O conjunto dos números inteiros

Numa partida de um videojogo de sobrevivência, as ações do seu personagem afetam os seus pontos de experiência. Expresse com um número inteiro as seguintes situações:

1. a) Encontra um baú e ganha $450$ pontos.
2. b) É derrotado por um inimigo e perde $125$ pontos.
3. c) Cai numa armadilha e a sua pontuação desce $50$ pontos.
4. d) Completa uma missão secundária e recebe $80$ pontos.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

1. a) O número $-7$ é um número natural ($\mathbb{N}$).
2. b) Todos os números naturais são também números inteiros ($\mathbb{Z}$).
3. c) O valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero.
4. d) O oposto de um número negativo é sempre negativo.

Calcule o valor absoluto e o oposto dos seguintes números inteiros:

1. a) $-14$
2. b) $+21$
3. c) $-5$
4. d) $+9$

Observa a seguinte reta numérica e indica quais os números inteiros que correspondem aos pontos marcados com as letras $A$, $B$, $C$ e $D$.

Compare os seguintes pares de números utilizando os sinais $<$ (menor que) ou $>$ (maior que):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Um grupo de amigos está a medir a temperatura em diferentes cidades da Europa num dia de inverno:

• Berlim: $-4 \text{ °C}$

• Madrid: $+9 \text{ °C}$

• Oslo: $-12 \text{ °C}$

• Roma: $+15 \text{ °C}$

• Zurique: $-1 \text{ °C}$

Ordene as cidades da mais fria para a mais quente.

Desenhe uma reta numérica no seu caderno e represente nela os seguintes números inteiros:

$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estás num centro comercial muito grande que tem andares acima e abaixo do nível da rua (piso $0$).

1. a) Se estás no piso $-3$ e sobes $5$ andares, em que piso te encontras?

1. b) Se estás no piso $2$ e desces $3$ andares, a que piso chegas?

Associa um número inteiro a cada uma das seguintes situações extraídas da vida quotidiana de um adolescente:

1. a) O saldo do teu cartão de transporte depois de teres gasto $5$ € em viagens e de teres feito um carregamento prévio de $2$ €.
2. b) A posição de um submarino de exploração num videojogo que se encontra a $150$ metros abaixo do nível do mar.
3. c) A temperatura de uma estância de esqui que marca $4$ graus abaixo de zero.
4. d) O ano em que se estima que o ábaco foi inventado, aproximadamente $500$ anos antes de Cristo.
5. e) Descer no elevador de um centro comercial desde o piso dos cinemas (piso $3$) até ao estacionamento situado dois pisos mais abaixo.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados vários pontos com letras. Identifique o número inteiro que corresponde a cada letra e, posteriormente, calcule o valor absoluto de cada um deles.

Considere dois números inteiros $a$ e $b$. Sabe-se que $a$ é um número negativo e $b$ é um número positivo. Indique se as seguintes afirmações são sempre verdadeiras, às vezes verdadeiras ou sempre falsas, justificando a sua resposta com um exemplo:

1. a) $|a|$ é sempre maior que $b$.
2. b) O oposto de $b$ é sempre menor que $a$.
3. c) O valor absoluto de $a$ é sempre um número positivo.
4. d) $b$ é sempre maior que $a$.

Completa a seguinte tabela no teu caderno, preenchendo os espaços em branco para que cada linha seja coerente com a definição de número inteiro, o seu oposto e o seu valor absoluto:

Número ($z$)	Oposto ($Op(z)$)	Valor Absoluto ($|z|$)
$-12$
	$+7$
		$5$ (Se $z$ for positivo)
		$9$ (Se $z$ for negativo)
$Op(-3)$

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um contraexemplo caso sejam falsas:

1. a) Se um número inteiro $a$ é menor que $b$, então o valor absoluto de $a$ é sempre menor que o valor absoluto de $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) O oposto do valor absoluto de qualquer número inteiro (diferente de zero) é sempre um número negativo.
3. c) Não existe nenhum número inteiro cujo valor absoluto seja igual ao seu oposto.

Durante um debate sobre as propriedades dos números inteiros, a Irene assegura que as três afirmações seguintes são sempre verdadeiras para qualquer número inteiro:

• Afirmação 1: «Se $a$ e $b$ são dois números inteiros quaisquer tais que $a < b$, então obrigatoriamente $|a| < |b|»$.

• Afirmação 2: «Para qualquer número inteiro $n \in \mathbb{Z}$, o seu quadrado $n^2$ é sempre um número que pertence a $\mathbb{N}$ e além disso verifica que $n^2 > n$».

• Afirmação 3: «Se a qualquer número inteiro negativo se subtrai outro número inteiro negativo, o resultado pertence sempre a $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (ou seja, nunca pode dar um número natural)».

1. a) Lembra-te de que para demonstrar que uma afirmação sobre todos os inteiros é falsa basta encontrar um único contraexemplo. Demonstra que as três afirmações da Irene são falsas fornecendo um contraexemplo numérico claro e específico para cada uma delas.
2. b) Explica o erro conceptual que a Irene comete na Afirmação 3 e redige uma condição precisa sobre os valores absolutos de ambos os números negativos para que a sua subtração dê de facto como resultado um número inteiro positivo.

Escreva todos os números inteiros $x$ que cumprem simultaneamente as duas condições indicadas a seguir:

1. O seu valor absoluto é menor ou igual a $4$: $|x| \le 4$.

2. São maiores do que o simétrico de $2$: $x > Op(+2)$.

Ordene os seguintes números do menor para o maior, colocando em primeiro lugar os valores negativos e utilizando os sinais de desigualdade correspondentes:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Queremos definir um conjunto de números inteiros desconhecidos mediante várias condições simultâneas, de modo a que os únicos números de todo o $\mathbb{Z}$ que satisfaçam todas ao mesmo tempo sejam exatamente $\{-6, -4, -2\}$.

Desenha três condições que um número inteiro $x$ deva verificar para obter este resultado:

• A primeira condição deve delimitar um intervalo numérico utilizando o valor absoluto $|x|$.

• A segunda condição deve referir-se à pertença ou não pertença aos conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$.

• A terceira condição deve exigir uma propriedade sobre a divisibilidade ou paridade do número.

Depois de redigires as tuas três condições:

1. a) Verifica passo a passo que os números $-6$, $-4$ e $-2$ satisfazem simultaneamente as três.
2. b) Escreve um número inteiro que satisfaça as duas primeiras condições mas não a terceira, demonstrando que a tua terceira condição é indispensável para que não se infiltrem outras soluções.

Determina todos os números inteiros $x$ que cumprem simultaneamente as seguintes três condições:

• O seu valor absoluto é maior do que $5$ e menor ou igual a $9$.

• O número $x$ não pertence ao conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$.

• $x$ é um número par.

Representa graficamente na reta numérica o conjunto de soluções obtidas. Podes usar como guia esta reta, que está sem marcar:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa cidade de alta montanha, o serviço meteorológico regista as seguintes temperaturas ao longo de um dia de inverno:

• Às 06:00 h: $-8$ ºC.

• Às 12:00 h: A temperatura subiu $10$ ºC em relação às 06:00 h.

• Às 20:00 h: A temperatura caiu $5$ ºC em relação às 12:00 h.

• Às 00:00 h: A temperatura é o oposto da registada às 12:00 h.

Represente estas quatro temperaturas numa reta numérica e ordene-as da menor para a maior utilizando o sinal $<$.

Um drone de brincar move-se por um corredor reto que marcamos como uma reta numérica. O ponto de descolagem é o $0$. O drone realiza os seguintes movimentos consecutivos:

1. Avança $+6$ metros.

2. Recua $10$ metros.

3. Desloca-se até ao ponto simétrico da sua posição atual.

4. Finalmente, avança até um ponto cujo valor absoluto é $2$ e que está à esquerda da origem.

Em que ponto da reta se encontra o drone no final do seu trajeto? Desenhe-o num esquema.

Um robô submersível do Instituto Hidrográfico parte de uma plataforma de investigação situada a $+16\text{ m}$ acima do nível do mar. Para estudar uma falha marinha realiza três manobras consecutivas:

1. Desce $38\text{ m}$ para calibrar as suas câmaras.

2. Volta a descer outros $42\text{ m}$ para recolher amostras do fundo marinho.

3. Sobe uma distância igual a metade da soma dos metros que desceu nas duas manobras anteriores.

1. a) Estima: Antes de realizares operações combinadas passo a passo, fundamenta se a posição final do robô se encontrará acima da superfície do mar (inteiro positivo), exatamente na superfície ($0$) ou abaixo do nível do mar (inteiro negativo). Explica brevemente em que te baseias para fazer a tua estimativa.
2. b) Calcula: Escreve a expressão matemática com números inteiros que represente todos os movimentos e calcula a cota final exata em que o robô fica.
3. c) Verifica: Compara a tua estimativa inicial com o valor obtido. O resultado é coerente? A posição final pertence ao conjunto $\mathbb{N}$ ou unicamente ao conjunto $\mathbb{Z}$?

Um submarino de investigação encontra-se a uma profundidade de $-450$ metros em relação ao nível do mar. Lança uma sonda vertical que sobe $125$ metros para recolher uma amostra e, posteriormente, desce o triplo do que tinha subido.

1. a) Exprime por meio de números inteiros cada um dos movimentos e a posição final da sonda.
2. b) Calcula a distância absoluta entre a posição inicial do submarino e a posição final da sonda.

Dados os números inteiros $a = -12$ e $b = +5$:

1. a) Calcule a distância entre eles na reta numérica.
2. b) Encontre o número $c$ que esteja exatamente à mesma distância de $a$ e de $b$. $c$ é um número inteiro? Justifique a sua resposta.
3. c) Se $d$ é um número tal que $|d| = |a| + |b|$, que valores pode $d$ assumir?

Escreva o nome de uma personagem histórica que cumpra as seguintes condições:

• Nasceu no ano $x$, onde $x$ é o oposto de $356$.

• Morreu no ano $y$, onde $y$ é um número inteiro tal que $|y| = 323$ e $y < 0$.

• Calcule quantos anos viveu essa personagem sabendo que não existe o ano zero no calendário gregoriano (passa do ano 1 a.C. para o ano 1 d.C.).

Define-se uma sucessão de números inteiros da seguinte maneira:

1. O primeiro termo é $a_1 = -5$.

2. O segundo termo é o oposto do valor absoluto de $a_1$, aumentado em $2$ unidades.

3. O terceiro termo é o valor absoluto do segundo termo, diminuído em $10$ unidades.

Calcule o quarto termo se este for o oposto da soma dos três termos anteriores.

Imagina que um termómetro inteligente regista a temperatura máxima e mínima de uma cidade. Num dia, a temperatura mínima foi de $-8$ $^\circ C$. A temperatura máxima foi um número inteiro $T$ que satisfaz:

• $|T| < 15$

• A diferença entre a máxima e a mínima (amplitude térmica) é de $12$ graus.

• $T$ é um número maior que o seu oposto.

Qual foi a temperatura máxima registada? Indica todas as possibilidades, se houver.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as seguintes variações térmicas na estação de montanha da Torre, na Serra da Estrela, durante um dia de inverno: às 6:00 h o termómetro marcava $5$ graus abaixo de zero; às 13:00 h a temperatura tinha subido $7$ ºC em relação à manhã; finalmente, às 22:00 h o termómetro desceu $4$ ºC em relação ao meio-dia.

1. a) Modela a situação atribuindo um número inteiro à temperatura registada em cada um dos três momentos indicados ($6:00$ h, $13:00$ h e $22:00$ h).
2. b) Classifica cada um dos três números inteiros obtidos indicando a que conjunto pertencem: aos números naturais $\mathbb{N}$, apenas ao conjunto $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, ou a ambos os conjuntos? Justifica a tua classificação recordando a relação $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
3. c) Um repórter de televisão afirma: «Às 13:00 h a temperatura foi um número inteiro, mas não natural». Justifica se a afirmação do repórter é correta ou falsa.

O Lucas tem o ponto $A(-4, 6)$ situado num sistema de coordenadas cartesianas e quer encontrar o seu simétrico em relação ao eixo dos $x$. No seu caderno escreve a seguinte explicação:

«Como o eixo dos $x$ é a reta horizontal, para fazer uma simetria em relação a ele tenho de mudar o sinal da primeira coordenada, que é a horizontal. Portanto, o ponto simétrico é $A'(4, 6)$».

1. a) Explica fundamentadamente que erro conceptual o Lucas comete apoiando-te na distância do ponto ao eixo de simetria horizontal.
2. b) Escreve as coordenadas corretas do simétrico de $A$ em relação ao eixo dos $x$ e também as do seu simétrico em relação ao eixo dos $y$.
3. c) Se um ponto $B(0, -5)$ se encontra sobre o eixo dos $y$, qual é o seu simétrico em relação a esse mesmo eixo? Justifica a tua resposta utilizando o conceito de número oposto.

Numa grelha cartesiana, três dos vértices de um retângulo são os pontos $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ e $C(2, -1)$.

1. a) Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para completar o retângulo.
2. b) Calcule o perímetro do retângulo sabendo que cada unidade da grelha equivale a $1$ metro.
3. c) Qual é o ponto simétrico do vértice $A$ em relação ao eixo das abcissas (eixo horizontal)? Indique as suas coordenadas como um número inteiro.

Numa aula de 2.º de ESO coloca-se a questão de como descobrir as coordenadas do ponto resultante após aplicar duas simetrias consecutivas a um ponto genérico $P(x, y)$ com coordenadas inteiras não nulas: primeiro em relação ao eixo dos $x$ e depois, ao ponto obtido, em relação ao eixo dos $y$. Dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método do Sergio: Escolhe um ponto concreto, por exemplo $P(-3, 5)$. Aplica a simetria em relação ao eixo dos $x$ obtendo $P_1(-3, -5)$, e depois a simetria em relação ao eixo dos $y$ sobre $P_1$, obtendo $P_2(3, -5)$. Como observa que ambas as coordenadas mudaram de sinal em relação a $P$, conclui que essa regra serve para qualquer ponto do plano.

• Método da Lucía: Aplica as regras algébricas com letras: em relação ao eixo dos $x$, o ponto $(x, y)$ transforma-se em $(x, op(y)) = (x, -y)$; depois, em relação ao eixo dos $y$, um ponto $(a, b)$ transforma-se em $(op(a), b) = (-a, b)$, de modo que ao aplicá-lo a $(x, -y)$ se obtém $(-x, -y)$.

1. a) Avalia ambos os métodos: qual dos dois demonstra com rigor matemático que a propriedade é verdadeira para todos os números inteiros do plano e por que razão o outro método apenas fornece uma conjetura particular?
2. b) Aplica a conclusão geral para encontrar diretamente as coordenadas finais de $Q(15, -42)$ após essas duas reflexões sucessivas, sem calcular o ponto intermédio.
3. c) Se a seguir se aplicasse uma terceira simetria, outra vez em relação ao eixo dos $x$, que coordenadas teria o ponto final em função das iniciais $(x, y)$? A que simetria simples equivalem essas três reflexões juntas?