa usando números inteiros.

Observe a seguinte reta numérica e os movimentos realizados por um gafanhoto partindo do ponto $0$. Indique o número inteiro que corresponde a cada posição final após realizar os saltos representados.

1. a) A que número chega ele após o primeiro salto de $+4$?
2. b) Em que número aterra finalmente após o segundo movimento?

Na conta de poupança para a viagem de finalistas há um saldo inicial de $45 €$. Durante a semana realizam-se os seguintes movimentos:

• Depósito de $20 €$ dado pela avó.

• Pagamento de um bilhete de cinema que custa $9 €$.

• Compra de um livro em segunda mão por $6 €$.

• Devolução de $3 €$ emprestados por um amigo.

Calcule o saldo final utilizando uma expressão com números positivos e negativos.

Calcule o valor absoluto dos seguintes números e ordene-os do menor para o maior:

$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$

Resolve as seguintes multiplicações e divisões aplicando corretamente a regra dos sinais:

1. a) $(+6) \cdot (-3) =$
2. b) $(-20) : (-5) =$
3. c) $(-8) \cdot (-4) =$
4. d) $(+35) : (-7) =$

Resolve a seguinte pirâmide numérica de multiplicação. O valor de cada casa é o produto dos dois números inteiros situados logo abaixo.

Elimine os parênteses e calcule o resultado final das seguintes expressões:

1. a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
2. b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
3. c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$

Simplifique a seguinte expressão eliminando os parênteses e utilizando as propriedades do valor absoluto e do simétrico:

$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$

Calcule o resultado destas operações combinadas respeitando a ordem das operações:

1. a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-15) : 3 - 4 =$
3. c) $8 - (-10) : 2 =$
4. d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$

O Tomás resolveu no quadro a seguinte operação combinada com números inteiros:

O seu desenvolvimento passo a passo foi o seguinte:

1) $12 - 4 = 8$

2) Dentro dos parênteses retos: $(-3) - 5 = -8$

3) Multiplica dentro dos parênteses retos: $(-8) \cdot (-2) = 16$

4) Resultado final: $8 \cdot 16 = 128$

Identifica e explica de forma fundamentada os dois erros cometidos pelo Tomás relativamente à prioridade das operações. Em seguida, resolve tu a operação corretamente passo a passo, aplicando com cuidado as regras dos sinais.

Considera a seguinte expressão com números inteiros:

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo no papel, estima de forma fundamentada se o resultado final será um número positivo, negativo ou zero. Para isso, analisa mentalmente a ordem de grandeza acumulada dos termos que subtraem face aos que somam.
2. b) Calcula o valor exato passo a passo respeitando a prioridade das operações e a regra dos sinais.
3. c) Compara o teu resultado com a estimativa inicial e argumenta por que razão a tua previsão estava ou não correta.

Num videojogo de sobrevivência, um jogador começa com $150$ pontos de energia. Por cada hora que passa a explorar grutas escuras, perde $25$ pontos, mas por cada "cristal de luz" que recolhe, ganha $40$ pontos.

Se o jogador passa $4$ horas nas grutas e consegue recolher $3$ cristais, escreve uma expressão com números inteiros que represente a sua energia final e calcula-a.

Calcule o resultado das seguintes operações combinadas respeitando a ordem das operações e prestando atenção especial aos sinais:

1. a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$

1. b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$

Resolva a seguinte operação combinada prestando atenção especial à ordem das operações e ao uso dos parênteses, dos parênteses retos e das chavetas:

$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$

Um estafeta entra num edifício e estaciona a sua carrinha no segundo piso subterrâneo (andar $-2$). Realiza os seguintes trajetos:

1. Sobe 5 andares para entregar um pacote.

2. Desce 4 andares para recolher outra caixa.

3. Sobe 7 andares para a última entrega.

Calcula em que andar se encontra o estafeta ao terminar o seu trabalho. Ajuda-te do seguinte esquema, onde se indica o andar de partida; podes ir marcando nele cada trajeto.

Um batiscafo de pesquisa oceanográfica encontra-se submerso a $-450$ metros em relação ao nível do mar. Realiza uma manobra em três etapas:

1. Desce uma distância equivalente à terça parte da sua profundidade atual.

2. Sobe $120$ metros para evitar uma corrente térmica.

3. Desce o dobro do que subiu no passo anterior.

A que profundidade se encontra o batiscafo após finalizar a manobra? Expressa-a por meio de uma operação combinada de números inteiros.

Numa conta bancária de um jovem poupador, registam-se os seguintes movimentos numa semana: um depósito de $45$ €, um pagamento com cartão de $-12$ €, uma transferência recebida de $20$ € e três débitos diretos de subscrições de $-9$ € cada um.

Se no início da semana o saldo era de $-15$ €, qual é o saldo final? Escreve o processo utilizando uma soma de números positivos e negativos.

Na estação do IPMA da Guarda, num dia de inverno registaram-se as seguintes variações térmicas:

• Às 4:00 h o termómetro marcava $-9\,^{\circ}\text{C}$.

• Entre as 4:00 h e as 10:00 h a temperatura subiu a um ritmo constante de $2\,^{\circ}\text{C}$ por hora.

• Entre as 10:00 h e as 16:00 h a temperatura subiu no total mais $5\,^{\circ}\text{C}$.

• Desde as 16:00 h até às 23:00 h, a entrada de uma frente fria causou uma descida constante de $3\,^{\circ}\text{C}$ a cada hora.

1. a) Escreve uma única expressão matemática combinada que reúna todas estas variações para calcular a temperatura às 23:00 h.
2. b) Resolve-a passo a passo aplicando a prioridade das operações.
3. c) Justifica, a partir do sinal do resultado obtido, se às 23:00 h a água no exterior estaria congelada ou em estado líquido.

Uma empresa tecnológica cotada em bolsa começou a semana com um valor por ação de $45$ €. Durante os cinco dias úteis, sofreu as seguintes variações diárias:

• Segunda-feira: sobe $3$ €.

• Terça-feira: desce o dobro do que subiu na segunda-feira.

• Quarta-feira: perde $4$ €.

• Quinta-feira: recupera metade do que perdeu entre terça-feira e quarta-feira.

• Sexta-feira: sobe o triplo da variação de segunda-feira.

Qual é o valor final da ação no fecho de sexta-feira? Expressa todo o processo através de uma única operação com números inteiros.

Um drone submarino de exploração encontra-se submerso a uma profundidade de $-150$ metros em relação ao nível do mar. Realiza os seguintes movimentos:

1. Sobe $80$ metros para evitar uma corrente.

2. Desce o triplo do que acabou de subir.

3. Volta a subir metade da profundidade em que se encontrava após o segundo movimento.

Calcule a profundidade final do drone e exprima-a com uma operação combinada que inclua valores absolutos para as distâncias percorridas.

Num arranha-céus muito alto, um operário de manutenção encontra-se na cave $-4$. Sobe $12$ andares para arranjar um aparelho de ar condicionado. Depois, desce o dobro dos andares que subiu inicialmente. Finalmente, sobe o valor absoluto do andar em que se encontra nesse momento para chegar à sua última tarefa.

Em que andar o operário termina a sua jornada de trabalho?

Dois robôs submarinos do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) exploram uma falha marinha ao largo da Costa Vicentina (Sagres):

• O robô Alpha parte do nível do mar ($0\text{ m}$) e desce a uma velocidade constante de $5\text{ m/min}$ durante $6\text{ minutos}$. Depois, devido a uma corrente, sobe $8\text{ metros}$ e, finalmente, desce o dobro dos metros que acabou de subir.

• O robô Beta encontra-se situado a uma cota de $-18\text{ metros}$ e recebe a ordem de se deslocar verticalmente até ficar exatamente a metade da profundidade final alcançada pelo robô Alpha.

1. a) Escreve uma única operação combinada com números inteiros que determine a cota final do robô Alpha e calcula o seu valor.
2. b) Determina a cota final do robô Beta e formula uma subtração de números inteiros que expresse quantos metros deve deslocar-se desde a sua cota inicial ($-18\text{ m}$) até à cota final. Interpreta o sentido do movimento a partir do sinal dessa subtração.
3. c) A distância entre duas cotas $x$ e $y$ define-se através do valor absoluto da sua diferença: $|x - y|$. Se as normas de segurança da missão exigirem que a distância entre ambos os robôs não ultrapasse em nenhum momento os $15\text{ metros}$, calcula a distância final entre o Alpha e o Beta e justifica se a norma é cumprida ou incumprida.

Complete os espaços com o número inteiro correspondente para que as igualdades sejam verdadeiras:

1. a) $-15 + ( \square ) = -32$

1. b) $4 \cdot ( \square ) = -36$

1. c) $( \square ) : (-3) = +12$

1. d) $-10 - ( \square ) = -4$

Aplique a propriedade distributiva para resolver as seguintes expressões de duas formas diferentes (efetuando primeiro o parêntese e distribuindo o fator):

1. a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$

1. b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$

1. c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$

Para calcular o valor numérico da expressão:

dois estudantes do 2.º ano de ESO propõem duas estratégias diferentes:

• O Carlos diz: «O melhor é aplicar a propriedade distributiva: multiplicar $-7$ por cada parcela do interior dos parênteses retos e depois somar e subtrair os resultados».

• A Lucía diz: «É muito mais rápido resolver primeiro as operações agrupadas dentro dos parênteses retos e depois multiplicar o resultado por $-7$».

1. a) Resolve a expressão seguindo detalhadamente o procedimento do Carlos.
2. b) Resolve a expressão seguindo detalhadamente o procedimento da Leonor.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual dos dois métodos resultou mais vantajoso neste caso? Explica que particularidade numérica tinham as parcelas dos parênteses retos que justifica a tua escolha.

Calcule o valor que a incógnita $x$ deve ter para que a seguinte igualdade seja verdadeira. Mostre todos os passos intermédios do seu raciocínio:

$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$

Utilize a propriedade distributiva de forma inversa (colocar em evidência) para calcular da maneira mais rápida e simples possível o resultado da seguinte expressão:

$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$

Depois de colocar o fator comum em evidência, resolva o parêntesis e obtenha o resultado final.

Escreva uma expressão matemática que utilize pelo menos uma multiplicação, uma divisão, uma soma e parênteses, de tal maneira que o resultado final seja $-10$.

Complete os espaços em branco nesta pirâmide de números inteiros sabendo que o valor de cada casa é igual à soma dos dois números que estão logo abaixo. É necessário calcular primeiro as casas da base para poder completar as restantes.

Dispões dos seguintes seis números inteiros: $\{-6, -4, -2, 3, 5, 8\}$.

Deves escolher exatamente quatro números distintos da lista para preencher os quadrados vazios desta estrutura, de modo a que o resultado final seja exatamente $-1$:

1. a) Descobre que número deve ser colocado em cada quadrado e escreve a expressão completa sem repetir nenhum dos números escolhidos.
2. b) Resolve passo a passo a expressão obtida justificando cada transformação de acordo com a prioridade das operações.
3. c) Sem mudar de posição nem substituir nenhum dos quatro números que selecionaste, fundamenta que única mudança de sinal num deles permitiria que o resultado final fosse $+1$, apoiando-te nas propriedades da divisão de números inteiros.