O conjunto dos números naturais

Durante uma discussão em grupo sobre as características do conjunto $\mathbb{N}$, três alunos defendem as seguintes afirmações:

• Hugo: «Entre o $10$ e o $20$ há infinitos números naturais, porque $\mathbb{N}$ é um conjunto infinito e os números nunca acabam».

• Inês: «Se inventarmos uma operação entre números naturais definida como $a \odot b = a \cdot b - (a + b)$, o conjunto $\mathbb{N}$ é fechado em relação a ela porque só estamos a multiplicar, a somar e a subtrair».

• Tomás: «O número $0$ não deveria fazer parte de $\mathbb{N}$ porque os números naturais servem para contar objetos reais, e se tens $0$ objetos não estás a contar nada tangível».

1. a) Refuta a afirmação do Hugo explicando a diferença fundamental entre o facto de $\mathbb{N}$ ser um conjunto infinito e a propriedade de $\mathbb{N}$ ser um conjunto discreto.
2. b) Demonstra que a afirmação da Inês é falsa através de um contraexemplo numérico concreto com dois números naturais que façam com que o resultado não pertença a $\mathbb{N}$, e explica que propriedade da subtração o provoca.
3. c) Responde ao argumento do Tomás explicando que papel desempenha o zero no sistema de numeração decimal posicional e por que razão o programa atual o inclui como o primeiro elemento de $\mathbb{N}$.

No sistema de numeração decimal, o valor de um algarismo depende da posição que ocupa. No número 7 475, indica que valor representa o primeiro "7" (começando pela esquerda) e que valor representa o segundo "7". Quantas vezes o primeiro é maior do que o segundo?

A população estimada de uma rede social no ano de 2023 atingiu o número de $1\,205\,040\,300$ utilizadores ativos.

1. a) Escreva como se lê esse número em português.
2. b) Faça a sua decomposição polinómica utilizando potências de base $10$.
3. c) Qual é o valor posicional do algarismo $5$ nesse número?

Considere o número natural $N = 47\,082$.

1. a) Se trocarmos o algarismo das unidades de milhar com o algarismo das dezenas, qual é a diferença entre o número original e o novo número obtido?
2. b) Quantas centenas completas existem no total no número $N$?
3. c) Escreva o número natural mais próximo de $N$ que termine em três zeros.

Um número natural de quatro algarismos cumpre as seguintes condições:

• É um número capicua (lê-se da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

• A soma dos seus algarismos é $24$.

• O algarismo dos milhares é o triplo do algarismo das centenas.

Determina fundamentadamente de que número se trata e representa-o através da sua decomposição polinomial.

Para equipar a sala de educação visual, uma escola adquire $4$ caixas de tintas guache a $12$ € cada uma, $3$ conjuntos de pincéis a $9$ € cada um e um rolo de papel de cenário por $48$ €. Além disso, a loja aplica uma promoção especial de fidelidade que desconta $5$ € por cada caixa de tintas guache comprada.

A expressão combinada que representa a despesa final em euros é:

1. a) Sem calculares o valor exato no papel nem usares a calculadora, faz uma estimativa mental rápida do resultado, arredondando cada preço ou operação à dezena mais próxima, e explica brevemente como a pensaste.
2. b) Resolve a expressão combinada passo a passo, respeitando a prioridade das operações.
3. c) Compara a tua estimativa prévia com o resultado exato: foi certeira? Justifica se a tua estimativa ficou acima ou abaixo do valor real.

Considera a seguinte expressão numérica sem parênteses: $3 + 5 \cdot 4 - 2$. Se a calcularmos diretamente respeitando a prioridade natural, obtemos $3 + 20 - 2 = 21$.

1. a) Coloca um único par de parênteses na expressão para que o resultado final seja igual a $13$.
2. b) Coloca um único par de parênteses numa posição diferente da anterior para que o resultado seja igual a $30$.
3. c) Onde colocarias dois pares de parênteses simultâneos para que o resultado final seja exatamente $16$?
4. d) Justifica por que razão, independentemente de onde coloques os parênteses, nunca poderás obter um número com casas decimais a partir desta operação, relacionando-o com as propriedades do conjunto $\mathbb{N}$.

Uma escola organiza uma visita ao Museu Nacional de Arte Antiga, em Lisboa, para um grupo de $28$ alunos e $3$ professores. Para se deslocar nos comboios suburbanos (CP Urbanos de Lisboa), a escola consulta as seguintes opções de bilhetes da mesma zona:

• Bilhete individual simples: $3$ € por viagem.

• Passe de $10$ viagens (título partilhável que pode ser utilizado por várias pessoas): $18$ € por passe.

Tanto os alunos como os professores têm de fazer a viagem de ida e a de volta no mesmo dia.

1. a) Modela a situação construindo uma única expressão aritmética com operações combinadas para calcular o custo mínimo total, sabendo que o grupo comprará tantos passes de $10$ viagens quanto possível e adquirirá bilhetes simples apenas para as viagens avulso que faltarem.
2. b) Calcula passo a passo o referido custo mínimo aplicando a prioridade das operações.
3. c) Se se decidisse dividir o custo total obtido em partes iguais pelas $31$ pessoas que vão à visita de estudo, o custo por pessoa pertenceria ao conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais? Justifica a tua resposta sem necessidade de realizar uma divisão com casas decimais.

Num desafio de lógica matemática, dão-te uma expressão à qual faltam parênteses para que o resultado seja correto. Coloca os parênteses necessários para que se verifique a igualdade:

Depois de resolvido, explica passo a passo a prioridade das operações que seguiste para chegar ao resultado de $23$.

A caminhar pelo centro da cidade, avista-se uma placa num monumento antigo que indica o ano da sua construção em números romanos: MDCCCXCVII. Traduza essa data para o nosso sistema de numeração decimal.

A Maria viu uma placa comemorativa na fachada da biblioteca municipal e quer transcrever o ano da sua fundação, 1999, para o sistema de numeração romano. No seu caderno escreveu: $MIM$, e justifica-o ao seu colega dizendo: «Ponho um $M$ ($1\,000$) e a outro $M$ subtraio $I$ situado à sua esquerda ($1\,000 - 1 = 999$); assim tenho $1\,000 + 999 = 1\,999$».

1. a) Localiza os dois erros cometidos pela Maria e explica que regras da numeração romana ela infringiu.
2. b) Escreve corretamente o número 1999 em numeração romana, decompondo passo a passo cada ordem de unidades (milhares, centenas, dezenas e unidades).

A Beatriz quer organizar a sua coleção de $36$ autocolantes formando um quadrado perfeito sobre a capa do seu caderno. Quantos autocolantes deve colocar em cada lado do quadrado para que não sobre nenhum? Desenhe um esquema simples da solução.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num armazém de logística, organizam-se caixas de sapatos formando cubos perfeitos. Se uma estante tem uma base quadrada de $7 \times 7$ caixas e estas são empilhadas até atingir a mesma altura para formar um cubo:

1. a) Quantas caixas há no total na estante? Exprime na forma de potência e calcula o valor.
2. b) Se forem vendidas $150$ caixas, qual é o número máximo de caixas que podem continuar a formar um quadrado perfeito no chão do armazém? Quantas caixas sobrariam nesse caso?

Os pitagóricos estudavam os números poligonais. Observe a seguinte sucessão de números hexagonais e responda:

1. Desenhe ou descreva como seria a figura do quarto número hexagonal ($H_4$).

2. Quantos pontos terá a figura $H_5$?

3. Sabendo que a fórmula para calcular o número hexagonal que ocupa a posição $n$ é $H_n = 2n^2 - n$, calcule o valor para $H_{12}$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa aula de matemática é proposto calcular a soma dos $50$ primeiros números naturais pares não nulos:

Dois alunos propõem caminhos diferentes para resolvê-lo sem necessidade de somar um a um os cinquenta termos:

• Método do Marcos: Repara que se podem emparelhar os extremos somando o primeiro com o último ($2 + 100 = 102$), o segundo com o penúltimo ($4 + 98 = 102$), e assim sucessivamente com todos os pares possíveis.

• Método da Sara: Prefere pôr o fator comum $2$ em evidência em toda a expressão: $2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 50)$. Depois, aplica a fórmula triangular que aprendeu para somar os $n$ primeiros números naturais, $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$, calculando $2 \cdot \frac{50 \cdot 51}{2}$.

1. a) Aplica ambos os métodos a uma versão reduzida apenas com os 4 primeiros pares ($2 + 4 + 6 + 8$) e verifica que se chega à mesma solução.
2. b) Analisa e compara ambos os métodos para o caso original dos $50$ termos: qual dos dois requer menos passos de cálculo e apresenta menor risco de erro? Justifica a tua resposta indicando as propriedades das operações em $\mathbb{N}$ em que se baseia cada estratégia.
3. c) Calcula o valor definitivo da soma $S$ utilizando o método que defendeste na alínea anterior.