A linguagem algébrica

Exprime em linguagem algébrica as seguintes situações relacionadas com economia e redes sociais:

1. a) O número de seguidores que um influencer tem, $x$, aumentado em $150$.
2. b) O preço de um bilhete de cinema, $p$, com desconto de $2$ euros.
3. c) O triplo da idade do meu irmão, se a idade dele é $y$.
4. d) A metade do dinheiro que tenho no meu mealheiro, sendo $d$ a quantia total.

Traduza estas frases da linguagem comum para a linguagem algébrica utilizando uma única variável $x$:

1. a) A soma de um número e da sua metade.
2. b) O triplo do resultado de subtrair cinco a um número.
3. c) O quadrado do antecessor de um número.
4. d) A diferença entre o dobro de um número e o seu sucessor.

Traduza para a linguagem algébrica as seguintes propriedades relativas a números inteiros:

1. O quadrado da soma de dois números quaisquer, $a$ e $b$, é igual à soma dos seus quadrados mais o dobro do seu produto.

2. A soma dos quadrados de três números consecutivos, sendo $n$ o menor deles.

3. A diferença entre o cubo de um número $x$ e o quadrado da sua metade.

4. O quociente entre a soma de um número e o seu inverso, e o triplo desse número.

Associe cada frase à sua expressão algébrica correspondente:

1. O dobro de um número mais cinco unidades.                      a) $x - 5$

2. Um número diminuído em cinco unidades.                         b) $2x + 5$

3. A quinta parte de um número.                                           c) $x^5$

4. Um número elevado à quinta potência.                           d) $\frac{x}{5}$

Copie e complete a seguinte tabela identificando os componentes destes monómios:

Da seguinte lista de monómios, identifique e agrupe aqueles que sejam semelhantes entre si:

$5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$

Analise as seguintes expressões algébricas e complete as informações solicitadas em cada caso:

1. Na expressão $7x^2y - 5x + 3$: Quantos termos tem? Qual é o termo independente?

2. Dado o monómio $-\frac{2}{3}ab^4$: Indique o seu coeficiente, a sua parte literal e o seu grau total.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões para os valores indicados:

1. a) $3x + 10$ para $x = 4$
2. b) $x^2 - 5$ para $x = 3$
3. c) $2(a + b)$ para $a = 5$ e $b = 2$
4. d) $\frac{12}{x}$ para $x = 6$

Uma carrinha de distribuição que faz entregas numa capital de distrito tem um custo operacional diário modelado pela expressão $C = 16,50 + 0,12 \cdot k$, onde $C$ é o gasto total do dia em euros e $k$ é a distância percorrida em quilómetros ($16,50$ € de seguros e impostos fixos diários, mais $0,12$ € por quilómetro em combustível e desgaste).

1. Antes de efetuares o cálculo exato, faz uma estimativa mental do gasto total para uma rota de $195\text{ km}$. Para isso, arredonda $16,50$ € para $17$ € e $0,12$ € para $0,10$ € (ou utiliza outro arredondamento justificado que facilite o cálculo mental). Mostra a operação estimada que realizaste.

2. Calcula o custo real exato substituindo $k = 195$ na expressão algébrica original.

3. Compara o valor exato com a tua estimativa prévia: calcula a diferença em euros e argumenta se a estimativa foi razoável e suficiente para prever o gasto da jornada.

Encontra a expressão algébrica que representa o perímetro do seguinte quadrado cujo lado mede $x$ metros:

Encontra a expressão algébrica que representa a área do seguinte retângulo, sabendo que a sua base mede $5$ unidades a mais do que a sua altura ($x$):

Calcule a expressão algébrica do perímetro da seguinte figura, que representa a planta de uma pequena área de jogos retangular.

Uma caixa de cartão para envios tem uma base quadrada de lado $x$ e uma altura que é $5$ cm maior do que o lado da base.

Desenhe um esquema do paralelepípedo retângulo e escreva a expressão algébrica simplificada que representa o volume da caixa em função de $x$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa chapa de aço quadrada de lado $x$ centímetros, um operador deve recortar quatro círculos iguais, um em cada canto, para fabricar uma peça industrial. O raio de cada círculo é de $r$ centímetros.

1. Escreva a expressão algébrica da área da chapa que sobra após realizar os quatro recortes (utilize $\pi$ como símbolo).

2. Sabendo que o raio dos círculos é a quarta parte do lado da chapa, isto é, $r = \frac{x}{4}$, simplifique a expressão anterior de modo que dependa unicamente da variável $x$.

Pretende-se projetar uma caixa de cartão sem tampa a partir de uma folha retangular de cartolina que mede $50$ cm de comprimento por $30$ cm de largura. Para isso, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos cantos e dobram-se as abas para cima.

Escreve a expressão algébrica simplificada que representa:

1. A área da base da caixa em função de $x$.

2. O volume total da caixa em função de $x$.

O Tomás aluga uma trotinete elétrica de mobilidade partilhada em Lisboa. A empresa aplica uma tarifa de $1$ € pelo desbloqueio inicial mais $0,25$ € por cada minuto de trajeto. Para calcular o custo em euros de uma viagem de $m$ minutos, o Tomás escreve no seu caderno a expressão $(1 + 0,25) \cdot m$.

1. Identifica o erro conceptual que o Tomás cometeu ao formular esta expressão.

2. Explica por palavras tuas por que razão o termo fixo nunca deve ser multiplicado pela variável de tempo neste tipo de tarifas.

3. Escreve a expressão algébrica correta para calcular o custo total do trajeto em função dos minutos $m$.

Numa loja de jogos, o custo para alugar uma consola é de $10$ euros fixos mais $2$ euros por cada hora de utilização.

1. a) Escreva a expressão algébrica do custo total para um número de horas $h$.
2. b) Quanto pagará a Beatriz se alugar a consola durante $3$ horas?

Num município português, a fatura mensal da água doméstica é composta por uma taxa fixa de manutenção e saneamento de $11,50$ €, à qual se soma um custo de $1,30$ € por cada metro cúbico ($m^3$) de água consumida.

1. Escreve a expressão algébrica que permite calcular o valor total da fatura mensal para uma habitação que consumiu $x$ metros cúbicos de água.

2. Se uma família consumir $14\text{ m}^3$ durante o mês de maio, calcula o valor total que virá na sua fatura.

3. Se uma habitação permanecer desabitada durante as férias e o seu consumo for de $0\text{ m}^3$, quanto pagará nesse mês? Explica como se deduz este resultado a partir da tua expressão algébrica.

Numa plataforma de streaming de jogos, a mensalidade básica é de $12$ €. Além disso, de cada vez que quer jogar um título "Premium" fora do catálogo, é necessário pagar $3,50$ € adicionais.

Escreva a expressão algébrica que representa o custo total que um utilizador pagará por mês se decidir jogar $x$ títulos "Premium".

Um centro de reciclagem concede "pontos eco" de acordo com o material entregue:

• $5$ pontos por cada quilograma de vidro ($v$).

• $3$ pontos por cada quilograma de papel ($p$).

• $10$ pontos fixos por cada visita ao centro.

Escreva a fórmula dos pontos totais $P$ que uma pessoa recebe numa visita. Depois de a escrever, calcule quantos pontos receberá um aluno que entrega $4$ kg de vidro e $8$ kg de papel.

Leonor está a analisar o crescimento dos seus seguidores numa rede social. Ela começou o mês com $x$ seguidores. Durante a primeira quinzena, o seu número de seguidores aumentou para o triplo. No entanto, na segunda quinzena, perdeu $150$ seguidores devido a uma limpeza de contas inativas.

Escreva a expressão algébrica que representa o número final de seguidores de Leonor e calcule quantos ela tem se começou o mês com $x = 420$.

Uma empresa de entregas cobra aos seus clientes de acordo com o peso dos pacotes e a distância do envio. A tarifa base é de $B$ euros. A essa quantia soma-se:

• $2,5$ euros por cada quilograma de peso ($w$).

• $0,15$ euros por cada quilómetro de distância ($d$).

Se o cliente for "Premium", aplica-se um desconto de $15\%$ sobre o preço total do envio. Escreva a expressão algébrica que determina o custo total de enviar um pacote para um cliente "Premium" em função de $B$, $w$ e $d$.

Uma plataforma de streaming oferece dois tipos de subscrição:

• Plano Básico: Uma taxa fixa de $x$ euros por mês mais $0,50$ euros por cada filme de estreia alugado ($p$).

• Plano Premium: Uma taxa fixa que custa $40\%$ a mais do que a básica, mas permite ver um número ilimitado de filmes sem custo adicional.

• Escreva a expressão algébrica do custo mensal do Plano Básico.

• Escreva a expressão algébrica do custo mensal do Plano Premium.

• Escreva a expressão que representa a diferença de custo entre o Plano Premium e o Plano Básico num mês em que são alugados $p$ filmes. Para que valores de $p$ o Plano Básico ficaria mais caro do que o Premium? (Indique apenas a condição).

Três irmãos, Tomás, Leonor e Duarte, decidem poupar para comprar um presente. Sabemos que:

• A Leonor poupou $x$ euros.

• O Tomás poupou $10$ euros a menos do que o triplo do valor que a Leonor tem.

• O Duarte poupou metade da soma do que os seus outros dois irmãos têm juntos.

Exprime em função de $x$:

1. O dinheiro que o Tomás tem.

2. O dinheiro que o Duarte tem (simplifica a expressão).

3. O dinheiro total poupado pelos três irmãos.

Uma câmara municipal quer instalar uma vedação de madeira em redor de um novo parque infantil. A vedação é construída unindo painéis retangulares por meio de postes verticais. Cada painel precisa de $3$ ripas horizontais. Para sustentar a estrutura, coloca-se um poste no início da vedação e outro no final de cada painel.

1. Escreve uma expressão algébrica que permita calcular o número total de ripas horizontais necessárias para uma vedação que tem $n$ painéis.

2. Escreve uma expressão algébrica para o número total de postes necessários para uma vedação de $n$ painéis.

3. Se cada poste custa $p$ euros e cada ripa horizontal custa $l$ euros, escreve a expressão do custo total dos materiais para uma vedação de $n$ painéis.

Observa a seguinte sucessão de figuras formadas por pontos e determina o termo geral $a_n$ que permite calcular o número de pontos necessários para qualquer figura $n$.

Observe a seguinte sucessão de figuras formadas por pequenos hexágonos. A primeira figura tem um hexágono central rodeado por outros seis. Em cada passo, adiciona-se uma nova camada de hexágonos em redor da figura anterior.

1. Determine quantos hexágonos tem a camada número $n$ (sem contar os das camadas interiores).

2. Encontre a expressão algébrica que representa o número total de hexágonos que formam a figura completa quando esta tem $n$ camadas em redor do hexágono central.

(Dica: O número de hexágonos adicionados em cada camada segue uma progressão).

Dois estudantes do 2.º de ESO, o Marcos e a Sara, querem demonstrar de forma geral que «a soma de três números inteiros consecutivos é sempre divisível por $3$». Cada um propõe um caminho algébrico diferente:

• Método do Marcos: chama ao primeiro número $n$, ao segundo $n + 1$ e ao terceiro $n + 2$.

• Método da Sara: chama ao número central $n$, ao anterior $n - 1$ e ao posterior $n + 1$.

• Desenvolve e simplifica a soma que o Marcos propõe. Justifica por que razão a expressão obtida demonstra que o resultado é sempre múltiplo de $3$, independentemente do valor do número inteiro $n$.

• Desenvolve e simplifica a soma que a Sara propõe. Justifica por que razão também demonstra a mesma propriedade.

• Compara ambos os métodos: qual dos dois se revela mais direto e elegante ao simplificar os termos numéricos? Justifica a tua resposta.

• Um colega diz: «Para quê complicar com letras; basta verificar que $4+5+6=15$ e que $10+11+12=33$ para ver que a regra funciona». Rebate o argumento dele explicando qual é a função essencial da álgebra em oposição à simples verificação com exemplos numéricos.

Queres inventar um jogo de adivinhação matemática para os teus colegas de turma. O jogo deve conduzir de forma matemática à seguinte expressão algébrica:

onde $x$ é o número secreto que o teu colega escolhe inicialmente.

1. Escreve de forma ordenada as instruções verbais passo a passo que deves ditar ao teu colega para que ele construa a referida expressão (começando por «Pensa num número inteiro qualquer...»).

2. Desenvolve e simplifica ao máximo a expressão algébrica aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes.

3. A partir da expressão simplificada, explica qual é o «truque»: se o teu colega fizer as operações em silêncio e te disser em voz alta que obteve $19$, que cálculo mental instantâneo deves fazer para lhe dizer que número $x$ pensou no início?

No torneio comarcal de futsal escolar participam $n$ equipas. Na fase prévia, todas as equipas têm de jogar contra todas exatamente uma vez (sistema de campeonato a uma só volta). A organização utiliza a expressão algébrica $P = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$ para calcular o número total de jogos que devem ser agendados.

1. Interpreta a estrutura lógica da fórmula: explica por que razão se multiplica o número de equipas $n$ por $(n - 1)$, e por que motivo é obrigatório dividir o referido produto por $2$.

2. Dado que o número de jogos tem de ser forçosamente um número inteiro para qualquer quantidade de equipas $n$ ($n \ge 2$), demonstra algebricamente que $P$ dá sempre um resultado inteiro exato estudando separadamente os dois casos possíveis:

3. Caso A: O número de equipas é par ($n = 2k$, sendo $k$ um número natural).

4. Caso B: O número de equipas é ímpar ($n = 2k + 1$, sendo $k$ um número natural).

(Substitui cada forma na fórmula de $P$ e simplifica a fração).

1. Se o pavilhão municipal apenas dispõe de horas livres para disputar um máximo de $20$ jogos durante o fim de semana, determina através da fórmula algébrica se é possível admitir um torneio de $7$ equipas.