Mínimo múltiplo comum

Encontra o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares de números mentalmente:

1. a) $m.c.m.(2, 5)$
2. b) $m.c.m.(3, 9)$
3. c) $m.c.m.(4, 10)$
4. d) $m.c.m.(7, 11)$

Num videojogo de plataformas, a tua personagem consegue um escudo protetor a cada $4$ níveis e uma melhoria de velocidade a cada $6$ níveis. Se acabaste de começar o jogo no nível $0$, em que nível coincidirão pela primeira vez ambas as recompensas? Calcula o resultado obtendo os primeiros múltiplos de cada número.

A reta numérica mostra o primeiro salto de cada recompensa. Continua tu os saltos até encontrares o primeiro nível em que coincidem.

Sem necessidade de realizar a decomposição fatorial, raciocina qual é o $m.c.m.(5, 20)$. Tem em conta a relação de divisibilidade que há entre ambos os números. O que acontece com o mínimo múltiplo comum quando um número é múltiplo do outro?

Calcule no seu caderno o mínimo múltiplo comum dos números $12$ e $18$ utilizando a decomposição em fatores primos. Para isso, siga estes passos:

1. Realize a decomposição em fatores primos de ambos os números.

2. Identifique os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente.

3. Multiplique-os para obter o $m.c.m.(12, 18)$.

Na aula de Matemática, a Lucía tenta calcular o mínimo múltiplo comum de $12$ e $18$. Para isso, realiza corretamente a decomposição em fatores primos: $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$. No entanto, no passo final escreve no seu caderno:

«Como estamos a procurar o mínimo, devo escolher os fatores comuns que tenham o menor expoente. Portanto: $\text{m.m.c.}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$».

1. a) Localiza o erro de raciocínio da Lucía e explica por que razão o número $6$ jamais poderia ser um múltiplo comum de $12$ e de $18$ atendendo ao significado de múltiplo.
2. b) Corrige o procedimento da Lucía e calcula o resultado correto explicando por que razão a regra do m.m.c. exige escolher os fatores elevados ao maior expoente.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos seguintes grupos de números utilizando a decomposição em fatores primos:

1. a) $m.c.m.(45, 75)$
2. b) $m.c.m.(12, 18, 24)$
3. c) $m.c.m.(80, 120, 200)$

Três luzes inteligentes numa montra estão programadas para mudar de cor em intervalos diferentes. A primeira muda a cada $2$ segundos, a segunda a cada $3$ segundos e a terceira a cada $4$ segundos. Se as três se acenderem ao mesmo tempo, quanto tempo demorarão a voltar a mudar de cor simultaneamente?

A equipa de suporte de uma aplicação de jogos tem três servidores que realizam cópias de segurança de forma automática. O primeiro servidor faz uma cópia a cada $24$ horas, o segundo a cada $36$ horas e o terceiro a cada $48$ horas. Se hoje foram realizadas as três cópias em simultâneo, daqui a quantos dias voltará a ocorrer o mesmo?

Um sistema de segurança informática gera três códigos de acesso automáticos. O primeiro código muda a cada $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ segundos, o segundo a cada $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ segundos e o terceiro a cada $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ segundos.

1. a) Exprime o tempo de mudança de cada código em números decimais.
2. b) Calcula, exprimindo o resultado por meio da sua decomposição em fatores, ao fim de quanto tempo coincidem as três mudanças de código em simultâneo.
3. c) Quantos minutos terão passado entre cada coincidência?

Uma aplicação de mensagens envia uma notificação de "resumo de notícias" a cada $10$ minutos, enquanto outra aplicação de redes sociais o faz a cada $15$ minutos. Se ambas enviaram uma notificação às $10:00$ da manhã, quantos minutos passarão até que voltem a coincidir pela primeira vez? Escreva os conjuntos dos múltiplos de $10$ e $15$ para encontrar o menor comum a ambos.

Maria e Marcos treinam na pista de atletismo da escola. Maria leva $6$ minutos para dar uma volta completa e Marcos leva $8$ minutos. Se saírem juntos da linha de chegada:

1. a) Após quantos minutos voltarão a cruzar a linha de chegada ao mesmo tempo?
2. b) Calcule quantas voltas cada um terá dado nesse momento.

Dois ciclistas profissionais treinam num velódromo circular. O primeiro completa uma volta a cada $108$ segundos, enquanto o segundo, que vai um pouco mais devagar, demora $120$ segundos. Se ambos passarem juntos pela linha de meta neste momento, quantos minutos demorarão a voltar a coincidir no mesmo ponto pela primeira vez?

Um centro cultural organiza três atividades diferentes: aulas de robótica a cada $12$ dias, oficinas de teatro a cada $15$ dias e sessões de cineclube a cada $20$ dias. Se hoje as três atividades coincidiram, quantas vezes voltarão a coincidir no mesmo dia ao longo dos próximos $365$ dias?

Numa estação espacial, quatro satélites de investigação orbitam à volta de um asteroide. O primeiro completa a sua órbita a cada $12$ horas, o segundo a cada $18$ horas, o terceiro a cada $20$ horas e o quarto a cada $30$ horas. Se hoje às $12:00$ do meio-dia estiverem alinhados pela primeira vez, quantos dias completos deverão passar para que voltem a coincidir exatamente na mesma posição? A que horas do dia ocorrerá esse encontro?

Um DJ tem três sequenciadores de luz programados para emitir flashes em intervalos diferentes. O primeiro emite um flash a cada $24$ segundos, o segundo a cada $36$ segundos e o terceiro a cada $40$ segundos. Se às $23:00$ horas os três sequenciadores coincidirem no seu flash, quantas vezes voltarão a coincidir os três simultaneamente estritamente antes de a sessão terminar às $00:00$ horas (meia-noite)?

Procure o menor número que, ao ser dividido por $15$, $20$ e $35$, dá sempre um resto igual a $0$. Depois de encontrá-lo, indique qual seria o menor número que, ao dividi-lo por esses mesmos valores, desse sempre um resto de $3$.

Na biblioteca da escola, estão a reorganizar a secção de narrativa. A bibliotecária observa que, se guardar os livros em caixas de $6$, de $8$ ou de $10$ exemplares, sobram sempre exatamente $3$ livros fora das caixas. Sabendo que o número total de livros da secção está compreendido entre $400$ e $600$, quantos livros há exatamente na secção de narrativa?