Máximo divisor comum

Observe os divisores dos números $24$ e $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir dessas listas:

1. a) Escreva os divisores comuns de ambos os números.
2. b) Identifique qual é o maior desses divisores comuns. Como chamamos esse número?

Numa turma do 8.º ano há $24$ alunos e $16$ alunas. O professor de Educação Física quer formar equipas do mesmo tamanho, as maiores possíveis, de modo que em cada equipa haja apenas rapazes ou apenas raparigas.

1. a) Quantos alunos haverá em cada equipa?
2. b) Quantas equipas de rapazes e quantas de raparigas serão formadas?

Calcula o máximo divisor comum (m.d.c.) dos seguintes números utilizando o método da decomposição em fatores primos (lembra-te: tomam-se os fatores comuns elevados ao menor expoente):

1. a) $12$ e $18$
2. b) $20$ e $30$
3. c) $15$ e $25$

Dois números são chamados primos entre si se o seu único divisor comum for o $1$. Verifique se os seguintes pares de números são primos entre si calculando o seu máximo divisor comum:

1. a) $8$ e $15$
2. b) $14$ e $21$
3. c) $9$ e $20$

O Marcos tem de calcular o máximo divisor comum de $72$ e $120$. Depois de decompor ambos os números em fatores primos, escreve no seu caderno:

E conclui: «Como o m.d.c. é o máximo, escolho todos os fatores que aparecem elevados ao seu maior expoente: $\text{m.d.c.}(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$».

1. a) Sem fazeres cálculos complexos, explica por que razão o resultado do Marcos é impossível, raciocinando sobre o significado da palavra «divisor».
2. b) Que conceito calculou realmente o Marcos em vez do m.d.c.?
3. c) Explica a regra correta para calcular o m.d.c. a partir das decomposições em fatores primos e encontra o resultado correto.

Calcule o Máximo Divisor Comum dos seguintes grupos de números utilizando o método de decomposição em fatores primos:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Lembra-te de expressar primeiro cada número como produto dos seus fatores primos e depois selecionar os fatores comuns elevados ao menor expoente.

Vais calcular o máximo divisor comum de $48$ e $80$, mas antes de aplicares qualquer algoritmo deves antecipar como será a solução:

1. a) Estima: Sem decompores os números em fatores primos, responde de forma fundamentada:

• O resultado pode ser maior do que $48$? Porquê?

• Sabendo que tanto $48$ como $80$ são pares, o resultado poderia ser um número ímpar?

• Verifica mentalmente se $10$ poderia ser um divisor comum de ambos. Por que razão se descarta de imediato?

1. b) Verifica: Decompõe $48$ e $80$ em fatores primos, calcula o $\text{m.d.c.}(48, 80)$ e verifica se o valor obtido cumpre todas as deduções que fizeste na tua estimativa.

O Algoritmo de Euclides é um método antigo e eficaz para encontrar o $m.c.d.$ de dois números mediante divisões sucessivas. Consiste em dividir o maior pelo menor; se o resto não for zero, divide-se o divisor pelo resto, e assim sucessivamente até que o resto seja zero. O último divisor utilizado é o $m.c.d.$

Utilize este método para encontrar o $m.c.d.(525, 225)$. Verifique o resultado realizando depois a decomposição fatorial habitual.

Para calcular o máximo divisor comum de dois números dispões de diferentes estratégias:

• Método A (Critério de divisibilidade direta): Se o número maior for divisível pelo menor, o menor é diretamente o m.d.c.

• Método B (Lista exaustiva de divisores): Escrever todos os divisores de ambos os números e procurar o maior que coincida.

• Método C (Decomposição em fatores): Decompor em fatores primos e selecionar os comuns com o menor expoente.

Analisa os seguintes dois pares de números:

1) $28$ e $112$

2) $90$ e $126$

Para cada um dos dois pares:

1. a) Escolhe de forma fundamentada qual dos três métodos é o mais rápido e eficiente, justificando por que razão descartas os outros dois nesse caso concreto.
2. b) Aplica o método escolhido para calcular o m.d.c. de cada par.

Utiliza o Algoritmo de Euclides para encontrar o $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Uma vez encontrado, indica se os números são primos entre si e justifica a tua resposta com base nos divisores obtidos durante o processo do algoritmo.

Sabe-se que o produto de dois números naturais é $2160$ e que o seu mínimo múltiplo comum ($m.c.m.$) é $180$. Utilizando a relação existente entre o produto de dois números, o seu $m.c.d.$ e o seu $m.c.m.$, descubra qual é o Máximo Divisor Comum desses números.

Encontra dois números naturais, a que chamaremos $x$ e $y$, sabendo que o seu produto é $x \cdot y = 11\,250$ e que o seu mínimo múltiplo comum é $m.c.m.(x, y) = 750$.

Determine todos os pares de números naturais cuja soma seja $168$ e cujo máximo divisor comum seja $m.c.d.(a, b) = 24$.

Ajuda: Se o MDC for 24, podes escrever os números como $a = 24 \cdot p$ e $b = 24 \cdot q$, em que $p$ e $q$ devem ser primos entre si.

Têm-se dois números naturais $A$ e $B$ tais que o seu $m.c.d.(A, B) = 15$. Se multiplicarmos o número $A$ por $12$ e o número $B$ por $12$, qual será o novo máximo divisor comum dos números resultantes? Justifique a sua resposta aplicando as propriedades dos divisores.

Procuram-se dois números naturais de três algarismos, $a$ e $b$ (com $a < b$), dos quais não conhecemos o valor inicial, mas sabemos que cumprem simultaneamente duas condições:

1. a) Aplica a propriedade que relaciona o produto de dois números com o seu m.d.c. e o seu m.m.c. para calcular o valor exato do produto $a \cdot b$.
2. b) Se escrevermos $a = 18 \cdot x$ e $b = 18 \cdot y$, deduz que valor deve ter o produto $x \cdot y$ e raciocina por que razão $x$ e $y$ devem ser obrigatoriamente primos entre si (isto é, não podem partilhar nenhum fator comum).
3. c) Decompõe o produto $x \cdot y$ em fatores primos, analisa todos os possíveis pares de fatores $(x, y)$ que sejam primos entre si e deduz quais são os únicos valores de $a$ e $b$ que cumprem a condição de ambos terem exatamente três algarismos.

Num campo de férias de aventura na Serra da Estrela, os monitores têm duas cordas de escalada: uma mede $20$ metros e a outra $28$ metros. Querem cortá-las em pedaços iguais, do maior comprimento possível e sem sobrar nada de corda. Quanto deve medir cada pedaço?

Queremos decorar uma parede da sala de música que mede $120$ cm de altura por $180$ cm de largura com cartolinas quadradas. Se quisermos que as cartolinas sejam as maiores possíveis e que cubram a parede exatamente sem ser preciso cortá-las:

1. a) Quanto deve medir o lado de cada cartolina?
2. b) De quantas cartolinas vamos precisar no total?

A Leonor tem uma fita azul de $18$ cm e uma fita vermelha de $24$ cm. Precisa de cortá-las em tiras do mesmo comprimento para fazer laços decorativos. Se quer que as tiras sejam as mais compridas possíveis e não quer desperdiçar nada de fita:

1. a) Qual será o comprimento de cada tira?
2. b) Quantas tiras obterá de cada cor?

Uma loja de artesanato tem duas fitas de seda, uma de cor carmesim que mede $160$ cm e outra de cor turquesa que mede $120$ cm. Pretendem cortar ambas as fitas em pedaços do mesmo comprimento, de modo que sejam o mais compridos possível e não sobre nada de tecido.

1. a) Quanto deve medir cada pedaço?

1. b) Quantos pedaços de cor carmesim se obtêm? E de cor turquesa?

Um banco alimentar recebeu $210$ latas de conserva de atum, $126$ pacotes de arroz e $84$ frascos de leguminosas. Querem preparar o maior número possível de cabazes idênticos que contenham os três tipos de alimentos, de forma que não sobre nada.

1. a) Quantos cabazes poderão preparar?
2. b) Quantos produtos de cada tipo haverá em cada um dos cabazes?

Um arquiteto está a projetar o piso de uma sala de troféus de um clube de e-sports. A sala tem forma retangular de $12,6$ metros de comprimento por $7,2$ metros de largura. Pretende-se cobrir o piso com azulejos quadrados do maior tamanho possível, de modo que não seja necessário cortar nenhum e que o design seja perfeitamente simétrico.

No entanto, o arquiteto quer deixar um pequeno canal de ventilação de $60$ cm de largura ao longo de todo o perímetro da sala, por isso a área real a revestir será um retângulo interior menor.

Calcule a medida do lado do maior azulejo que se pode utilizar para cobrir esse retângulo interior e quantos azulejos serão necessários no total.

Uma empresa de logística quer transportar três tipos de mercadorias em contentores cúbicos iguais, os maiores possíveis, para aproveitar ao máximo o espaço de um grande armazém de carga. As quantidades de mercadoria são medidas em volume:

• Caixas de tecnologia: $1\,512$ $m^3$

• Caixas de alimentação: $1\,848$ $m^3$

• Caixas de têxteis: $1\,260$ $m^3$

Se cada contentor deve ir cheio com um único tipo de mercadoria e não pode sobrar espaço em nenhum deles, qual deve ser o volume de cada contentor cúbico? Quantos contentores de têxteis haverá no armazém?

Um centro de resgate de fauna marinha recebeu uma doação de três mangueiras de alta resistência para limpar os tanques. Os comprimentos das mangueiras são de $156$ metros, $144$ metros e $108$ metros.

Querem cortá-las em pedaços do mesmo comprimento, sem sobrar nada, para os distribuir por diferentes equipas de voluntários. O chefe do centro impõe como condição que os pedaços sejam o mais compridos possível, mas, por razões de segurança, nenhum pedaço pode medir mais de $15$ metros.

Qual comprimento deverá ter cada pedaço para cumprir todas as condições? Quantos voluntários receberão uma mangueira?