Regra de três composta

Um abrigo de animais precisa de $480$ kg de ração para alimentar $40$ cães durante $30$ dias. Se o abrigo receber um donativo e aumentar a sua capacidade para $60$ cães, de quantos quilogramas de ração precisará para os alimentar durante $20$ dias?

Numa loja de personalização de roupa, $3$ máquinas de impressão térmica conseguem estampar $120$ t-shirts a trabalhar durante $4$ horas. Se, devido a uma encomenda urgente de uma escola, forem postas em funcionamento $5$ máquinas iguais, quantas t-shirts poderão estampar em $6$ horas?

Numa estação de tratamento de água, $8$ depuradoras iguais filtram $2400$ metros cúbicos de água num período de $5$ dias. Quantos metros cúbicos de água filtrarão $12$ depuradoras se funcionarem durante $7$ dias?

Um grupo de $4$ criadores de conteúdo especializados em viagens conseguiu editar $12$ vídeos para o seu canal a trabalhar $6$ horas diárias durante uma semana. Se no próximo mês mais $2$ colaboradores se juntarem à equipa e decidirem trabalhar $8$ horas diárias, quantos vídeos poderão editar no mesmo período de tempo?

Uma empresa de entregas utiliza $8$ drones para distribuir $160$ pacotes em $4$ horas de voo. Se a empresa decidir aumentar a sua frota para $10$ drones e quiser realizar a entrega de $250$ pacotes, quantas horas de voo totais vão os drones precisar para concluir a tarefa?

Três torneiras iguais enchem um reservatório de $10$ $m^3$ em $6$ horas. Se quisermos encher um tanque de $25$ $m^3$ utilizando $5$ torneiras com o mesmo caudal que as anteriores, quantas horas precisaremos?

Num abrigo de animais, calculou-se que $15$ sacos de ração de $20\text{ kg}$ cada um são suficientes para alimentar $40$ cães durante $12$ dias. Devido a uma campanha de resgate, o número de cães aumenta em mais $20$ animais. Se o abrigo comprar sacos de $30\text{ kg}$ da mesma ração, de quantos sacos precisará para alimentar todos os cães durante $25$ dias?

Para pintar as vedações de um complexo desportivo municipal, uma equipa de $3$ pessoas demorou $8$ dias a trabalhar $6$ horas por dia. A Câmara Municipal encarrega um trabalho idêntico a outra equipa formada por $6$ pessoas que trabalharão $4$ horas por dia. O Lucas resolveu o problema escrevendo o seguinte no seu caderno:

«Como há o dobro das pessoas e menos horas diárias, coloco a proporção: $x = 8 \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{4} = 24$ dias».

1. a) Sem realizar cálculos numéricos, justifica por que razão um resultado de $24$ dias é incoerente com o senso comum para este caso.
2. b) Identifica o erro concetual que o Lucas cometeu ao analisar a relação de cada grandeza com o número de dias.
3. c) Corrige o raciocínio e calcula o número exato de dias de que a nova equipa precisará para terminar o trabalho.

Num viveiro municipal, $4$ aspersores iguais regaram um relvado de $600\text{ m}^2$ durante $3$ horas seguidas. Os funcionários devem regar agora outro relvado de $1\,200\text{ m}^2$ utilizando $6$ aspersores idênticos aos anteriores.

1. a) Antes de fazer os cálculos, faz uma estimativa qualitativa: tendo em conta que a área a regar é exatamente o dobro, mas que também se conta com mais $50\,\%$ de aspersores, esperas que o tempo necessário seja maior, menor ou igual às $3$ horas iniciais? Justifica a tua dedução.
2. b) Classifica cada grandeza como direta ou inversamente proporcional em relação ao tempo, monta a regra de três composta e calcula com precisão quantas horas durará a rega do segundo relvado.
3. c) Compara o valor obtido com a estimativa que fizeste no início e indica se o resultado confirma a tua dedução fundamentada.

Uma empresa de estafetas utiliza carrinhas elétricas para distribuir encomendas urbanas. Durante o turno da manhã, $4$ carrinhas distribuíram $450$ encomendas a trabalhar durante $6$ horas. Para a tarde, acumularam-se $900$ encomendas que devem ser distribuídas numa jornada reduzida de $4$ horas.

Para saber quantas carrinhas devem ser mobilizadas à tarde, dois membros da equipa propõem duas estratégias distintas:

• A Sofia propõe aplicar diretamente uma regra de três composta, analisando as razões de proporcionalidade direta ou inversa de cada grandeza em relação ao número de carrinhas.

• O Mateo prefere reduzir primeiro à unidade: calcular quantas encomendas distribui uma única carrinha numa hora e, a partir desse dado, deduzir as carrinhas necessárias.

1. a) Resolve o problema seguindo o método da Sofia, detalhando a classificação de cada grandeza e a fração pela qual multiplicas.
2. b) Resolve o problema aplicando o método do Mateo, indicando o significado real e a unidade de medida de cada resultado intermédio.
3. c) Analisa ambos os caminhos: que vantagens e desvantagens apresenta cada método e qual te pareceria mais fiável se o problema envolvesse quatro ou mais grandezas ao mesmo tempo?

Uma equipa de $12$ arqueólogos escavou um troço de $60$ metros de uma antiga estrada romana, trabalhando $9$ dias à razão de $7$ horas diárias. Se se quiser escavar outro troço de $80$ metros em $14$ dias, quantas horas diárias deverão trabalhar se a equipa se mantiver com o mesmo número de pessoas?

Durante um período de alerta por seca gerido pela Agência Portuguesa do Ambiente, a direção de um parque de campismo regista o consumo de água das suas instalações. De acordo com as suas medições, um grupo de $120$ pessoas alojadas durante $6$ dias gerou um consumo de $32\,400$ litros de água potável. Para o mês de agosto, a previsão de ocupação é de $180$ pessoas durante uma quinzena completa ($15$ dias).

1. a) Identifica as grandezas do problema e analisa o tipo de relação de proporcionalidade que cada uma delas mantém em relação ao volume de água consumido.
2. b) Se as pessoas mantivessem exatamente o mesmo hábito de consumo do registo prévio, calcula através de uma regra de três composta quantos litros de água se gastariam em agosto.
3. c) O plano de emergência municipal exige que nessa quinzena o parque de campismo não ultrapasse um limite rigoroso de $67\,500$ litros no total. Determina a quantos litros por pessoa e por dia se deve limitar o consumo diário para cumprir a norma e calcula que percentagem de redução sobre o consumo diário inicial representa essa restrição.

Uma equipa de limpeza municipal, composta por $12$ trabalhadores, conseguiu limpar uma área de $3\,600\text{ m}^2$ de floresta em $6$ dias, a trabalhar $8$ horas diárias. Para a próxima semana, a Câmara Municipal precisa de limpar uma área de $5\,000\text{ m}^2$. Se $3$ trabalhadores estão de licença e não poderão comparecer, quantas horas diárias deverão trabalhar os trabalhadores restantes para terminar a tarefa em apenas $5$ dias?

Um grupo de $5$ torneiras iguais leva $8$ horas a encher $3$ reservatórios de $600$ litros cada um. Se quisermos encher $4$ reservatórios de $900$ litros cada um num tempo máximo de $10$ horas, quantas torneiras com as mesmas características precisaremos de abrir? Se o resultado não for inteiro, raciocina quantas torneiras deveríamos instalar no mínimo.

Uma fábrica de calçado desportivo produziu $2\,400$ pares de ténis em $10$ dias, a trabalhar com $12$ máquinas automáticas durante $16$ horas por dia. Devido a uma encomenda urgente de um distribuidor internacional, a fábrica deve produzir $3\,600$ pares em apenas $8$ dias. Se foram compradas mais $3$ máquinas com as mesmas características, quantas horas extra por dia, além das $16$ habituais, deverão todas as máquinas funcionar para cumprir o prazo?

Na oficina de tecnologia de uma escola secundária, $4$ impressoras 3D a funcionar $5$ horas diárias demoraram $3$ dias a fabricar $30$ peças idênticas para um projeto de robótica.

1. a) Para uma feira de divulgação científica é necessário fabricar um lote de $96$ peças iguais. O departamento dispõe agora de $6$ impressoras 3D idênticas e planeia jornadas de $4$ horas diárias. Determina quantos dias inteiros demorarão até terem o lote completo pronto.
2. b) Escreve o enunciado completo de um problema inverso à alínea anterior, onde a incógnita seja o número de horas diárias que as $6$ impressoras devem funcionar, fixando como dados conhecidos os dias obtidos na alínea (a) e o objetivo de fabricar as $96$ peças.
3. c) Supõe que o trabalho do novo lote começa com as $6$ impressoras a $4$ horas diárias, mas no final do quarto dia de trabalho avariam-se $2$ máquinas e ficam inutilizadas. Escreve uma equação baseada na proporcionalidade composta que permita calcular quantas horas diárias deverão trabalhar as máquinas restantes durante os dias que faltam para não atrasar a entrega final.