Problemas com números inteiros

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, o termómetro marcava $-5^\circ\text{C}$ às oito horas da manhã. Ao meio-dia, a temperatura tinha subido $9^\circ\text{C}$. Que temperatura marcava o termómetro às doze horas do meio-dia?

Um mergulhador está a realizar uma imersão a uma profundidade de $12$ metros abaixo do nível do mar. Se decidir descer outros $15$ metros para observar um coral, a que profundidade se encontrará agora? Exprime-o como um número inteiro.

O Marcos tem $14$ € na sua conta bancária. Se fizer uma compra numa loja de aplicações para o seu telemóvel que custa $18$ €, qual será o seu novo saldo? Exprime-o com um número inteiro.

Um elevador de um centro comercial encontra-se no piso $2$. Primeiro desce $4$ pisos para ir ao estacionamento e depois sobe $3$ pisos para ir às salas de cinema. Em que piso se encontra o cinema?

Os pisos abaixo do rés-do-chão (piso $0$) numeram-se como $-1$, $-2$, $-3$…, como mostra a figura.

Um estafeta de comida ao domicílio entra num edifício e deixa a sua mota na terceira cave. Sobe $7$ andares para entregar uma encomenda, depois desce $4$ andares para recolher outro pacote que um vizinho lhe entrega e, finalmente, sobe mais $2$ andares para realizar a última entrega.

Em que andar se encontra o estafeta ao terminar o seu trabalho? Exprime a cave como um número negativo.

Beatriz tem na sua conta bancária um saldo de $120\ €$. Durante a manhã, o banco cobra-lhe um recibo de internet de $45\ €$ e ela faz uma compra numa loja de roupa no valor de $82\ €$. À tarde, o seu avô faz-lhe uma transferência de $20\ €$.

Calcule o saldo final da conta da Beatriz e explique se ela se encontra "no vermelho" (saldo negativo) ou não.

Calcule a distância vertical que separa um helicóptero que voa a $250$ metros de altura acima do nível do mar de um submarino que navega a $45$ metros de profundidade.

Um imperador romano nasceu no ano $27$ a.C. e morreu no ano $14$ d.C. Com que idade faleceu esse imperador? (Supõe que ele já tinha feito anos na data da sua morte).

Um submarino de exploração está a investigar uma fossa marinha a uma profundidade de $125$ metros abaixo do nível do mar. Para evitar um obstáculo, sobe $40$ metros. Ao mesmo tempo, um pássaro sobrevoa a zona a uma altura de $15$ metros acima do nível do mar.

1. a) Representa com números inteiros a posição do pássaro e a do submarino depois de subir.

1. b) Calcula a distância vertical que separa o pássaro do submarino na sua posição final.

Um famoso filósofo da antiga Grécia nasceu no ano $384$ a.C. e morreu no ano $322$ a.C. Um historiador contemporâneo afirma que ele viveu mais de $65$ anos.

Utilizando a subtração de números inteiros (considerando as datas a.C. como números negativos), determina quantos anos ele viveu e raciocina se o historiador tem razão.

Uma empresa de logística tem uma câmara frigorífica para alimentos congelados que se encontra a uma temperatura de $-18^\circ\text{C}$. Devido a uma falha elétrica, a temperatura começa a subir $2^\circ\text{C}$ a cada hora. Que temperatura marcará a câmara depois de $5$ horas?

Num videojogo, cada nível superado concede $500$ pontos, mas cada vez que a personagem perde uma vida são subtraídos $150$ pontos e cada objeto mágico recolhido soma $75$ pontos.

Se um jogador superou $4$ níveis, perdeu $3$ vidas e recolheu $12$ objetos mágicos, qual é a sua pontuação total? Escreve o cálculo utilizando operações combinadas com números inteiros.

Uma empresa de logística tem uma câmara frigorífica para conservar alimentos. A temperatura inicial da câmara é de $4\ ^\circ\text{C}$. Devido a uma falha elétrica, a temperatura subiu $3\ ^\circ\text{C}$ a cada hora durante as primeiras $5$ horas. Uma vez reparada a falha, um sistema de refrigeração rápida consegue baixar a temperatura à razão de $5\ ^\circ\text{C}$ por hora.

Se o sistema de refrigeração funcionar durante $4$ horas, qual será a temperatura final da câmara?

Num dia de inverno em Bragança, o Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou uma temperatura mínima de $-4\ ^\circ\text{C}$ e uma máxima de $11\ ^\circ\text{C}$. A Beatriz calculou a amplitude térmica (a diferença entre ambas as temperaturas) escrevendo no seu caderno: «$11 - 4 = 7\ ^\circ\text{C}$ de variação». Identifica qual é o ponto de referência ($0\ ^\circ\text{C}$), explica detalhadamente que erro conceptual a Beatriz cometeu ao ignorar o sinal da temperatura mínima e escreve a operação correta utilizando o conceito de distância entre dois números inteiros, $|a - b|$, para determinar a amplitude térmica real.

Num centro comercial de Faro, o nível da rua é considerado o piso $0$. Deixas o carro no parque de estacionamento subterrâneo, no piso $-3$. A partir daí, sobes $5$ pisos para ir a umas lojas de roupa, depois desces $4$ pisos para aceder aos cinemas e, por último, sobes $1$ piso para almoçar na esplanada. a) Antes de realizares as operações passo a passo, estima fundamentadamente se acabarás acima do nível da rua, na própria rua ou no subterrâneo, comparando a soma total de pisos que sobes com a soma dos que desces. b) Escreve uma única expressão matemática com números inteiros que reflita todo o percurso, calcula o piso final exato e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Numa estação meteorológica de alta montanha, o termómetro marcava $-12\ ^\circ\text{C}$ às seis da manhã. Ao meio-dia, devido ao nascer do sol, a temperatura subiu $15\ ^\circ\text{C}$, mas ao anoitecer uma tempestade fez com que descesse $8\ ^\circ\text{C}$.

Escreve uma expressão com números inteiros que represente esta situação e calcula a temperatura final no fim do dia.

Uma equipa de futsal tem um saldo de golos de $-15$. Nos últimos três jogos, os resultados foram:

• Jogo 1: Ganharam por $4$ a $1$.

• Jogo 2: Perderam por $0$ a $3$.

• Jogo 3: Empataram a $2$ a $2$.

Qual é o saldo de golos da equipa depois destes três jogos? (Lembra-te de que o saldo é a diferença entre golos marcados e golos sofridos).

Um clube de atletismo escolar de Coimbra mantém o registo da sua conta bancária, onde o saldo $0$ € indica que não há fundos nem dívidas. Durante o mês de outubro, o clube paga $4$ inscrições em competições de $35$ € cada uma, recebe um subsídio municipal de $220$ € e compra material desportivo no valor de $150$ €. No final do mês, o extrato do banco indica que o saldo final é de $-15$ € (estão com saldo negativo). Propõe uma expressão com números inteiros onde conste o saldo inicial desconhecido como uma incógnita ou espaço a preencher, e deduz fundamentadamente qual era o saldo do clube ao começar o mês.

A estação de metro de Alvalade em Lisboa conta com uma das plataformas mais profundas da rede, situada a uma cota de $-45\text{ m}$ em relação à superfície (nível da rua, $0\text{ m}$). Um técnico de manutenção encontra-se nessa plataforma e sobe num monta-cargas a uma velocidade constante de $2\text{ m}$ por segundo durante $12$ segundos. Depois, desce por uma escada de serviço uma distância de $7\text{ m}$ e, finalmente, sobe mais $15\text{ m}$ para reparar um quadro de ventilação. a) Escreve uma única operação combinada com números inteiros que determine a cota final do técnico em relação à rua, representando a subida no monta-cargas através de uma multiplicação com sinal. b) A que profundidade ou altura se encontra o quadro de ventilação? c) Utilizando o valor absoluto em cada troço, calcula a distância total percorrida pelo técnico nas suas deslocações.

Um criador de conteúdo numa plataforma de streaming começa o mês com um saldo de $-125$ € devido à compra de um microfone novo. Durante a primeira semana, recebe donativos no valor de $450$ €. No entanto, a plataforma cobra-lhe uma comissão de $2$ € por cada um dos $15$ donativos recebidos. Além disso, tem de pagar $3$ subscrições de software de $12$ € cada uma. Calcula o saldo final do criador ao terminar a semana e explica, através do conceito de valor absoluto, quanto dinheiro total se "movimentou" (tanto entradas como saídas) na sua conta.

O esquema resume os dados do enunciado pela ordem em que ocorrem.

Um drone de exploração meteorológica descola de uma base situada numa montanha a $+1200$ metros acima do nível do mar. A temperatura na base é de $+8$ $^\circ C$. O drone sobe $600$ metros, onde a temperatura baixa $5$ $^\circ C$ a cada $200$ metros de subida. Depois, desce rapidamente até um abismo submarino situado a $-150$ metros em relação ao nível do mar.

1. Qual é a temperatura no ponto mais alto do voo?

2. Qual é a diferença de altitude total entre o ponto mais alto alcançado e o fundo do abismo?

Num torneio de eSports, a pontuação de uma equipa calcula-se da seguinte forma: $+100$ pontos por cada vitória, $-40$ pontos por cada derrota e $-15$ pontos por cada penalização de tempo. A equipa "Cipher" jogou $24$ partidas no total. Sabe-se que ganharam o triplo das partidas que perderam, e receberam $6$ penalizações de tempo. Escreve uma única expressão com números inteiros que permita calcular a pontuação final da equipa e resolve-a.

Uma estação científica submarina tem o seu centro de comando no nível $0$ (ao nível do mar). Dispõe de andares habitacionais para cima (positivos) e laboratórios para baixo (negativos). Um investigador sai do seu camarote no andar $+3$, desce $8$ andares para recolher umas amostras, depois sobe $5$ andares para as analisar e finalmente desce outros $4$ para as armazenar no depósito de segurança.

1. Em que andar se encontra o depósito de segurança?

2. Se cada andar mede $4$ metros de altura, a que profundidade (em metros) em relação ao nível do mar se encontra o investigador ao final do seu trajeto?

Um arqueólogo estuda uma civilização que floresceu no ano $450$ a.C. e desapareceu no ano $120$ d.C. Durante as suas escavações numa antiga torre, encontra uma inscrição no nível superior, a $+18$ metros de altura, e uma câmara oculta situada exatamente à mesma distância do solo, mas para baixo (no subsolo).

1. Quantos anos durou essa civilização?

2. Se o arqueólogo se encontra na câmara oculta e sobe até à inscrição do nível superior, quantos metros percorreu no total? Expressa os níveis como números inteiros.

Numa câmara frigorífica de alta precisão, a temperatura desce $3$ $^\circ C$ a cada $15$ minutos até atingir a temperatura de conservação de $-24$ $^\circ C$. Se ao ligar a câmara a temperatura interior era de $+12$ $^\circ C$:

1. Quantas horas devem passar para que a câmara atinja os $-24$ $^\circ C$?

2. Se, depois de atingir essa temperatura, houver uma falha elétrica e a temperatura subir $2$ $^\circ C$ a cada hora, qual será a temperatura após $7$ horas de avaria?

Um robô industrial move-se sobre um eixo vertical. A sua programação obriga-o a repetir o seguinte ciclo de movimentos: subir $12$ cm, descer $15$ cm e subir $7$ cm.

1. Se o robô repetir este ciclo $8$ vezes consecutivas, qual é a sua posição final em relação ao ponto de partida?

2. Qual foi a distância total (em valor absoluto) percorrida pelo robô depois de completar os $8$ ciclos?

A turma do 8.º ano está a organizar a viagem de fim de curso e mantém a conta comum de receitas e despesas por trimestres. No primeiro trimestre ganharam $12000$ € com a venda de calendários. No segundo, gastaram $15000$ € na reserva dos autocarros. No terceiro, as despesas foram o dobro do segundo (o pagamento do albergue). Para que, ao finalizar o ano letivo, a turma não fique no vermelho (saldo final igual a $0$ €), quanto terão de ganhar com as atividades do quarto trimestre? Escreve a operação completa utilizando números inteiros para representar os ganhos e as despesas.

No Parque Nacional da Peneda-Gerês, um grupo de caminheiros analisa as variações de cota em relação ao refúgio de partida (que é fixado como ponto de referência $0\text{ m}$). Durante o percurso realizam quatro troços consecutivos com as seguintes variações de altitude: descem $160\text{ m}$, sobem $420\text{ m}$, descem $290\text{ m}$ e sobem $130\text{ m}$. Para saber a que altitude em relação ao refúgio se encontram no final do dia e planear o esforço, dois caminheiros propõem métodos diferentes: o método do Marcos consiste em operar da esquerda para a direita por ordem cronológica: $[((-160) + 420) - 290] + 130$; o método da Sofia consiste em agrupar, por um lado, todas as subidas e, por outro, todas as descidas: $(420 + 130) + [(-160) + (-290)]$. a) Calcula o resultado final com ambos os métodos e indica as propriedades das operações com inteiros que garantem que ambos os resultados coincidam. b) Se o guia de montanha lhes pedir para calcularem também o «desnível acumulado total» (a soma de todos os metros percorridos tanto a subir como a descer usando o valor absoluto $|a|$), justifica qual dos dois métodos facilita este cálculo sem ter de reformular o problema desde o início e calcula o referido desnível.

Uma albufeira da bacia hidrográfica do Tejo toma como nível de referência ($0\text{ hm}^3$) a sua capacidade de reserva ideal. Num domingo de inverno às 08:00, a albufeira situa-se a $+18\text{ hm}^3$ em relação a esse nível. Devido ao degelo nos cumes, a albufeira recebe de forma contínua um afluxo de $+14\text{ hm}^3$ por dia. Ao mesmo tempo, para abastecimento urbano e caudal ecológico, são descarregados de forma controlada $-21\text{ hm}^3$ por dia. a) Modela através de uma expressão com operações combinadas a situação da albufeira após $5$ dias completos (sexta-feira às 08:00). Explica se durante esses $5$ dias a albufeira se aproximou ou se afastou do nível ideal, justificando a tua resposta com o conceito de valor absoluto. b) A entidade gestora da bacia hidrográfica necessita que no domingo às 08:00 (exatamente $2$ dias depois) a albufeira atinja exatamente o nível ideal ($0\text{ hm}^3$). Supondo que o afluxo por degelo se mantém invariável em $+14\text{ hm}^3$ diários durante o fim de semana, calcula através de uma expressão com números inteiros quantos hectómetros cúbicos no total se devem descarregar ao longo desses dois dias para atingir esse objetivo.

Desafio do tema. Como é que o frio afeta a carteira? Assume o papel de gestor energético e elabora um plano de choque contra a pobreza energética.

1. Dados reais: Entra no site do IPMA e regista as temperaturas máxima e mínima de 5 localidades do interior ou de montanha com registos abaixo de zero. Identifica-as como elementos de $\mathbb{Z}$ e calcula a amplitude térmica ($T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}$) de cada uma.

2. Modelo de despesa: O custo base diário de aquecimento é de $14,25$ €. Por cada grau abaixo de zero da temperatura mínima ($T_{\text{mín}} < 0$) adicionam-se $1,30$ € de sobretaxa, e por cada grau acima de zero da temperatura máxima ($T_{\text{máx}} > 0$) bonificam-se $0,65$ €. Formula e resolve as operações combinadas com inteiros e decimais para encontrar a despesa real diária de cada concelho.

3. Representação: Introduz os registos numa folha de cálculo, representa as temperaturas numa reta numérica e calcula a média térmica de cada localidade, $\frac{T_{\text{máx}} + T_{\text{mín}}}{2}$ (com decimais).

4. Proposta: Redige uma proposta fundamentada, indicando a que localidade atribuir prioritariamente a verba de apoio.

Entrega um breve relatório com a tua tabela, cálculos e gráfico.

Será valorizado:

• Uso rigoroso do conjunto $\mathbb{Z}$ e cálculo correto de oscilações.

• Precisão nas operações combinadas com números decimais.

• Representação adequada dos dados na reta numérica.

• Justificação crítica e coerente da proposta de ajuda.