Divisibilidade

Numa plataforma de streaming, as séries são agrupadas em temporadas. Se uma série tem um total de $42$ episódios, indica quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando brevemente a tua resposta:

1. a) O número $6$ é divisor de $42$.
2. b) $42$ é múltiplo de $5$.
3. c) $42$ é divisível por $14$.

Calcule mentalmente e escreva no seu caderno:

1. a) Os cinco primeiros múltiplos de $12$.
2. b) Todos os divisores do número $24$.
3. c) Os múltiplos de $7$ compreendidos entre $30$ e $60$.

Encontra um número natural que cumpra simultaneamente as seguintes condições:

1. Está compreendido entre $200$ e $250$.

2. É múltiplo de $13$.

3. Ao dividi-lo por $2$ e por $3$ dá uma divisão exata.

Observe os seguintes números poligonais que representam os números pentagonales. Os primeiros termos são $1, 5, 12, 22...$

1. a) Desenhe no seu caderno a disposição de pontos para o quinto número pentagonal.
2. b) Seguindo a sucessão, qual é o valor numérico do quinto e do sexto número pentagonal?
3. c) Verifique se o décimo número pentagonal ($145$) é divisível por $3$, por $5$ e por $11$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um videojogo exige que insiras um código de quatro algarismos para desbloquear um nível: $3,45\_$. Ajuda o jogador a encontrar o último dígito para que o número cumpra as seguintes condições:

1. a) Que o número seja divisível por $2$ e por $5$ ao mesmo tempo.
2. b) Que o número seja divisível por $3$, mas não por $2$.
3. c) Que seja um múltiplo de $9$.

O Marcos tem de verificar num teste se o número $3\,522$ é divisível por $6$. No seu desenvolvimento escreve o seguinte: «Como o último algarismo é $2$, o número é divisível por $2$. No entanto, como esse último algarismo ($2$) não é divisível por $3$, o número $3\,522$ não pode ser divisível por $6$».

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos comete ao verificar a divisibilidade por $3$ e explica por que razão o seu raciocínio está incorreto.
2. b) Aplica de forma correta os critérios de divisibilidade do $2$ e do $3$ para determinar se $3\,522$ é ou não divisível por $6$.

Uma tipografia municipal de Évora produziu $1\,342$ calendários e os trabalhadores devem embalá-los em caixas de $4$ unidades exatas sem que sobre nenhum.

1. a) Sem fazeres divisões por escrito nem aplicares ainda a regra completa, faz uma estimativa rápida: sabendo que $1\,300$ e $40$ são múltiplos de $4$, justifica se consideras razoável que sobre algum calendário.
2. b) Aplica o critério de divisibilidade por $4$ focando-te exclusivamente nos dois últimos algarismos para verificar a tua estimativa.
3. c) Tendo em conta o resultado, indica quantos calendários sobram após encher o número máximo de caixas completas de $4$, ou então quantos calendários faltariam para completar mais uma caixa.

Um programador está a conceber um código de acesso de quatro algarismos. O código segue o formato $35A2$, onde $A$ é um algarismo desconhecido. Para que o código seja válido, o número deve ser divisível por $3$ e por $4$ simultaneamente.

Determine todos os possíveis valores que o algarismo $A$ pode assumir e escreva os números completos resultantes.

Numa convenção de videojogos, quer-se organizar os participantes em equipas. Temos um código de segurança para o acesso que é um número de quatro algarismos da forma $4A2B$.

Para que o código seja válido, deve cumprir duas condições:

1. a) Deve ser divisível por $3$.
2. b) Deve ser divisível por $11$.

Encontra todos os valores possíveis para os algarismos $A$ e $B$.

O serviço de aluguer de bicicletas públicas de uma cidade portuguesa identifica cada veículo através de um código de quatro algarismos com a estrutura $4X6Y$, onde $X$ e $Y$ são dígitos desconhecidos.

Por motivos de manutenção:

• As bicicletas vão à revisão mensal na oficina se o seu código for divisível por $8$ (os três últimos algarismos formam um múltiplo de $8$).

• Além disso, entram no turno especial de desinfeção semanal se o seu código for divisível por $11$.

1. a) Aplica o critério de divisibilidade por $11$ para encontrar que valor deve ter a soma dos algarismos $X + Y$.
2. b) Tendo em conta que para ser divisível por $8$ o algarismo $Y$ deve ser par, analisa os possíveis pares de dígitos $(X, Y)$ e encontra o único código $4X6Y$ que permite à bicicleta passar tanto na revisão mensal como na desinfeção semanal.

Um famoso influencer quer proteger o acesso à sua conta de edição de vídeo com um código PIN de quatro algarismos da forma $5X4Y$. Para não se esquecer dele, memorizou as seguintes condições baseadas na divisibilidade:

• O número é divisível por $4$.

• O número também é divisível por $9$.

• O algarismo das unidades ($Y$) é maior do que o algarismo dos milhares.

Determine todos os possíveis códigos PIN que cumprem essas condições.

Observe os números que aparecem no painel seguinte e classifique-os em números primos ou números compostos.

Faz a decomposição em fatores primos dos seguintes números naturais. Lembra-te de escrever o resultado final como um produto de potências:

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calcule o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos seguintes pares de números:

1. a) $10$ e $15$
2. b) $20$ e $30$
3. c) $8$ e $12$

Sabendo que o produto de dois números é $2160$ e que o seu máximo divisor comum (M.D.C.) é $12$:

1. a) Calcule o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) desses números utilizando a relação entre M.D.C. e M.M.C.
2. b) Se um dos números é $60$, qual é o outro número?
3. c) Faça a decomposição em fatores primos de ambos os números para verificar se os resultados das alíneas anteriores estão corretos.

Duas luzes de um teclado "gamer" piscam de forma diferente. A luz azul acende a cada $6$ segundos e a luz laranja a cada $9$ segundos. Se ambas acenderam ao mesmo tempo agora mesmo, quantos segundos passarão até que voltem a coincidir acesas pela primeira vez?

Três canais de streaming começam a transmitir conteúdo especial hoje às 10:00.

• O canal A transmite um sorteio a cada $18$ horas.

• O canal B transmite uma entrevista a cada $24$ horas.

• O canal C transmite um torneio a cada $30$ horas.

Quantos dias devem passar, no mínimo, para que os três eventos voltem a coincidir à mesma hora? A que horas e em que dia da semana isso ocorrerá se hoje for segunda-feira?

No palco principal de um festival de música, há três sistemas de iluminação robótica. O primeiro sistema emite um flash branco a cada $18$ segundos, o segundo um flash azul a cada $24$ segundos e o terceiro um flash laranja a cada $30$ segundos.

Às $21:00$ horas, os três sistemas coincidem pela primeira vez. Quantas vezes os três flashes voltarão a coincidir exatamente antes de o espetáculo terminar às $22:25$ horas?

Marta tem $24$ autocolantes de estrelas e $16$ autocolantes de planetas. Ela quer fazer envelopes de presente iguais (com o mesmo número de estrelas e o mesmo número de planetas em cada um) sem que sobre nenhum autocolante.

Qual é o número máximo de envelopes que ela pode preparar? Quantos autocolantes de cada tipo haverá em cada envelope?

Uma empresa de design de interiores tem dois rolos de fitas LED coloridas: um de luz azul que mede $120$ metros e outro de luz quente que mede $156$ metros. Querem cortar ambos os rolos em pedaços do mesmo comprimento, o maior possível, sem que sobre nada de material.

1. a) Quanto deve medir cada pedaço?
2. b) Quantos pedaços de cada cor obterão, no total?

Uma empresa de logística deve organizar três tipos de pacotes de ajuda em contentores de transporte. Eles têm $144$ caixas de cobertores, $120$ caixas de alimentos não perecíveis e $84$ caixas de kits de higiene.

Querem carregar o número máximo de contentores iguais, de forma que cada contentor tenha a mesma quantidade de caixas de cada tipo e não sobre nenhuma caixa no armazém.

1. Quantos contentores poderão ser enviados?

2. Que quantidade de caixas de cada tipo haverá em cada contentor?

Calcule o número total de divisores que o número $360$ possui sem necessidade de escrever todos. Para isso:

1. a) Faça a sua decomposição em fatores primos usando potências.
2. b) Aplique a propriedade do produto dos expoentes acrescidos de uma unidade.
3. c) Indique se o número $360$ é um quadrado perfeito, justificando a sua resposta a partir dos expoentes da sua decomposição.

Um número natural $N$ tem a seguinte decomposição em fatores primos: $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

Sabemos que o número total de divisores de $N$ é exatamente $24$.

1. Calcule o valor do expoente $a$.

2. Determine o valor numérico de $N$.

3. Escreva todos os divisores de $N$ que sejam múltiplos de $15$, mas não de $2$.

Sabe-se que um número $X$ é múltiplo de $12$ e de $15$ simultaneamente. Além disso, $X$ tem exatamente $12$ divisores naturais.

1. Utilizando a decomposição em fatores primos, deduz qual é o valor de $X$. (Pista: raciocina sobre os expoentes da decomposição).

2. Justifica se o número $X+1$ é um número primo ou composto.

Um número natural $N$ cumpre simultaneamente as seguintes três propriedades sobre os seus divisores e fatores:

1. Na sua decomposição em fatores primos apenas aparecem o $2$ e o $3$ (ambos com expoente maior que zero).

2. O número total de divisores de $N$ é exatamente $9$.

3. $N$ é um quadrado perfeito.

1. a) Utiliza a fórmula do número de divisores e a propriedade dos expoentes dos quadrados perfeitos para deduzir de forma justificada quais devem ser os expoentes do $2$ e do $3$ na fatorização de $N$.
2. b) Reconstrói o número $N$, calcula o seu valor e escreve a lista completa dos seus $9$ divisores para verificar que cumpre todas as condições.

Para descobrir qual é o menor número inteiro positivo $k$ pelo qual se deve multiplicar $N = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3$ para que o resultado seja um quadrado perfeito, duas alunas propõem caminhos distintos:

• Método da Laura: Multiplica todos os fatores com a calculadora para obter o valor numérico completo de $N$ e depois vai experimentando multiplicar por $2, 3, 4\dots$ até verificar com a tecla da raiz quadrada se o resultado é exato.

• Método da Irene: Examina diretamente a paridade dos expoentes na decomposição em fatores primos de $N$ para completar aqueles que não sejam pares.

1. a) Compara ambos os métodos e justifica qual deles é o mais adequado e generalizável, explicando a propriedade da fatorização que define os quadrados perfeitos.
2. b) Aplica o método mais eficiente para calcular o valor exato de $k$ e escreve a decomposição em fatores primos do novo número $N \cdot k$.
3. c) Justifica, a partir da fórmula do número total de divisores, por que razão o número $N \cdot k$ terá necessariamente uma quantidade ímpar de divisores.