Área da superfície
Quanto cartão é preciso para fazer uma caixa de sapatos? E quanta folha-de-flandres para uma lata de conservas de sardinha? Para o saberes, precisas da área da superfície do corpo: a soma das áreas de todas as suas faces. O truque é sempre o mesmo: imaginar o corpo planificado, estendido sobre a mesa.
Área lateral e área total
Um artesão está a fabricar dados gigantes de madeira para uma ludoteca. Se cada dado é um cubo perfeito que tem uma aresta de $a = 12 \text{ cm}$, calcule a superfície…
Um artesão está a fabricar dados gigantes de madeira para uma ludoteca. Se cada dado é um cubo perfeito que tem uma aresta de $a = 12 \text{ cm}$, calcule a superfície total de madeira que terá de pintar em cada um dos dados.
Calcule a área total de uma caixa de sapatos com forma de paralelepípedo cujas dimensões são $15 \text{ cm}$ de largura, $30 \text{ cm}$ de comprimento e $10 \text{ cm}$…
Calcule a área total de uma caixa de sapatos com forma de paralelepípedo cujas dimensões são $15 \text{ cm}$ de largura, $30 \text{ cm}$ de comprimento e $10 \text{ cm}$ de altura. Desenhe de forma esquemática a sua planificação para ajudar no cálculo.
Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.
Área de um prisma
As faces laterais de um prisma reto, planificadas, formam um retângulo cuja base é o perímetro da base do prisma e cuja altura é a altura do prisma.
$$A_L = P_{base} \times h \qquad\qquad A_T = A_L + 2 \times A_{base}$$Quando a base é um polígono regular
Num prisma de base hexagonal regular, a área da base calcula-se com o apótema $a$ do polígono: $A_{base} = \dfrac{P_{base} \times a}{2}$. Se não o conheces, decompões o hexágono em 6 triângulos equiláteros e usas o Teorema de Pitágoras num deles.
Uma tenda de jardim tem a forma de um prisma triangular regular reto. A base é um triângulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Se o comprimento da tenda (altura do…
Uma tenda de jardim tem a forma de um prisma triangular regular reto. A base é um triângulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Se o comprimento da tenda (altura do prisma) é de $5 \text{ m}$, calcula a área lateral da tenda (sem incluir as duas bases triangulares).
Para um projeto de tecnologia, tens de fabricar uma caixa de madeira com forma de prisma hexagonal regular. A aresta da base mede $4\text{ cm}$ e a altura do prisma é de…
Para um projeto de tecnologia, tens de fabricar uma caixa de madeira com forma de prisma hexagonal regular. A aresta da base mede $4\text{ cm}$ e a altura do prisma é de $15\text{ cm}$. Calcula a superfície total de madeira de que vais precisar para construir a caixa (incluindo as duas bases).
(Nota: Para encontrar a área da base, lembra-te de que primeiro deves calcular o apótema do hexágono usando o teorema de Pitágoras).
Calcule a área total de um cubo sabendo que a diagonal de uma das suas faces mede $10\text{ cm}$. (Dica: Utilize o teorema de Pitágoras numa das faces para encontrar a…
Calcule a área total de um cubo sabendo que a diagonal de uma das suas faces mede $10\text{ cm}$.
(Dica: Utilize o teorema de Pitágoras numa das faces para encontrar a medida da aresta do cubo antes de calcular a área).
Área de uma pirâmide
As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos iguais, de base o lado $l$ da base e de altura o apótema da pirâmide $ap$ (que não é a altura $h$ da pirâmide).
$$A_L = \frac{P_{base} \times ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Tronco de pirâmide
Num tronco de pirâmide regular, cada face lateral é um trapézio, de bases $l$ e $l'$ e altura o apótema $ap$ do tronco: $A_{trapézio} = \dfrac{(l + l')}{2} \times ap$. Soma as áreas dos trapézios e, se for pedido, as das duas bases. Se só tens a altura do tronco, usa Pitágoras com a diferença dos apótemas das bases: $ap^2 = h^2 + \left(\dfrac{l - l'}{2}\right)^2$.
Determine a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que o lado da base quadrada mede $8 \text{ cm}$ e que o apótema das suas faces laterais mede…
Determine a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que o lado da base quadrada mede $8 \text{ cm}$ e que o apótema das suas faces laterais mede $10 \text{ cm}$.
Uma tenda para um evento juvenil tem forma de pirâmide quadrangular regular. O lado da base quadrada mede $10\text{ m}$ e a altura da pirâmide (desde o centro da base…
Uma tenda para um evento juvenil tem forma de pirâmide quadrangular regular. O lado da base quadrada mede $10\text{ m}$ e a altura da pirâmide (desde o centro da base até ao vértice superior) é de $12\text{ m}$. Calcule quantos metros quadrados de lona foram necessários para fabricar as quatro faces laterais da tenda.
Um vaso moderno tem forma de tronco de pirâmide quadrangular regular. As bases são dois quadrados de lados $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, respetivamente. Se a altura…
Um vaso moderno tem forma de tronco de pirâmide quadrangular regular. As bases são dois quadrados de lados $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, respetivamente. Se a altura das faces laterais (a apótema do tronco) é de $10\text{ cm}$, calcule a área total da superfície exterior do vaso (bases superior e inferior incluídas).
Área de um cilindro e de um cone
O cilindro e o cone planificam-se como os poliedros, mas a face lateral é curva. Planificada, a face lateral do cilindro é um retângulo com um lado igual ao perímetro da base ($2\pi r$) e o outro igual à altura. A do cone é um setor circular cujo arco é o perímetro da base.
$$A_{L,\text{cilindro}} = 2\pi r h \qquad A_{L,\text{cone}} = \pi r g$$Corpos compostos
Quando um corpo é formado por outros (um cilindro com um cone em cima, por exemplo), soma só as superfícies que ficam à vista e não contes as que ficam coladas ou escondidas. Se retiras uma parte (uma semiesfera escavada, um furo), a superfície nova da cavidade conta e a base que desaparece não.
Para um projeto de tecnologia, precisas de encapar com papel autocolante um porta-lápis cilíndrico. O porta-lápis tem um raio da base de $r = 4 \text{ cm}$ e uma altura…
Para um projeto de tecnologia, precisas de encapar com papel autocolante um porta-lápis cilíndrico. O porta-lápis tem um raio da base de $r = 4 \text{ cm}$ e uma altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula quantos centímetros quadrados de papel precisarás, sabendo que o porta-lápis está aberto em cima (só tem uma base). Considera $\pi \approx 3,14$.
Calcule a área lateral de um cilindro cuja circunferência da base mede $C = 25,12 \text{ cm}$ e cuja altura é de $h = 10 \text{ cm}$. (Sugestão: Lembre-se de que, ao…
Calcule a área lateral de um cilindro cuja circunferência da base mede $C = 25,12 \text{ cm}$ e cuja altura é de $h = 10 \text{ cm}$. (Sugestão: Lembre-se de que, ao abrir o cilindro, a área lateral é um retângulo cuja base é o comprimento da circunferência).
Um fabricante de velas artesanais quer revestir com um papel protetor prateado a superfície lateral de uma vela cilíndrica. A vela tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma…
Um fabricante de velas artesanais quer revestir com um papel protetor prateado a superfície lateral de uma vela cilíndrica. A vela tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma altura de $20\text{ cm}$. Se o papel só deve cobrir a parte curva (sem as bases), qual é a área de papel necessária para cada vela? Utiliza $\pi \approx 3,14$.
Um farol decorativo para um jardim é formado por dois corpos: um cilindro de $10\text{ cm}$ de raio e $30\text{ cm}$ de altura, coroado por um cone com a mesma base e…
Um farol decorativo para um jardim é formado por dois corpos: um cilindro de $10\text{ cm}$ de raio e $30\text{ cm}$ de altura, coroado por um cone com a mesma base e $15\text{ cm}$ de geratriz. Calcule a área total da superfície exterior deste farol (sem contar a base sobre a qual se apoia).
Um reservatório industrial tem forma de cilindro reto coroado por um cone com a mesma base. A altura da parte cilíndrica é de $8\text{ m}$ e a altura da parte cónica é…
Um reservatório industrial tem forma de cilindro reto coroado por um cone com a mesma base. A altura da parte cilíndrica é de $8\text{ m}$ e a altura da parte cónica é de $3\text{ m}$. O diâmetro do reservatório é de $8\text{ m}$. Pretende-se pintar toda a superfície lateral exterior e a base superior (cone), mas não a base sobre a qual se apoia. Se com cada lata de tinta é possível cobrir $15\text{ m}^2$, quantas latas de tinta devem ser compradas, no mínimo?
Área da esfera
A esfera não se planifica, mas a sua área tem uma fórmula simples: quatro vezes a área do seu círculo máximo.
$$A = 4\pi r^2$$Uma semiesfera (como a cúpula de um observatório) tem metade da área da esfera: $2\pi r^2$ de superfície curva, e mais $\pi r^2$ se contares o círculo da base.
Uma bola de basquetebol tem raio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcule a superfície de couro necessária para a fabricar, arredondando o resultado às centésimas. (Lembre-se de…
Uma bola de basquetebol tem raio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcule a superfície de couro necessária para a fabricar, arredondando o resultado às centésimas. (Lembre-se de que a área da esfera é $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).
Quer restaurar-se a cúpula de um observatório astronómico que tem forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de raio. Se o orçamento para a pintura é de $15\text{ €}$ por…
Quer restaurar-se a cúpula de um observatório astronómico que tem forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de raio. Se o orçamento para a pintura é de $15\text{ €}$ por cada metro quadrado, quanto custará pintar a superfície exterior da cúpula? (Utilize $\pi \approx 3,14$).
Um fabricante de bolas de ginástica produz esferas de borracha de dois tamanhos. A bola pequena tem uma superfície de $5024\text{ cm}^2$. A bola grande tem um raio que é…
Um fabricante de bolas de ginástica produz esferas de borracha de dois tamanhos. A bola pequena tem uma superfície de $5024\text{ cm}^2$. A bola grande tem um raio que é exatamente o dobro do da bola pequena. Calcule a área da superfície da bola grande. Qual é a relação numérica (razão) entre a área da bola grande e a da pequena? Use $\pi = 3,14$.
Volta ao início: para a caixa de sapatos de $30 \times 20 \times 12$ cm são precisos $2\,400\ \text{cm}^2$ de cartão, e para a lata de conservas cerca de $245\ \text{cm}^2$ de folha-de-flandres.