Números racionais — conceito

Classifique as seguintes expressões indicando se representam um número natural, um número inteiro (mas não natural) ou um número racional não inteiro:

1. a) $\frac{15}{3}$
2. b) $-\frac{12}{4}$
3. c) $\frac{7}{5}$
4. d) $\frac{0}{8}$
5. e) $-\frac{1}{2}$
6. f) $\frac{24}{6}$

Classifique as seguintes frações em próprias ou impróprias. Lembra-te de que, para as diferenciares, deves observar a relação entre o numerador e o denominador:

Num jantar com amigos, vocês pediram uma pizza familiar dividida em $8$ fatias iguais. Se tu comeste $3$ fatias, identifica os termos da fração que representa a parte de pizza consumida.

1. a) Qual é o numerador e o que indica neste contexto?
2. b) Qual é o denominador e o que indica neste contexto?

A bateria do seu telemóvel tem uma capacidade total de $4500$ mAh. Se no ecrã aparece que resta exatamente $\frac{2}{9}$ da carga total, quantos mAh de bateria tens disponíveis neste momento?

Observe as seguintes figuras geométricas e escreva a fração que representa a parte colorida em cada caso. Depois, indique qual delas é uma fração própria e qual é uma fração igual à unidade.

Depois de um treino de atletismo, bebeste $\frac{7}{3}$ de litro de água. Expressa esta quantidade como um número misto para saber quantos litros completos e que fração do seguinte consumiste.

Na figura, cada litro está dividido em 3 partes iguais (terços) e é mostrado sobre uma reta numérica. Podes usá-la como apoio.

Simplifique as seguintes frações até obter a sua fração irredutível:

1. a) $\frac{15}{20}$
2. b) $\frac{24}{36}$
3. c) $\frac{10}{100}$

Encontra uma fração positiva e irredutível $\frac{a}{b}$ que satisfaça simultaneamente estas três condições:

1. A sua expressão como número misto tem como parte inteira o número 3 (ou seja, $\frac{a}{b} = 3 + \frac{r}{b}$, com $0 < r < b$).

2. O inverso da fração própria restante $\frac{r}{b}$ é um número inteiro exato.

3. O produto do numerador pelo denominador, $a \cdot b$, é um número estritamente maior do que 50 e menor do que 80.

Deduz passo a passo que valor ou valores podem ter $a$ e $b$, fundamentando por que razão a condição de a fração inicial ser irredutível obriga a que $r = 1$ e descartando com argumentos matemáticos as opções que não cumpram todas as restrições.

Escreva o simétrico e o inverso de cada uma das seguintes frações. Preste atenção ao sinal:

1. a) $\frac{2}{5}$
2. b) $-\frac{3}{7}$
3. c) $4$ (lembra-te de que um número inteiro também pode ser escrito como fração)

Num teste de Matemática sobre números racionais, o Marcos tinha de responder a uma pergunta sobre o número $-\frac{3}{5}$. Na sua folha escreveu:

«O inverso de $-\frac{3}{5}$ é $\frac{5}{3}$, porque ao inverter uma fração o seu sinal muda sempre e passa a ser positiva».

1. a) Explica que dois conceitos teóricos distintos o Marcos está a confundir e por que razão a sua afirmação matemática é incorreta.
2. b) Escreve com clareza qual é o simétrico e qual é o inverso de $-\frac{3}{5}$, justificando cada um a partir da sua definição.

Compare os seguintes pares de números racionais utilizando os sinais $<$ (menor que), $>$ (maior que) ou $=$ (igual a):

1. a) $\dfrac{4}{7} \square \dfrac{6}{7}$

1. b) $\dfrac{3}{2} \square \dfrac{3}{5}$

1. c) $\dfrac{1}{3} \square \dfrac{4}{12}$

Numa experiência de laboratório, regista-se a variação da temperatura de um fluido em relação à temperatura ambiente. Obtêm-se os seguintes valores em graus Celsius:

1. a) Represente de forma aproximada esses números numa reta numérica.
2. b) Ordene os valores do menor para o maior (do mais frio para o mais quente).
3. c) Indique qual desses valores tem o maior valor absoluto.

Ordene do menor para o maior os seguintes números racionais. Para isso, reduza-os primeiro ao mesmo denominador utilizando o mínimo múltiplo comum:

Numa estação meteorológica de alta montanha, foram registadas as seguintes variações de temperatura em relação à média sazonal, em graus Celsius:

• Segunda-feira: $-\frac{9}{4}\ ^\circ\text{C}$

• Terça-feira: $-2,1\overset{\frown}{6}\ ^\circ\text{C}$ (o 6 repete-se: $-2,1666\ldots$)

• Quarta-feira: $-|-2,2|\ ^\circ\text{C}$

• Quinta-feira: $-\frac{22}{10}\ ^\circ\text{C}$

Representa estes quatro valores numa reta numérica como a da figura (copia-a para o teu caderno) e ordena-os de forma crescente (do menor para o maior) utilizando os símbolos $<$ e $=$ quando for necessário. Justifica a tua resposta passando todos os números à sua forma de fração irredutível.

Dois amigos, Amina e Diogo, estão a comparar as suas marcas numa corrida de obstáculos. Amina completou $\frac{5}{7}$ do percurso e Diogo $\frac{6}{7}$. Um terceiro corredor, Martim, encontra-se nalgum ponto entre ambos (não necessariamente no ponto médio).

Encontra uma fração que represente a posição de Martim de modo que o seu denominador seja um número primo maior que $10$. Justifica se existe mais de uma possibilidade.

Procura uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ que cumpra as seguintes três condições simultaneamente:

1. É maior do que $\frac{3}{5}$ mas menor do que $\frac{2}{3}$.

2. A soma do seu numerador e do seu denominador é um número múltiplo de $13$.

3. O denominador $b$ é um número par menor do que $20$.

Justifica os passos seguidos para a encontrar.

Para preparar uma mistura de tinta lilás, um artista utiliza $\frac{4}{10}$ de litro de cor azul para cada litro de tinta branca. Se o artista quer manter exatamente a mesma tonalidade, mas precisa de fabricar uma quantidade maior:

1. a) Determina o valor de $x$ na seguinte igualdade para que as frações sejam equivalentes: $\frac{4}{10} = \frac{x}{25}$.
2. b) Escreve três frações equivalentes a $\frac{4}{10}$ por amplificação e uma por simplificação.

Encontra o termo desconhecido $x$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes:

1. a) $\frac{x}{12} = \frac{20}{48}$

1. b) $\frac{5}{9} = \frac{x}{45}$

1. c) $\frac{14}{x} = \frac{2}{7}$

1. d) $\frac{27}{81} = \frac{1}{x}$

Num campeonato escolar de basquetebol, a equipa dos "Tigres" acertou $48$ cestos de $72$ tentativas, enquanto os "Halcones" acertaram $36$ cestos de $54$ tentativas.

1. a) Escreva a fração de acertos de cada equipa.
2. b) Reduza ambas as frações à sua forma irredutível utilizando o método do Máximo Divisor Comum (MDC).
3. c) Face aos resultados, qual das duas equipas tem uma melhor proporção de acertos?

Para reduzir a fração $\frac{420}{1260}$ à sua forma irredutível, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• A Sofia propõe: «Vou dividindo sucessivamente o numerador e o denominador aplicando critérios de divisibilidade simples (por 2, por 3, por 5...) até não conseguir mais».

• O Tomás propõe: «Prefiro decompor ambos os números em fatores primos, calcular o $\text{m.d.c.}(420, 1260)$ e fazer uma única divisão».

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo no teu caderno para obteres a fração irredutível.
2. b) Avalia criticamente os dois procedimentos: que vantagens e desvantagens tem cada método neste caso com números de três e quatro algarismos? Por que razão calcular o $\text{m.d.c.}$ garante matematicamente que a fração obtida já não se pode simplificar mais?

Um estudo sobre sustentabilidade urbana em dois municípios portugueses analisa a utilização da bicicleta. No município A, 180 em cada 450 pessoas inquiridas utilizam a bicicleta diariamente. No município B, 252 em cada 588 pessoas inquiridas afirmam utilizá-la diariamente.

1. a) Modela a proporção de ciclistas diários de cada município através de uma fração irredutível.
2. b) Sem calculares a expressão decimal das frações, compara ambas as proporções a partir das suas formas irredutíveis e indica fundamentadamente em que município há um maior hábito de utilização da bicicleta.
3. c) Justifica a que conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou apenas $\mathbb{Q}$) pertencem os valores destas proporções e o que teria de acontecer teoricamente no inquérito para que a fração resultante pertencesse ao conjunto $\mathbb{N}$.

Num centro de dados, o painel de armazenamento está dividido em módulos idênticos. Observa a seguinte representação gráfica, onde os quadrados coloridos indicam o espaço ocupado pela base de dados de uma rede social.

1. a) Escreve a fração que representa o espaço ocupado e a fração que representa o espaço livre.
2. b) Trata-se de uma fração própria ou imprópria? Justifica a tua resposta comparando o numerador e o denominador.

Três amigos estão a completar uma caderneta de cromos de futebol. O Álex colou $\frac{1}{3}$ do total de cromos, a Beatriz colou $\frac{2}{5}$ do total e os restantes cromos estão com o Wei.

1. a) Que fração da caderneta completou o Wei?
2. b) Se a caderneta tem um total de $300$ cromos, quantos colou cada um?
3. c) Qual dos três amigos colou mais cromos?

Numa escavação arqueológica encontrou-se um papiro que descreve uma partilha de terras utilizando frações unitárias (aquelas cujo numerador é 1). O escriba anotou que o lote de um agricultor é a soma de três frações unitárias distintas e que o total soma $\frac{13}{12}$ da unidade básica de medida.

Sabendo que o menor denominador dessas frações é $2$, encontra os outros dois denominadores para que a igualdade seja correta.

Observe a seguinte figura geométrica que representa um painel solar quadrado de lado $L$. O painel está dividido em diferentes secções para maximizar a sua eficiência.

Calcule que fração da área total do quadrado representa a região sombreada A. Se a área total é de $1$ metro quadrado, expresse a área da região B como uma fração irredutível.

Um designer gráfico está a criar um logótipo baseado num hexágono regular. Ele dividiu o hexágono unindo os seus vértices opostos para formar seis triângulos equiláteros. Posteriormente, dividiu um desses triângulos em quatro triângulos menores unindo os pontos médios dos seus lados.

Se sombrearmos um desses triângulos minúsculos (como mostrado na cor laranja), que fração da área total do hexágono ele representa? Exprime o resultado como uma fração irredutível.

Projete um mosaico quadrado para uma piscina. O mosaico divide-se em três zonas de cores diferentes:

• A Zona A ocupa $\frac{2}{5}$ do total.

• A Zona B ocupa $\frac{3}{7}$ do que resta após delimitar a Zona A.

• A Zona C ocupa o resto da superfície.

Se a superfície total da piscina é de $140 \text{ m}^2$, calcule que fração do total representa a Zona C e quantos metros quadrados lhe correspondem. Expresse o resultado da superfície da Zona C como um número decimal exato.

Analise a seguinte propriedade das frações: "Se temos uma fração própria positiva $\frac{n}{d}$ (onde $n < d$) e somamos o mesmo número natural $k$ tanto ao numerador como ao denominador, obtemos uma nova fração $\frac{n+k}{d+k}$".

Demonstre, utilizando como exemplo a fração $\frac{2}{5}$ e somando $k=3$, se a nova fração é maior, menor ou igual à original. Essa conclusão manter-se-ia se a fração original fosse imprópria ($\frac{5}{2}$)?

Durante uma discussão na aula, a Carla apresenta a seguinte afirmação sobre simplificação e equivalência de frações:

«Se tiver qualquer fração própria e irredutível $\frac{a}{b}$ (com $a < b$) e somar um mesmo número natural $k$ ($k > 0$) tanto ao numerador como ao denominador, obtenho uma fração equivalente $\frac{a+k}{b+k}$, porque acrescentei exatamente a mesma quantidade a ambas as partes».

1. a) Apresenta um contraexemplo numérico simples para demonstrar que a nova fração obtida pela Carla não é equivalente à original.
2. b) Usando os valores do teu contraexemplo, determina se a nova fração é maior ou menor do que a original.
3. c) Explica por que razão o raciocínio da Carla é um erro conceptual: justifica que tipo de relação (aditiva ou multiplicativa) define as frações equivalentes e fundamenta por que razão, ao somar $k$ a ambos os termos de uma fração própria, o valor resultante se aproxima de 1 em vez de permanecer constante.