Os números primos

Num jogo de estratégia, tens de classificar os cristais de energia de acordo com a sua pureza. Os cristais com números primos dão energia extra, enquanto os números compostos devem ser processados.

Classifica os seguintes números na tabela do teu caderno:

$11, 15, 23, 27, 31, 39, 42, 47, 51$

O Crivo de Eratóstenes é um método antigo para encontrar números primos riscando os múltiplos de números anteriores. Observa o seguinte gráfico dos números do $1$ ao $20$:

Copia a grelha para o teu caderno e completa o processo até ao número $50$ para identificares todos os números primos menores que $50$.

Para organizar as prateleiras de uma biblioteca escolar, o bibliotecário utiliza os critérios de divisibilidade. Sem realizar a divisão longa, indique quais dos seguintes números são divisíveis por $3$ e quais por $5$:

1. a) $123$
2. b) $405$
3. c) $1\,020$
4. d) $715$

Num jogo de estratégia online, para desbloquear um baú tens de inserir uma palavra-passe de quatro algarismos da forma $52X4$. Se o sistema indica que a palavra-passe é um número divisível por $3$ e por $4$ simultaneamente, quais são todos os possíveis valores que o algarismo $X$ pode assumir? Justifica a tua resposta aplicando os critérios de divisibilidade correspondentes.

Descobre os valores do algarismo $X$ para que o número $35X1$ seja um número primo. Para isso, segue estes passos:

1. Aplica os critérios de divisibilidade para descartar valores de $X$ que o tornem divisível por $3$ ou $11$.

2. Dos valores restantes, utiliza o método da raiz quadrada para verificar quais deles geram um número primo. Tem em conta que só precisas de testar a divisibilidade por números primos até à parte inteira de $\sqrt{35X1}$.

O Marcos afirma na aula de Matemática: «O número $91$ é primo porque verifiquei que não é divisível por $2$ (é ímpar), nem por $3$ (os seus algarismos somam $10$), nem por $5$ (não termina em $0$ nem em $5$). Como já testei com os primeiros primos, não é preciso continuar».\na) Explica qual é o critério que indica até que número primo é necessário testar divisões para descobrir com certeza se um número $N$ é primo.\nb) Até que número primo deveria o Marcos ter testado para o número $91$?\nc) Localiza o erro do Marcos, explica por que razão a sua dedução é falsa e determina se $91$ é primo ou composto, justificando a tua resposta com uma divisão.

Uma aplicação de mensagens utiliza um filtro de segurança que só permite passar mensagens cujo identificador seja um número primo. Classifique os seguintes identificadores em números primos ou números compostos, justificando a sua decisão em cada caso através da procura de algum divisor diferente da unidade e do próprio número:

1. a) $119$
2. b) $131$
3. c) $143$
4. d) $151$
5. e) $203$

Um especialista em cibersegurança está a projetar um sistema de criptografia para uma aplicação de mensagens. A chave de segurança principal é um número $N$ que se obtém multiplicando um par de números primos gémeos compreendidos entre $100$ e $110$. No entanto, ao rever a lista, apercebe-se de que existem dois pares de primos gémeos nesse intervalo, pelo que a escolha não é única. Para resolver o problema, decide que a chave será o produto dos dois números primos mais próximos de $105$ (um abaixo e outro acima).

Determine quais são esses dois números primos, verifique de forma fundamentada que o são mediante o método da raiz quadrada e calcule o valor da chave de segurança $N$.

Chamam-se números primos gémeos os pares de números primos que estão separados unicamente por um número par (ou seja, a sua diferença é $2$). Por exemplo, $3$ e $5$ são primos gémeos.

1. a) Encontra todos os pares de números primos gémeos menores que $60$.
2. b) O par $(21, 23)$ é um par de primos gémeos? Justifica a tua resposta.

Considere os números naturais entre $90$ e $100$.

1. a) Classifique-os em primos e compostos.
2. b) Para os números compostos, indique qual deles tem a maior quantidade de divisores distintos.
3. c) Existe algum número neste intervalo que seja o resultado de elevar um número primo a um expoente maior que 1? Justifique a sua resposta.

A conjetura de Goldbach afirma que todo o número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. A tua tarefa é investigar essa conjetura para o número $120$.

Procura e escreve todos os pares de números primos cuja soma seja exatamente $120$. Para demonstrares que os números escolhidos são realmente primos, seleciona o par cujos componentes estejam mais distantes entre si e aplica o critério de divisibilidade dos números primos menores que $\sqrt{n}$ a cada um deles.

Na aula de Matemática estamos a aprender a decompor números nos seus blocos fundamentais: os fatores primos. Realiza a decomposição em fatores (usando a "barra vertical") dos seguintes números:

1. a) $24$
2. b) $60$
3. c) $100$

Observe a seguinte árvore de fatores incompleta que representa a decomposição de um número natural. A tua tarefa é completá-la e escrever, por fim, a decomposição em fatores primos desse número, utilizando potências.

Um arquiteto está a projetar uma praça circular e quer colocar candeeiros na borda. O número de candeeiros deve ser um número primo $n$. Para que a iluminação seja estética, o arquiteto descobriu que, se subtrair 1 ao número de candeeiros $(n-1)$, o resultado deve ser um número cuja decomposição em fatores primos seja $2^3 \cdot 3^2$.

Calcula o valor de $n$, justifica porque é um número primo e representa num diagrama de árvore a decomposição em fatores do número composto $(n-1)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um programador está a criar uma lista de todos os divisores do número $30$ para um algoritmo de segurança.

Utiliza a sua decomposição em fatores primos para encontrar todos os seus divisores naturais.

Antes de fazeres qualquer cálculo por escrito, concentra-te no número $72$:\na) Estima: Achas que $72$ terá mais ou menos de $8$ divisores? Escreve pelo menos quatro divisores que te ocorram mentalmente de forma imediata para fundamentares a tua estimativa inicial.\nb) Calcula: Realiza a decomposição em fatores primos de $72$ e aplica a fórmula do número de divisores, $(a+1)(b+1)\dots$, para encontrares a quantidade exata.\nc) Verifica: Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e redige uma breve conclusão a explicar se a tua intuição inicial estava correta e a que se deve o facto de um número menor que $100$ poder ter essa quantidade de divisores.

Num município do distrito de Santarém, o caderno eleitoral de uma mesa auxiliar regista exatamente $105$ eleitores convocados para umas eleições locais. O coordenador precisa de organizar os eleitores em grupos ou turnos de intervalo de tempo que tenham exatamente o mesmo número de pessoas, com as condições de que em cada turno haja mais de um eleitor e que não se faça um único turno com todos os eleitores.\na) Decompõe $105$ em fatores primos e utiliza a fórmula $(a+1)(b+1)(c+1)\dots$ para calcular quantos divisores tem no total.\nb) Deduz quantas formas distintas existem de organizar os turnos sob as condições do coordenador e escreve todos os pares possíveis de (número de turnos, eleitores por turno).\nc) Se à última hora se recensearem mais $4$ pessoas e o número de eleitores passar a ser de $109$ eleitores, seria possível organizar turnos iguais com as mesmas condições? Aplica o método dos primos até $\sqrt{N}$ para verificar se $109$ é primo e justifica as consequências organizativas.

Diz-se que um número natural é "especial" se for o produto de três números primos distintos e menores que $20$. Um exemplo seria $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Encontra o maior número "especial" possível e o menor possível. Em seguida, descobre quantos divisores tem cada um desses dois números sem necessidade de os enumerar todos, utilizando unicamente os expoentes da sua decomposição em fatores primos.

Um número natural $N$ tem exatamente $8$ divisores e na sua decomposição em fatores apenas aparecem o $2$ e o $3$ como fatores primos.\na) Sabendo que a fórmula do número de divisores é $(a+1)(b+1) = 8$, determina que pares de expoentes naturais não nulos $(a, b)$ podem ter o $2$ e o $3$ para que o resultado seja exatamente $8$.\nb) A partir dos pares encontrados, escreve as decomposições em fatores possíveis e calcula os valores numéricos que o número $N$ pode tomar.\nc) Qual desses números é o menor? Explica fundamentadamente como influencia colocar o expoente maior sobre a base menor ($2$) ou sobre a base maior ($3$) na altura de obter o menor valor possível.

Analisa a relação existente entre os expoentes da decomposição fatorial de um número natural e a quantidade total dos seus divisores:\na) Um número natural é um «quadrado perfeito» se provém de elevar ao quadrado outro número natural (por exemplo, $36 = 6^2$). Demonstra fundamentadamente, utilizando a fórmula $(a+1)(b+1)\dots$, por que razão todo o quadrado perfeito tem obrigatoriamente um número ímpar de divisores, enquanto os números que não são quadrados perfeitos têm uma quantidade par de divisores.\nb) Seguindo um processo inverso, determina qual é o menor número natural que tem exatamente $9$ divisores. Mostra passo a passo como deduzes que fatores primos e que expoentes deve ter para que seja o mínimo possível.\nc) Verifica se o número que obtiveste na alínea b) é ou não um quadrado perfeito e justifica por que razão este facto concorda com a tua demonstração da alínea a).

Uma loja de guloseimas quer embalar $20$ chupa-chupas de morango e $28$ de limão em sacos iguais, de forma que tenham o máximo número de chupa-chupas possível sem os misturar. Para isso devem calcular o Máximo Divisor Comum (M.D.C.).

Na figura, cada divisão das barras representa um chupa-chupa.

Calcula o M.D.C. de $20$ e $28$ e explica quantos chupa-chupas haverá em cada saco.

Dois amigos correm numa pista circular. A Ana demora $8$ minutos a dar uma volta e o João demora $12$ minutos. Se saem juntos da linha de meta, quantos minutos passarão até voltarem a coincidir pela primeira vez na meta?

Utiliza o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para resolver.

Calcule o valor numérico dos números $A$ e $B$ a partir das suas decomposições em fatores e, posteriormente, determine o $m.c.m.(A, B)$ e o $m.c.d.(A, B)$.

$A = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$B = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$

Indique se $A$ e $B$ são primos entre si e explique porquê com base no resultado do máximo divisor comum.

Numa estação de metro de Lisboa coincidem três linhas às $07:00$ da manhã. A linha $L1$ passa a cada $12$ minutos, a linha $L2$ a cada $15$ minutos e a linha $L5$ a cada $20$ minutos. Na figura estão marcadas as passagens de cada linha durante os primeiros $40$ minutos a partir das $07:00$.

1. a) Quantos minutos devem passar para voltarem a coincidir pela primeira vez?

1. b) A que horas exatas se dará esse encontro?

Um banco alimentar recebeu uma doação de $120$ frascos de leguminosas, $150$ litros de leite e $72$ latas de conserva. Querem preparar o maior número possível de caixas iguais para distribuir a famílias carenciadas, sem que sobre nada de nenhum produto.

1. a) Quantas caixas podem preparar no máximo?
2. b) Que quantidade de cada produto conterá cada uma dessas caixas?

Sabe-se que o máximo divisor comum de dois números é $m.c.d.(a, b) = 15$ e que o produto deles é $a \cdot b = 6750$. Utilize a relação matemática entre o produto de dois números e os seus divisores/múltiplos comuns para encontrar o mínimo múltiplo comum desses números sem necessidade de os calcular separadamente.

Para verificar se o número $173$ é primo, dois colegas de turma propõem duas estratégias diferentes:\n- Estratégia da Inês: Ir dividindo $173$ por todos os números ímpares consecutivos desde o $3$ até chegar à metade do número ($86$), ou seja: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, \dots, 85$.\n- Estratégia do Gonçalo: Calcular mentalmente entre que números inteiros está $\sqrt{173}$ e tentar dividir $173$ unicamente pelos números primos que sejam menores ou iguais a essa raiz.\na) Compara ambas as estratégias e justifica por que razão a do Gonçalo poupa trabalho sem perder fiabilidade. Em particular, explica por que razão não é preciso testar com números compostos como o $9$ ou o $15$, e por que razão é seguro parar na raiz quadrada.\nb) Aplica a estratégia do Gonçalo efetuando as divisões necessárias e conclui se $173$ é primo ou composto.

Numa apresentação de ginástica rítmica, há um grupo de $p$ ginastas. O coreógrafo tenta organizar as atletas em filas e colunas para formar um retângulo perfeito, mas observa que a única forma de o fazer é colocando todas numa única fila. Ao adicionar mais uma ginasta ao grupo, o número total de pessoas $(p+1)$ passa a ser um número que tem exatamente 8 divisores.

Sabendo que $40 < p < 60$, identifica todos os valores possíveis de $p$, demonstra que $p$ é um número primo e encontra todas as formas possíveis de organizar o grupo de $(p+1)$ ginastas em retângulos de mais de uma fila.

Dois cometas passam perto da Terra periodicamente. O cometa A passa a cada $p$ anos, sendo $p$ um número primo. O cometa B passa a cada $q$ anos, sendo $q$ o número primo consecutivo seguinte a $p$. Hoje passa o cometa A e sabe-se que a última vez que coincidiram foi há $77$ anos e que essa foi a primeira vez que se viram desde que há registo histórico.

Se $p$ e $q$ são números de dois algarismos, identifica de que números se trata e calcula quantos anos terão de passar para que voltem a coincidir novamente.