Números decimais — conceito

Num laboratório de biologia, um aluno está a medir a espessura de diferentes folhas de plantas. Escreva com algarismos os seguintes números decimais obtidos nas suas medições:

1. a) Doze unidades e oito décimos.
2. b) Sete unidades e vinte e cinco centésimos.
3. c) Zero unidade e cento e quatro milésimos.
4. d) Cinco unidades e nove décimos de milésimo.

Nos Jogos Olímpicos, os tempos de natação são medidos com muita precisão. Um nadador demorou $48,052$ segundos para completar uma prova. Indique que lugar ocupa cada algarismo neste número:

• O $4$ ocupa as:

• O $8$ ocupa as:

• O $0$ ocupa as:

• O $5$ ocupa as:

• O $2$ ocupa as:

Observe a seguinte quadrícula que representa a unidade dividida em cem partes iguais. Indique que número decimal representa a parte sombreada a laranja e como se lê esse número.

Identifique que números decimais estão representados pelas letras $A$, $B$ e $C$ na seguinte reta numérica:

Desenha uma reta numérica no teu caderno e representa os seguintes números decimais. Para os números negativos, utiliza uma cor diferente da dos positivos.

$A = 0,4$

$B = -0,25$

$C = 0,85$

$D = -0,7$

Pode ajudar-te tomar a reta desde $-1$ até $1$, com o $0$ no centro, e dividir cada unidade em 20 partes iguais, de modo que cada marca valha $0,05$. Por exemplo, se cada unidade ocupar 10 cm do caderno, cada marca ficará separada 0,5 cm. Escreve junto de cada ponto a sua letra e o seu valor.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Ordene os seguintes números decimais do menor para o maior:

O Marcos está a ordenar números para um exame e afirma o seguinte: «O número $0,19$ é maior do que $0,8$ porque $19$ é um número muito maior do que $8$. Além disso, $0,8$ e $0,80$ representam quantidades diferentes porque o segundo tem mais casas decimais». a) Encontra os dois erros de raciocínio que o Marcos comete e explica, utilizando o valor posicional dos algarismos (décimas e centésimas), por que razão as suas afirmações estão incorretas. b) Escreve a comparação correta entre $0,19$ e $0,8$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) após igualares o seu número de casas decimais.

Num campeonato de Fórmula 1, os tempos de classificação de quatro pilotos para uma volta ao circuito foram os seguintes:

• Piloto A: $1:24,058\text{ s}$

• Piloto B: $1:24,5\text{ s}$

• Piloto C: $1:24,06\text{ s}$

• Piloto D: $1:24,0578\text{ s}$

Ordena os pilotos do mais rápido para o mais lento utilizando os sinais $>$ ou $<$ conforme corresponda.

Ordena do menor para o maior os seguintes números decimais, justificando a tua resposta através do desenvolvimento de pelo menos quatro das suas casas decimais:

• $A = 2,3\hat{5}$

• $B = 2,\widehat{35}$

• $C = 2,35$

• $D = 2,35\hat{3}$

• $E = 2,355$

• $F = 2,353$

Depois de ordenados, encontra um número decimal exato e uma dízima periódica simples que estejam compreendidos entre os dois valores centrais da tua lista.

Quatro velocistas registaram marcas em segundos com desenvolvimentos decimais muito semelhantes: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ e $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Para as ordenar do menor para o maior tempo, dois juízes do campeonato propõem caminhos distintos: O Juiz 1 propõe: «Arredondemos todos os tempos às centésimas; assim será mais rápido e simples ordenar». O Juiz 2 propõe: «Desenvolvamos cada número até à sua quinta casa decimal e comparemos coluna a coluna da esquerda para a direita». a) Aplica a proposta do Juiz 1. É possível desempatar e classificar as quatro atletas com o seu método? Explica detalhadamente o que acontece e por que razão este procedimento falha neste caso. b) Aplica a proposta do Juiz 2, escreve o desenvolvimento com cinco casas decimais de cada marca e ordena as atletas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$. Justifica por que razão cinco casas bastam neste caso e por que razão, em geral, comparar algarismo a algarismo até ao primeiro algarismo diferente nunca falha. c) Se uma quinta atleta registar um tempo irracional cujos primeiros algarismos são $12,343443444...\text{ s}$, entre que duas atletas da lista anterior se classificaria? Justifica-o comparando a casa decimal exata em que se distingue das suas vizinhas.

Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas:

1. a) $4,25$
2. b) $7,\widehat{3}$
3. c) $1,02\widehat{5}$
4. d) $12,444...$
5. e) $0,123$
6. f) $5,6\widehat{12}$

Classifique os seguintes números decimais na tabela em anexo (Exato, Dízima Periódica Simples, Dízima Periódica Composta ou Irracional):

• $3,141592...$ (Número $\pi$)

• $2,15$

• $7,444...$

• $0,1232323...$

• $\sqrt{2}$

• $5,0616161...$

Sem efetuar a divisão dos seus termos, indique que tipo de número decimal cada uma das seguintes frações vai gerar (dízima finita ou dízima infinita periódica). Justifique a sua resposta analisando os fatores primos do denominador:

1. a) $\dfrac{7}{40}$
2. b) $\dfrac{5}{12}$
3. c) $\dfrac{11}{21}$
4. d) $\dfrac{3}{250}$

Observa a seguinte figura, onde um quadrado de área $1\text{ u}^2$ foi dividido em secções.

1. a) Exprime na forma decimal a parte sombreada a laranja.
2. b) Exprime na forma decimal a parte que fica a branco.
3. c) Que tipo de números decimais obtiveste (exatos ou dízimas infinitas periódicas)?

Queremos situar na reta numérica o número irracional $\sqrt{7}$, cujo valor exato tem infinitas casas decimais não periódicas. a) Sem utilizares a calculadora, estima entre que dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{7}$ a partir dos quadrados perfeitos mais próximos. Em seguida, estima fundamentadamente entre que duas décimas consecutivas ($2,5$ e $2,6$, ou $2,6$ e $2,7$, etc.) se deve situar, verificando à mão o quadrado dessas décimas. b) Sabendo que o valor aproximado deste número é $\sqrt{7} = 2,645751...$, verifica se a tua estimativa por décimas estava correta. c) Baseando-te na propriedade da densidade dos decimais, propõe um número decimal exato e um número decimal dízima periódica mista que se encontrem compreendidos entre $2,64$ e $\sqrt{7}$.

Representa na reta numérica de forma aproximada os seguintes números e determina de forma exata qual deles é o maior:

• $X = 1,4\hat{6}$

• $Y = \sqrt{2}$ (usa a aproximação $1,4142...$)

• $Z = \frac{11}{7}$

Como $\sqrt{2}$ é um número irracional, não tem fração geratriz. Por isso:

• Para $X$, calcula a sua fração geratriz e compara-a com $Z$ (por exemplo, reduzindo-as ao mesmo denominador).

• Para $Y$, usa a sua aproximação decimal e compara-a com os outros dois.

Justifica a posição de cada número na reta realizando as divisões necessárias com pelo menos três casas decimais. Usa a reta da figura, onde cada marca pequena vale $0,01$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Três irmãos medem a sua altura. A Beatriz mede $1,54$ metros e o Marcos mede $1,55$ metros. Encontra um número decimal que esteja compreendido entre a altura da Beatriz e a do Marcos.

Pede-se-te que construas quatro números decimais diferentes que estejam compreendidos estritamente entre $3,4$ e $3,5$ (ou seja, maiores do que $3,4$ e menores do que $3,5$). Cada um deve cumprir uma das seguintes condições: a) Um número decimal exato que tenha exatamente três casas decimais. b) Um número decimal dízima periódica simples (lembra-te de que o período deve começar imediatamente após a vírgula). c) Um número decimal dízima periódica mista (com anteperíodo e período). d) Um número irracional. Para este último, escreve as suas primeiras sete casas decimais e explica que regra ou padrão seguiste para que nunca se repita nenhum bloco de algarismos.

Intercale três números racionais (em forma de fração) entre os números decimais $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$.

Para resolver, siga estes passos:

1. Obtenha as frações geratrizes de ambos os números.

2. Reduza essas frações ao mesmo denominador.

3. Encontre três frações que fiquem entre elas e verifique que as suas representações decimais cumprem a condição de intercalação.

Durante um debate na aula sobre a propriedade da densidade dos decimais, o Afonso afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$ não cabe nenhum outro número decimal porque, ao escrever $0,\widehat{2} = 0,222...$, depois do $2$ nas centésimas só pode vir o $3$, logo não fica nenhum espaço no meio». a) Demonstra que o raciocínio do Afonso é falso: explica como o sistema de numeração decimal garante a existência de infinitos valores intermédios e encontra três números de tipos diferentes (um exato, uma dízima periódica simples e uma dízima periódica mista) que estejam estritamente entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$. b) Constrói um número irracional compreendido nesse mesmo intervalo mostrando as suas primeiras oito casas decimais. Explica com precisão a regra de formação que utilizaste para assegurar que os seus algarismos nunca formem um período repetitivo e que não possa ser expresso sob a forma de fração.

Num laboratório de biologia, mediu-se o tamanho de um microrganismo obtendo-se um valor de $0,04586$ mm. Por um erro no software, o microscópio mostra este valor aproximado de duas formas diferentes:

• Aproximação X: truncado às milésimas.

• Aproximação Y: arredondado às milésimas.

Calcule o erro relativo cometido em cada uma das duas aproximações. Qual das duas estimativas é mais precisa para o estudo científico? Justifique a sua resposta comparando os erros obtidos.