Monómios

Numa loja de aplicações, o lucro por cada download de um jogo é expresso pelo monómio $7x^2y$. Identifica os seguintes elementos desta expressão:

• Coeficiente:

• Parte literal:

• Grau do monómio:

Numa aplicação de matemática, um bot classificou incorretamente alguns monómios. A tua tarefa é corrigir a seguinte tabela identificando o coeficiente, a parte literal e o grau de cada um. Se encontrares algum erro na classificação do bot, escreve-o corretamente:

Monómio	Coeficiente	Parte literal	Grau
$-5x^2y$	$5$	$x^2y$	$2$
$\frac{3}{4}ab^3c$	$3$	$ab^3c$	$4$
$-x^4$	$-1$	$x$	$4$
$7$	$7$	Não tem	$1$

Estamos a organizar um inventário de peças de robótica. Agrupe os seguintes monómios em pares que sejam semelhantes entre si:

$5x^2$, $-3ab$, $x$, $\frac{1}{2}ab$, $-2x^2$, $8x$

Calcule o valor numérico do monómio $M(x) = -5x^2$ para os valores da variável indicados:

1. a) $x = 2$
2. b) $x = -1$
3. c) $x = 0$

Calcule o valor numérico dos seguintes monómios para os valores das variáveis indicados em cada caso:

1. a) $P(x, y) = -3x^2y$ para $x = -2$, $y = 5$

1. b) $Q(a, b) = \frac{2}{3}a^3b^2$ para $a = 3$, $b = -1$

Tem-se o monómio $P(a, b) = -4a^2b^3$ e quer-se calcular o seu valor numérico para $a = -2$ e $b = -1$.

1. a) Estima o sinal: Antes de efetuares qualquer cálculo numérico completo, determina fundamentadamente se o resultado final será positivo ou negativo. Para isso, analisa em separado o sinal do coeficiente $-4$, da potência $(-2)^2$ e da potência $(-1)^3$.
2. b) Estima a ordem de grandeza: Sem calculares o valor exato, deduz se o valor absoluto do resultado será maior ou menor do que $100$. Justifica a tua estimativa mental.
3. c) Verifica: Substitui os valores no monómio, calcula passo a passo o resultado final respeitando a prioridade das operações e confirma se as tuas previsões das alíneas anteriores estavam corretas.

Reduza as seguintes expressões algébricas somando e subtraindo os monómios que sejam semelhantes:

1. a) $4x + 2x - x$
2. b) $5a^2 - 3a^2 + 7a^2$
3. c) $3ab + ab - 2ab$

A Beatriz tem de simplificar a expressão $5x^3 + 3x^3$ num exercício da aula e escreve no quadro: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$. Ao ser questionada pelo professor, justifica a sua resposta dizendo: «Somei os coeficientes ($5 + 3 = 8$) e também somei os expoentes das letras ($3 + 3 = 6$)».

1. a) Identifica o erro cometido pela Beatriz e explica, utilizando a propriedade distributiva (colocar em evidência a parte literal), por que motivo os expoentes não se devem somar.
2. b) Escreve o resultado correto da soma.
3. c) Que operação entre os monómios $5x^3$ e $3x^3$ teria de ter sido realizada para que o resultado fosse um monómio de grau $6$? Justifica a tua resposta.

Para calcular o valor numérico da expressão algébrica:

$$E = 7x^2y - 12x^2y + 8x^2y - 2x^2y$$

para $x = -\frac{2}{3}$ e $y = 9$, dois alunos seguem caminhos diferentes:

• Método A (Marcos): Substitui diretamente os valores de $x$ e $y$ em cada um dos quatro monómios em separado, calcula os quatro resultados numéricos e depois efetua as adições e subtrações com os números obtidos.

• Método B (Inês): Agrupa primeiro os monómios semelhantes para reduzir toda a expressão a um único monómio e, de seguida, substitui os valores numéricos uma única vez.

1. a) Resolve o exercício seguindo detalhadamente o método do Marcos e depois seguindo o da Inês.
2. b) Analisa ambos os procedimentos: em qual tiveste de fazer mais operações com potências e frações? Justifica qual dos dois métodos é mais conveniente e seguro para evitar erros de cálculo.

Efetue as seguintes multiplicações de monómios e simplifique o resultado:

1. a) $3 \cdot (5x^4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (4x)$
3. c) $(3a) \cdot (2b)$

Encontre o monómio que expressa a área do seguinte retângulo destinado a uma área de jogos "gaming" num centro comercial:

Encontra o monómio que representa a área da seguinte região sombreada, que faz parte do projeto de uma nova pista de skate. Expressa o resultado da forma mais simplificada possível.

Num jogo eletrónico de estratégia, a energia da sua base aumenta segundo a seguinte operação de monómios. Reduza a expressão a um único monómio:

$$(12x^5 \cdot 3x^2) : (9x^4)$$

Qual é o grau do monómio resultante?

Simplifique a seguinte expressão que combina potências e divisões de monómios:

$$\frac{(-2a^3b)^2 \cdot 5ab^4}{10a^4b^3}$$

Simplifique ao máximo a seguinte expressão combinada com monómios, aplicando as propriedades das potências e a ordem das operações:

$$\frac{(-3x^2y^3)^2 \cdot (2x^4y)^3}{(-6x^3y^2)^2}$$

Expresse o resultado como um único monómio.

Preencha as lacunas com o monómio necessário para que as igualdades sejam corretas:

1. a) $7x^3y + \dots \dots = 10x^3y$

1. b) $(-2ab^2) \cdot (\dots \dots) = 12a^3b^2$

1. c) $\frac{15x^4y^2}{\dots \dots} = 3x^2y$

Calcule o grau deste monómio "encadeado" e simplifique-o para a sua forma mais simples:

$$P(x) = x \cdot (2x^2)^3 : \left( \frac{1}{4}x^4 \right) + (-5x^3) \cdot (-2x^0)$$

Os termos resultantes da soma são semelhantes? Justifique a sua resposta.

Observa a seguinte figura composta por dois retângulos encostados.

1. a) Escreve o monómio que representa a área de cada retângulo separadamente.
2. b) Escreve o polinómio que representa a área total.
3. c) Coloca em evidência o fator comum na expressão da área total.

Extraia o maior fator comum possível (máximo divisor comum dos termos) na seguinte expressão algébrica. Tenha especial cuidado com os coeficientes fracionários:

$$\frac{4}{9}a^5b^2 - \frac{8}{27}a^3b^4 + \frac{2}{3}a^3b^2$$

Observe o seguinte hexágono regular cujo lado mede $x$ metros. Escreva o monómio que representa o seu perímetro e calcule o seu valor se cada lado medisse $4,5$ cm.

Traduza para a linguagem algébrica as seguintes frases utilizando um único monómio:

1. a) O dobro do cubo de um número $x$.
2. b) A metade do produto de dois números $a$ e $b$.
3. c) O triplo do quadrado da distância $d$.

Um criador de conteúdos analisa o crescimento das suas redes sociais. O número de "Gostos" nas suas fotos é dado pelo monómio $8x^2y$, e o número de "Partilhas" por $3x^2y$. Durante o último mês, recebeu um extra de visualizações equivalente a $\frac{1}{2}x^2y$.

Calcule a expressão algébrica simplificada que representa a interação total, somando os três conceitos.

Numa estação de reciclagem de vidro em Trás-os-Montes, um triturador armazena o material em tremonhas cúbicas cuja aresta mede $x$ metros. A massa de vidro triturado (em quilogramas) que cabe numa tremonha cheia é dada pelo monómio $M(x) = 1500x^3$.

1. a) Interpreta e explica que significado físico têm neste contexto real cada uma das partes do monómio: o coeficiente $1500$, a variável $x$, a potência $x^3$ e o grau do monómio.
2. b) Se a estação utiliza atualmente tremonhas de aresta $x = 0,8\text{ m}$, calcula quantos quilogramas de vidro triturado contém uma tremonha cheia.
3. c) Num dia de trabalho enchem-se completamente $5$ destas tremonhas de aresta $x$. Exprime através de um único monómio simplificado a massa total recolhida no dia e justifica por que razão foi possível agrupar essas quantidades.

Três amigos alugam um campo de pádel. O custo total é dado pela expressão algébrica $C(t, l) = 6t + 2l$, onde $t$ é o tempo em horas e $l$ é o número de raquetes alugadas.

1. a) Se decidirem dividir a despesa em partes iguais, escreva a expressão algébrica que representa o que cada um deve pagar.

1. b) Se um quarto amigo se juntar ao grupo, o custo total das raquetes aumenta (agora são $l+1$) e a despesa é dividida entre quatro. Escreva a nova expressão para o pagamento individual.

1. c) Se o tempo de jogo for de $1,5$ horas e cada um alugar a sua própria raquete, quantos euros poupa cada um dos três amigos originais ao entrar o quarto jogador?

Calcula o monómio que representa o perímetro e o polinómio que representa a área sombreada da seguinte figura composta (um quadrado grande de lado $3x$ ao qual foram recortados quatro quadrados pequenos idênticos de lado $y$ nos seus cantos):

Simplifica as expressões ao máximo.

Queremos construir um monómio que cumpra simultaneamente as seguintes três condições:

1) As suas variáveis são $a$ e $b$, e o seu grau total é $4$.

2) O expoente da variável $b$ é exatamente o triplo do da variável $a$.

3) O seu coeficiente é um número inteiro negativo e o seu valor numérico para $a = 2$ e $b = -1$ é igual a $10$.

1. a) Raciocina passo a passo sobre quais devem ser os expoentes de $a$ e de $b$.
2. b) Formula a equação que te permita deduzir o coeficiente do monómio a partir do valor numérico dado.
3. c) Escreve a expressão algébrica final do monómio e verifica se cumpre todas as condições.

Sabe-se que o valor numérico do monómio $M(x, y) = -5x^a y^b$ é $-320$ quando $x=2$ e $y=2$. Além disso, sabe-se que o grau relativo relativamente à variável $x$ é o dobro do grau relativo relativamente a $y$.

Encontra os expoentes $a$ e $b$ justificando os passos seguidos.

Observe a seguinte sucessão de figuras formadas por pequenos quadrados. O primeiro termo ($n=1$) tem 4 quadrados, o segundo ($n=2$) tem 7, e o terceiro ($n=3$) tem 10.

1. a) Determine o monómio que representa o número de quadrados em função da posição $n$, sabendo que a relação é de tipo linear (um monómio em $n$ mais um termo independente).

1. b) Quantos quadrados terá a figura que ocupa a posição $n=150$?

1. c) Se uma figura tem 91 quadrados, que posição $n$ ocupa ela na sucessão?

Na seguinte "pirâmide de produtos", cada bloco é o resultado de multiplicar os dois monómios que estão logo abaixo. Complete os espaços vazios encontrando os monómios $A$, $B$ e $C$.

Um município projeta dois tipos de parcelas retangulares para hortas comunitárias:

• A horta de tipo A tem uma base de $3x$ metros e uma altura de $2x^2y$ metros.

• A horta de tipo B tem uma base de $k \cdot x$ metros (onde $k$ é um número fixo que desconhecemos) e uma altura de $5x^2y$ metros.

1. a) Determina o monómio que representa a área de cada tipo de horta multiplicando a sua base pela sua altura. Indica o coeficiente, a parte literal e o grau de cada um.
2. b) Explica fundamentadamente por que motivo os dois monómios obtidos são semelhantes, qualquer que seja o valor do coeficiente $k$.
3. c) O município quer construir $4$ hortas de tipo A e $2$ hortas de tipo B. Determina o valor que deve ter o número $k$ para que a área total de hortas construídas seja exatamente igual a $44x^3y\text{ m}^2$. Mostra todo o processo de dedução, agrupando os monómios semelhantes.