Equações do primeiro grau

Classifique as seguintes igualdades matemáticas em identidades ou equações, explicando brevemente o motivo em cada caso:

1. a) $3x + 5 = 20$

1. b) $2(x + 1) = 2x + 2$

1. c) $x + x = 2x$

1. d) $x - 7 = 10$

Verifique se os valores propostos para a incógnita são soluções das seguintes equações:

1. a) $2x - 3 = 7$ $x = 5$ é a solução?

1. b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ $x = 20$ é a solução?

1. c) $3(x - 2) = 12$ $x = 4$ é a solução?

Observe a seguinte balança que se encontra em equilíbrio. Se os pesos circulares representam a incógnita $x$ e os pesos quadrados representam $1$ kg cada um, escreva a equação que representa a imagem e determine o valor de $x$ aplicando a lógica do equilíbrio (retirar a mesma quantidade de ambos os pratos).

Observe a seguinte balança em equilíbrio. Se todas as caixas azuis são iguais e pesam $x$ quilogramas, e os pesos laranja indicam o seu peso em kg, elabore e resolva a equação para determinar o valor de $x$.

Traduza estas frases da linguagem corrente para a linguagem algébrica utilizando a letra $x$ para representar o número desconhecido:

1. a) O dobro de um número mais oito é igual a vinte.

1. b) A metade de um número menos cinco é igual a três.

1. c) Um número aumentado de sete unidades é igual ao seu triplo.

1. d) A soma de um número com o seu sucessor é quinze.

Marta foi à papelaria e comprou 3 cadernos iguais. Se pagou com uma nota de $10$ € e recebeu $1$ € de troco, elabore uma equação onde $x$ seja o preço de um caderno e resolva-a para saber quanto custou cada um.

Resolve mentalmente estas equações de um único passo, aplicando a regra da soma (o que está a somar passa a subtrair e vice-versa):

1. a) $x + 12 = 30$

1. b) $x - 8 = 15$

1. c) $7 + x = 2$

1. d) $x - 10 = -4$

Determine o valor de $x$ nas seguintes equações aplicando a regra do produto (o que está a multiplicar passa a dividir e vice-versa):

1. a) $5x = 45$

1. b) $\frac{x}{3} = 7$

1. c) $-2x = 14$

1. d) $\frac{2x}{5} = 4$

Resolva as seguintes equações simples de dois passos, agrupando primeiro os termos com $x$ num membro e os números no outro:

1. a) $3x + 4 = 19$

1. b) $5x - 2 = 13$

1. c) $10 - 2x = 4$

1. d) $25 = 4x + 1$

O Marcos tem de resolver a equação $-3x + 8 = -7$. No seu exame escreveu o seguinte, passo a passo:

• Passo 1: $-3x = -7 - 8$

• Passo 2: $-3x = -15$

• Passo 3: $x = \frac{-15}{3} = -5$

1. a) Indica em que passo cometeu o erro e explica que regra da transposição de termos (ou da balança) aplicou de forma incorreta.
2. b) Corrige o exercício resolvendo a equação de forma adequada e verifica numericamente o teu resultado na equação inicial para demonstrar que é a solução correta.

Resolva a seguinte equação do primeiro grau aplicando corretamente a propriedade distributiva e o agrupamento de termos semelhantes:

$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$

Observa a seguinte equação com parênteses: $$4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) = 8$$

A Sara e o David propõem duas estratégias diferentes para começar a resolvê-la:

• Método da Sara: Aplica primeiro a propriedade distributiva para retirar os parênteses multiplicando o 4 por cada termo interior, e depois reduz ao mesmo denominador.

• Método do David: Como o 4 está a multiplicar todo o membro esquerdo, passa diretamente o 4 a dividir para o membro direito: $\frac{x}{3} - 1 = \frac{8}{4}$.

1. a) Resolve a equação seguindo passo a passo o método da Sara.
2. b) Resolve a equação seguindo passo a passo o método do David.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual é mais direto e reduz o risco de cometer erros com frações? Teria sido válido o método do David se a equação tivesse sido $4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) + 2 = 8$? Justifica a tua resposta.

Encontre o valor da incógnita $x$ na seguinte equação com denominadores, simplificando previamente através do cálculo do mínimo múltiplo comum:

$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$

Resolva a seguinte equação do primeiro grau, prestando especial atenção aos sinais negativos à frente das frações e ao uso do mínimo múltiplo comum para simplificar os denominadores:

Delineia duas equações do primeiro grau distintas que cumpram as seguintes condições:

1. a) Uma equação com a incógnita $x$ em ambos os membros cuja solução seja exatamente $x = -4$. Explica brevemente como a construíste garantindo o equilíbrio da igualdade.
2. b) Uma equação da forma $a \cdot x + b = c \cdot x + d$ (com $a, b, c, d$ números inteiros não nulos) que não tenha solução, ou seja, que ao simplificá-la resulte numa expressão do tipo $0x = k$ com $k \neq 0$. Justifica por que razão ninguém conseguiria encontrar um número que a cumpra.

Considera a seguinte equação do primeiro grau onde intervém um parâmetro desconhecido $k$:

1. a) Aplica a propriedade distributiva, agrupa os termos semelhantes e escreve a equação na forma reduzida $(A - k) \cdot x = B$, indicando os valores numéricos de $A$ e de $B$.
2. b) Determina que valor deve tomar $k$ para que a equação não tenha solução (caso $0x = b$ com $b \neq 0$). Justifica por que razão, para esse valor concreto, é impossível encontrar qualquer $x$.
3. c) Existe algum valor possível de $k$ que faça com que a equação tenha infinitas soluções (identidade, caso $0x = 0$)? Justifica a tua conclusão analisando os dois membros resultantes da equação reduzida.

O perímetro de um campo de padel retangular é de $56$ metros. Sabemos que o comprimento do campo é $2$ metros a mais do que o dobro da sua largura. Calcule as dimensões do campo equacionando o problema com uma equação do primeiro grau.

O Tomás comprou numa loja digital três jogos de estratégia e dois passes de batalha. Cada passe de batalha custa metade do preço de um jogo. Se no total pagou $70$ €, qual é o preço de um jogo e qual é o preço de um passe de batalha?

A idade de uma mãe é o triplo da idade do seu filho. Há $8$ anos, a soma das idades de ambos era de $48$ anos. Qual é a idade atual de cada um?

Determine três números inteiros consecutivos tais que a soma do primeiro com o segundo supere o terceiro número em $15$ unidades.

O nível de bateria de um telemóvel diminui de forma constante. Durante a manhã, foi consumida uma quarta parte da carga total. À tarde, gastou-se um terço do que restava depois da manhã. Se ainda sobra $50\,\%$ de bateria ($40$ unidades de carga), qual é a capacidade total de carga do telemóvel?

Num serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa, a tarifa para utilizadores sem passe é composta por um valor fixo de $1,20$ € pelo desbloqueio mais $0,15$ € por cada minuto de viagem. Ao terminar o seu percurso de regresso a casa, a aplicação para telemóvel cobra ao Carlos um total de $4,95$ €.

1. a) Escreve uma equação do primeiro grau em que a incógnita $m$ represente a duração da viagem em minutos.
2. b) Resolve a equação explicando que operação realizas a ambos os lados da igualdade em cada passo para isolar a incógnita.
3. c) As condições do serviço avisam que as viagens que ultrapassem a meia hora ($30$ minutos) têm uma penalização por uso excessivo. A partir da tua solução, determina se o Carlos deve pagar penalização ou não, indicando quantos minutos lhe sobraram ou faltaram para atingir esse limite.

Marcos e Beatriz vivem em vilas diferentes situadas a uma distância de $24 \text{ km}$. Às 10:00 da manhã, Beatriz sai em direção à vila de Marcos na sua bicicleta a uma velocidade constante de $18 \text{ km/h}$. Meia hora mais tarde, Marcos sai ao encontro de Beatriz no seu trotinete elétrico, a viajar a $25 \text{ km/h}$. A que distância da vila de Beatriz se vão cruzar e a que horas ocorrerá o encontro?

Num laboratório de química, pretende-se diluir a concentração de uma solução de limpeza. Temos $12 \text{ litros}$ de um líquido que contém $20\%$ de álcool puro. Que quantidade de água destilada (sem álcool) devemos adicionar para que a mistura final tenha uma concentração de álcool de apenas $15\%$?

Uma empresa de design gráfico cria cartazes retangulares. No seu último modelo, a base mede $10 \text{ cm}$ a mais do que a altura. Para cumprir uma nova norma, decidem aumentar a base em $5 \text{ cm}$ e diminuir a altura em $2 \text{ cm}$. Se, após estas alterações, o perímetro do novo cartaz for de $110 \text{ cm}$, quais eram as dimensões originais do cartaz?

A idade atual de um pai é o triplo da do seu filho. Há cinco anos, a soma das suas idades era igual à idade que o pai terá daqui a dez anos. Qual é a idade atual do pai e do filho?

Um reservatório de água tem duas torneiras de enchimento e um ralo. A primeira torneira pode encher o reservatório em $6 \text{ horas}$, e a segunda torneira em $4 \text{ horas}$. Se o reservatório estiver cheio, o ralo pode esvaziá-lo por completo em $8 \text{ horas}$. Se abrirmos as duas torneiras de enchimento e o ralo ao mesmo tempo com o reservatório vazio, quanto tempo levará a encher completamente?

Um grupo de amigos quer comprar um presente de aniversário de preço fixo. Se cada um der $12 \text{ €}$, sobram $4 \text{ €}$ para o embrulho. Mas se cada um der $10 \text{ €}$, faltam $12 \text{ €}$ para poder comprá-lo. Quantos amigos formam o grupo e quanto custa o presente?

Encontra um número de três algarismos com as seguintes características: o algarismo das dezenas é o dobro do das unidades, e o das centenas é o triplo do das unidades. Se somarmos os três algarismos, o resultado é o mesmo que se ao algarismo das centenas subtrairmos o das unidades e somarmos 8. Depois de formulares a equação, indica qual é o número. (Pista: chama $x$ ao algarismo das unidades).

Numa estação meteorológica de montanha do IPMA registam-se $-2$ ºC às 8:00 da manhã. Por efeito da insolação, a temperatura sobe a um ritmo constante de $1,5$ ºC por hora. Paralelamente, num observatório situado num planalto próximo, a temperatura às 8:00 era de $10$ ºC, mas a chegada de uma massa de ar frio faz com que desça à razão de $0,5$ ºC por hora.

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, estima de forma fundamentada se as temperaturas de ambas as estações se igualarão antes ou depois das 13:00 (ou seja, decorridas 5 horas desde as 8:00). Justifica a tua estimativa comparando a evolução aproximada de ambas as temperaturas.
2. b) Formula uma equação do primeiro grau onde a incógnita $t$ represente o número de horas decorridas desde as 8:00 necessárias para que ambas as estações registem exatamente a mesma temperatura. Resolve-a passo a passo.
3. c) Determina a hora exata do dia em que coincidem e a temperatura que os termómetros marcarão nesse instante. Verifica se a tua estimativa da alínea a) se confirma e se os valores obtidos são coerentes.