Volume

Para um projeto de turma, é preciso estimar quanta água cabe numa mochila escolar. Supondo que a mochila tenha uma capacidade de $18\,500 \text{ cm}^3$, quantos litros de água poderia conter se fosse totalmente impermeável?

Lembra-te de que $1 \text{ dm}^3$ é equivalente a $1 \text{ litro}$.

Foi comprado um novo telemóvel e deseja-se calcular o volume da sua caixa para saber quanto espaço ocupará na prateleira. A caixa é um paralelepípedo retângulo (prisma retangular) com as seguintes dimensões: $16 \text{ cm}$ de comprimento, $9 \text{ cm}$ de largura e $5 \text{ cm}$ de altura. Calcule o seu volume em $\text{cm}^3$.

Uma famosa marca de refrigerantes utiliza latas cilíndricas para as suas bebidas. Se o raio da base da lata é de $3 \text{ cm}$ e a sua altura é de $12 \text{ cm}$, calcule o volume de refrigerante que a lata pode conter. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Num acampamento com amigos, há uma tenda com a forma de um prisma triangular reto. A base da tenda (o chão) é um triângulo de $2 \text{ m}$ de base e $1,5 \text{ m}$ de altura. Se a tenda tem um comprimento (profundidade) de $3 \text{ m}$, qual é o volume de ar dentro da tenda?

Uma conhecida marca de milk-shakes projetou uma nova embalagem cilíndrica para a sua edição limitada de verão. A lata tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma altura de $15\text{ cm}$. Se o fabricante indica que o milk-shake ocupa $90\%$ da capacidade total da embalagem para deixar espaço para o ar, calcule quantos mililitros ($ml$) de produto contém cada lata.

Decidiu-se construir um formigueiro de gel para um projeto de ciências. O recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de $25\text{ cm}$ de comprimento, $10\text{ cm}$ de largura e $18\text{ cm}$ de altura. Se o gel é vendido em frascos de $0,5\text{ litros}$, quantos frascos completos será necessário comprar para encher o formigueiro até uma altura de $15\text{ cm}$?

Uma piscina municipal com forma de prisma retangular tem capacidade de $1200\text{ m}^3$. Sabendo que o comprimento da piscina é de $50\text{ metros}$ e a largura é de $12\text{ metros}$, calcule a profundidade (altura) da piscina. Se a câmara municipal decidir enchê-la apenas até $4/5$ da sua capacidade por segurança, quantos litros de água haverá na piscina?

O princípio de Cavalieri afirma que dois corpos com a mesma altura e cujas secções a uma mesma distância da base têm a mesma área possuem o mesmo volume. Compare um prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura e $30\text{ cm}^2$ de área da base com um cilindro da mesma altura e a mesma área da base. Se despejarmos $0,5\text{ litros}$ de água em cada um, qual encherá primeiro? Justifique a sua resposta calculando o volume de ambos.

Há um peso de papel de vidro com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A área da sua base quadrada é de $25 \text{ cm}^2$ e a altura da pirâmide é de $9 \text{ cm}$. Calcule o volume de vidro necessário para fabricar esse peso de papel.

Para uma festa de aniversário, foram fabricados chapéus de cartolina em forma de cone. Se cada chapéu tem um raio de $8 \text{ cm}$ e uma altura de $15 \text{ cm}$, que volume de ar fica "preso" dentro do chapéu quando alguém o usa? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Uma empresa de perfumes lança uma fragrância num frasco com a forma de um cone reto. O raio da base é de $3\text{ cm}$ e a geratriz mede $5\text{ cm}$. Calcule o volume de perfume que cabe no frasco, expresso em centímetros cúbicos. Ajuda: primeiro, encontra a altura do cone usando o teorema de Pitágoras.

Para um evento de videojogos, foi projetado um troféu que consiste numa pirâmide quadrangular regular de bronze. O lado da base quadrada mede $12\text{ cm}$ e a aresta lateral (a que une o vértice a um canto da base) mede $10\text{ cm}$. Calcule o volume de bronze necessário para fabricar um troféu.

Um mestre gelateiro artesanal do Porto quer encomendar o desenho de um novo molde cónico para servir um gelado. Estabeleceu que o molde deve ter uma capacidade exata de $200\text{ ml}$ quando estiver completamente cheio até ao bordo (lembra-te de que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Por motivos de estabilidade na mesa, decidiu também que a altura do cone deve ser exatamente quatro vezes o raio da sua base circular ($h = 4r$).

1. a) Escreve a fórmula do volume do cone substituindo a altura $h$ pela expressão $4r$ e simplifica-a para que dependa unicamente do raio $r$.
2. b) Formula a equação correspondente igualando a fórmula anterior ao volume pretendido ($200\text{ cm}^3$) e determina o valor do raio $r$ e da altura $h$. Arredonda as dimensões às décimas de centímetro (usa $\pi \approx 3,14$).
3. c) Faz a verificação: calcula o volume do cone com as medidas que obtiveste e confirma que se obtém um valor próximo dos $200\text{ ml}$ pretendidos (a pequena diferença deve-se ao arredondamento).

Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta lateral mede $13\text{ cm}$ e o lado da sua base mede $10\text{ cm}$. Lembre-se de que, num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado. Expresse o resultado em $cm^3$, arredondando às unidades.

Um fabricante de gelados quer comparar dois recipientes. O primeiro tem a forma de um cone com $6\text{ cm}$ de raio e $15\text{ cm}$ de altura. O segundo é um cilindro com o mesmo raio e a mesma altura, mas no seu interior contém uma semiesfera de chocolate que ocupa a parte inferior. Se o raio da semiesfera também é de $6\text{ cm}$, qual dos dois recipientes tem maior volume disponível para o gelado de baunilha? Justifica a resposta realizando os cálculos.

Uma bola de pingue-pongue tem raio de $2 \text{ cm}$. Calcule o volume da bola de pingue-pongue em $\text{cm}^3$. (Utilize a fórmula do volume da esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ e considere $\pi \approx 3,14$).

Um fabricante de bolas produz bolas de basquetebol do tamanho 7, que têm forma esférica com um raio de $12\text{ cm}$. Para a sua distribuição, cada bola cheia é embalada numa caixa cúbica individual onde cabe de forma exata (com arestas de $24\text{ cm}$).

1. a) Antes de calculares o volume da esfera, estima mentalmente o volume da caixa cúbica em litros (lembra-te de que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro} = 1\,000\text{ cm}^3$). A partir desse valor, faz uma estimativa fundamentada: achas que a bola ocupará mais ou menos de metade do volume da caixa?
2. b) Calcula o volume exato da bola esférica aplicando a fórmula correspondente (utiliza $\pi \approx 3,14$) e exprime-o em litros arredondando às centésimas.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta, calculando que percentagem exata do volume da caixa a bola realmente ocupa. O que pensas sobre o espaço de ar que fica desperdiçado no transporte?

Num museu de ciências, há uma exposição interativa com uma esfera de vidro cheia de um gás nobre. Se o diâmetro da esfera é de $60\text{ cm}$, qual é o volume de gás no seu interior? Exprime o resultado em metros cúbicos ($m^3$).

No laboratório de ciências há um pequeno aquário com forma de paralelepípedo retângulo. As suas medidas são $40 \text{ cm}$ de comprimento, $20 \text{ cm}$ de largura e $25 \text{ cm}$ de altura. Se o enchermos de água até uma altura de $20 \text{ cm}$, quantos litros de água teremos colocado?

A Beatriz quer calcular o volume de uma vela aromática com forma cilíndrica. A vela mede $10\text{ cm}$ de diâmetro e $12\text{ cm}$ de altura. No seu caderno, escreveu a seguinte resolução:

1. a) Localiza e explica detalhadamente que erro conceptual cometeu a Beatriz no seu raciocínio.
2. b) Corrige o seu desenvolvimento e calcula o volume real correto de cera que a vela contém (usa $\pi \approx 3,14$).
3. c) Se a Beatriz utilizasse o seu resultado erróneo para encomendar a cera à fábrica, quantas vezes mais material do que o necessário teria pedido? Justifica a tua resposta a partir da fórmula do volume sem precisares de voltar a fazer operações com decimais.

Um silo de armazenamento de grãos tem uma forma composta: um corpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura e uma cúpula semiesférica na parte superior. Se o raio da base é de $4\text{ m}$, calcule a capacidade total do silo em hectolitros ($hl$).

De acordo com os registos de uma estação meteorológica do IPMA no distrito de Faro, durante um episódio de chuvas torrenciais acumulou-se uma precipitação de $75\text{ l/m}^2$ (litros por metro quadrado). Um viveiro agrícola da zona dispõe de uma cobertura plana de policarbonato de $20\text{ m}$ de comprimento por $8\text{ m}$ de largura que recolhe toda a água da chuva e a canaliza integralmente para uma cisterna cilíndrica de $3\text{ m}$ de diâmetro interior e $4\text{ m}$ de profundidade, a qual se encontrava totalmente vazia antes da tempestade.

1. a) Modela a situação e calcula o volume total de água da chuva (tanto em litros como em metros cúbicos) recolhido pela cobertura da estufa.
2. b) Determina a altura, em metros, que a água atingirá dentro da cisterna após o fim do episódio (utiliza $\pi \approx 3,14$ e arredonda às centésimas).
3. c) Interpreta o resultado obtido: existe risco de a cisterna transbordar? Se não for o caso, quantos litros adicionais teriam sido necessários para a encher por completo?

Uma peça industrial de aço tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aliviar o seu peso, foi feito um orifício cilíndrico que atravessa a peça de cima a baixo pela sua face maior. O raio do cilindro é de $2\text{ cm}$. Sabendo que a massa volúmica do aço é de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcule a massa total da peça em quilogramas. (Considere $\pi \approx 3,14$).

No laboratório de física, os alunos submergem completamente uma esfera de chumbo num recipiente cilíndrico cheio de água até metade. O raio do recipiente é de $10\text{ cm}$. Ao introduzir a esfera, o nível da água sobe exatamente $4,5\text{ cm}$ sem transbordar. Qual é o raio da esfera de chumbo? Exprime o resultado em centímetros com duas casas decimais.

Pretende-se construir uma rampa de betão para uma pista de skate. A rampa tem a forma de um prisma reto cuja base é um trapézio retângulo. As bases do trapézio medem $3\text{ m}$ e $1\text{ m}$, e a sua altura (comprimento da base da rampa no solo) é de $5\text{ m}$. Se a largura da rampa é de $4\text{ m}$, calcule quantos metros cúbicos de betão são necessários e o custo total se o preço for de $95\text{ €/m}^3$.

Uma empresa de perfumes vende a sua fragrância principal num frasco que consiste num cilindro de vidro de $4\text{ cm}$ de diâmetro e $10\text{ cm}$ de altura, rematado por uma tampa em forma de cone com a mesma base e $3\text{ cm}$ de altura. Se o frasco é preenchido apenas até $85\%$ da sua capacidade total para deixar espaço para o ar, quantos mililitros ($ml$) de perfume contém cada frasco? (Considere $\pi \approx 3,1416$).

Uma oficina mecânica precisa de fabricar peças maciças de bronze com a forma de um prisma reto de base hexagonal regular. A altura da peça é de $15\text{ cm}$, o lado do hexágono da base mede $8\text{ cm}$ e o apótema da base mede aproximadamente $6,93\text{ cm}$. Dois estagiários propõem dois métodos para calcular o volume de metal:

• Método 1 (Marcos): Calcula a área do hexágono com a fórmula habitual do polígono regular ($A = \frac{perímetro \cdot apótema}{2}$) e multiplica-a pela altura do prisma.

• Método 2 (Sara): Divide mentalmente o prisma hexagonal em $6$ prismas triangulares retos idênticos cuja base é um triângulo de base $8\text{ cm}$ e altura $6,93\text{ cm}$, calcula o volume de um deles e multiplica-o por $6$.

1. a) Aplica numericamente ambos os métodos e verifica se conduzem exatamente ao mesmo resultado.
2. b) Justifica algebricamente por que razão ambos os métodos são matematicamente equivalentes, analisando as respetivas fórmulas gerais.
3. c) No desenho final decide-se perfurar a peça de cima a baixo com um orifício cilíndrico central de $4\text{ cm}$ de diâmetro para aliviar peso. Qual dos dois métodos, conceptualmente, se adapta de forma mais direta para calcular o volume de metal restante? Explica a tua escolha e calcula o volume final da peça perfurada (usa $\pi \approx 3,14$).

Numa cooperativa do Alentejo projeta-se um silo metálico para armazenar cereais. O corpo principal é um cilindro vertical de $4\text{ m}$ de raio na sua base e $12\text{ m}$ de altura, rematado no topo por uma tremonha cónica cujo raio coincide com o do cilindro e cuja geratriz mede $5\text{ m}$.

1. a) Desenha mentalmente a secção da cobertura cónica, identifica o triângulo retângulo formado pelos seus elementos e utiliza o teorema de Pitágoras para deduzir a altura exata do cone superior.
2. b) Sabendo que a massa volúmica aparente do trigo seco é de $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ toneladas por metro cúbico), calcula a massa máxima de trigo, em toneladas, que o silo pode comportar totalmente cheio (cilindro e cone juntos). Usa $\pi \approx 3,14$.
3. c) O responsável pelo silo afirma: «Como a altura do cone é um quarto da altura do cilindro, o cone deve contribuir com aproximadamente $25\%$ do volume total do silo». Analisa matematicamente esta afirmação calculando a percentagem real que o volume do cone representa em relação ao volume total e explica com argumentos geométricos por que razão o raciocínio do responsável está incorreto.

Um reservatório de água tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As arestas das bases medem $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$, respetivamente. A altura do reservatório é de $3\text{ m}$. Se o reservatório está cheio até três quartos da sua altura (ou seja, a água atinge $2,25\text{ m}$ a partir da base), quantos litros de água contém? (Nota: terás de usar a semelhança para encontrar o lado da superfície da água).