Função de proporcionalidade inversa

Um grupo de amigos quer alugar um campo de pádel que custa $20$ € no total. O preço que cada um deve pagar depende do número de pessoas que forem jogar. Observa a tabela seguinte, que relaciona o número de amigos ($x$) e o dinheiro que cada um paga ($y$):

Calcula o produto das duas grandezas ($x \cdot y$) para cada coluna e verifica que é sempre o mesmo. Como se chama esse valor constante nas funções de proporcionalidade inversa?

Indique qual das seguintes expressões algébricas corresponde a uma função de proporcionalidade inversa e explique o porquê:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Complete a tabela de valores a seguir, sabendo que a função de proporcionalidade inversa tem como constante $k = 12$. A expressão algébrica da função é $y = \frac{12}{x}$.

Encontre a constante de proporcionalidade inversa $k$ de uma função sabendo que o seu gráfico passa pelo ponto $P(3, 10)$. Assim que tiver $k$, escreva a equação da função.

(Dica: lembra-te de que neste tipo de funções $k = x \cdot y$).

Verifique se o ponto $A(2, 9)$ pertence à função de proporcionalidade inversa $y = \frac{18}{x}$. Explique que operação foi feita para saber isso.

Indica qual das seguintes situações pode ser modelada por uma função de proporcionalidade inversa e escreve a respetiva equação nesse caso:

1. O número de bilhetes para um espetáculo que podemos comprar com $100$ $€$ consoante o preço de cada bilhete.

2. A distância percorrida por um carro que circula a $90$ km/h constantes consoante o tempo decorrido.

3. O número de operários necessários para construir um muro consoante os dias que demoram a terminá-lo (trabalhando ao mesmo ritmo).

4. O preço de um saco de laranjas que custa $1,50$ $€$ por quilo.

Dada a tabela de valores seguinte de uma função de proporcionalidade inversa, descubra os valores ocultos marcados com letras e responda às questões:

1. a) Calcule os valores de $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Indique se a função é crescente ou decrescente no primeiro quadrante.
3. c) Para que valor de $x$ se obtém uma imagem igual a $y = 0,01$?

Uma empresa de entregas tem de distribuir $60$ pacotes. Se contratar mais estafetas, cada um terá de levar menos pacotes. A relação é dada pela função $y = \frac{60}{x}$, onde $x$ é o número de estafetas e $y$ é o número de pacotes por estafeta.

Se a empresa decidir contratar $6$ estafetas, quantos pacotes levará cada um?

Observe o gráfico seguinte. Sem efetuar cálculos, identifique se representa uma função linear (proporcionalidade direta) ou uma função de proporcionalidade inversa (hipérbole). Justifique a sua resposta com base na forma da linha.

Queremos construir retângulos que tenham todos a mesma área: $24$ $cm^2$. A relação entre a base ($x$) e a altura ($y$) destes retângulos segue uma função de proporcionalidade inversa. Na figura podes ver o gráfico desta relação e, como exemplo, um retângulo de base $6$ $cm$ e altura $4$ $cm$.

1. a) Escreve a equação que relaciona a altura em função da base.
2. b) Se a base medir $8$ $cm$, qual será a sua altura?

Queremos desenhar uma horta retangular no pátio da escola que tenha sempre uma área fixa de $24\ \text{m}^2$.

1. a) Escreve a função que expressa o comprimento da altura ($y$) em função do comprimento da base ($x$).

1. b) Indica se a função é crescente ou decrescente e justifica a tua resposta com base no contexto do problema.

1. c) Representa graficamente a função para valores da base entre $1$ e $12$ metros. Podes ajudar-te com uma tabela de valores.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Dado o seguinte gráfico, que representa uma função de proporcionalidade inversa $y = \dfrac{k}{x}$:

1. a) A partir do ponto destacado $P(2, 12)$, calcula a constante $k$ da função.

1. b) Escreve a expressão algébrica da função.

1. c) Qual seria o valor de $y$ quando $x = 6$? E o valor de $x$ quando $y = 3$?

Dada a função de proporcionalidade inversa $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Indique qual é o seu domínio (tendo em conta que é uma função matemática pura, não aplicada a um contexto real).
2. b) Calcule as imagens para $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ e $x = 9$.
3. c) Determine os pontos do gráfico onde a ordenada é igual à abscissa ($y = x$).

Observa o gráfico seguinte, que representa uma função de proporcionalidade inversa do tipo $y = \frac{k}{x}$. A partir da informação visual:

1. a) Determina o valor da constante $k$, sabendo que a curva passa exatamente pelo ponto destacado a laranja.
2. b) Calcula o valor da ordenada $y$ quando a abcissa é $x = -2,5$.
3. c) O ponto $P(12, -0,5)$ pertence à função? Justifica a tua resposta.

Um grupo de amigos quer alugar um campo de pádel durante o fim de semana. O preço total da reserva é fixo, portanto o custo por pessoa depende de quantos se inscreverem finalmente. Observe a tabela seguinte:

1. a) Verifique, justificando, se se trata de uma função de proporcionalidade inversa.
2. b) Determine a constante de proporcionalidade inversa $k$ e explique o que ela representa neste contexto.
3. c) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona as duas grandezas.

Uma trotinete elétrica deve percorrer uma distância fixa de $12$ km para ir da escola até ao pavilhão desportivo municipal. O tempo que demora ($y$, em horas) depende da velocidade constante a que circula ($x$, em km/h).

1. a) Complete a tabela de valores que relaciona a velocidade e o tempo:

1. b) Escreva a equação da função.
2. c) Se a Câmara Municipal limitar a velocidade das trotinetes a um máximo de $25$ km/h, qual é o tempo mínimo (em minutos) que se demorará a realizar o percurso?

Um camião-cisterna de $15\,000$ litros de capacidade é esvaziado por meio de várias bombas de extração idênticas. Se forem utilizadas $2$ bombas, o camião-cisterna esvazia-se em $6$ horas.

1. a) Quanto tempo demoraria se fossem utilizadas $4$ bombas?
2. b) E se quiséssemos esvaziá-lo em apenas $2$ horas, de quantas bombas precisaríamos?
3. c) Identifique as variáveis independente e dependente e escreva a expressão da função que as relaciona.

Um grupo de estudantes do 2.º ano da ESO ganhou um prémio partilhado de $600$ $€$ num concurso de robótica. O prémio é repartido em partes iguais entre todos os membros da equipa.

1. a) Constrói uma tabela que relacione o número de estudantes que formam a equipa ($x$) e a quantidade de dinheiro que cada um recebe ($y$).

1. b) Representa a função graficamente. É uma função contínua ou descontínua? Justifica a tua resposta.

1. c) Se cada estudante quiser receber pelo menos $75$ $€$, qual é o número máximo de alunos que podem formar a equipa?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um servidor de jogos tem uma capacidade de transferência de dados fixa para transferir uma atualização de $1,2$ GB ($1228,8$ MB). A velocidade de transferência $v$ (em MB/s) e o tempo necessário $t$ (em segundos) são grandezas inversamente proporcionais.

1. a) Escreva a função que relaciona o tempo $t$ em função da velocidade $v$.
2. b) Se um utilizador tem uma ligação limitada a $4$ MB/s, quantos minutos demorará a transferir a atualização?
3. c) Se quisermos que a transferência não demore mais de $2$ minutos, qual deve ser a velocidade mínima da nossa ligação?

Numa reserva de animais, foi comprada uma partida de ração que dura exatamente $24$ dias para alimentar os $80$ lobos do recinto. Devido a um resgate, o número de lobos vai mudar.

1. a) Determine a constante de proporcionalidade inversa $k$ e explique o que ela representa neste contexto.
2. b) Exprima a função que relaciona o número de dias $d$ que durará a ração em função do número de lobos $n$.
3. c) Se após o resgate a ração durar apenas $15$ dias, quantos lobos novos chegaram à reserva?

Um grupo de amigos quer alugar uma casa de campo para o fim de semana prolongado de dezembro, que custa $720$ € no total. O preço por pessoa depende do número de amigos que, no final, forem à viagem.

1. a) Escreva a equação da função.
2. b) Se inicialmente eram $6$ amigos, mas no final se inscrevem mais $3$ pessoas, quanto dinheiro poupa cada um dos $6$ amigos iniciais?
3. c) Se o orçamento máximo de cada amigo é de $50$ €, qual é o número mínimo de pessoas necessárias para que possam alugar a casa?

Considera um retângulo cuja área é constante e igual a $48$ cm². A base do retângulo é $x$ e a altura é $y$.

1. a) Expressa a altura em função da base. Que tipo de função é?

1. b) Se aumentarmos a base em $4$ cm, a nova altura é de $4$ cm. Qual era o comprimento da base original?

1. c) Representa graficamente a situação para valores da base entre $2$ e $16$ cm.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Duas grandezas $A$ e $B$ são inversamente proporcionais. Sabe-se que, quando $A$ aumenta $5$ unidades, o valor de $B$ se reduz à metade do valor original (que era $B = 20$).

1. a) Calcule o valor inicial da grandeza $A$.
2. b) Determine a constante de proporcionalidade inversa $k$.
3. c) Escreva a expressão analítica da função que relaciona ambas as grandezas.

Uma engrenagem é formada por duas rodas dentadas, $R_1$ e $R_2$. O número de dentes e a velocidade de rotação (em rpm) são grandezas inversamente proporcionais. A roda $R_1$ tem $40$ dentes e gira a $120$ rpm.

1. a) Se a roda $R_2$ gira a $300$ rpm, quantos dentes tem?
2. b) Se quisermos que a segunda roda gire o mais devagar possível, mas deve ter no máximo $80$ dentes, qual será a sua velocidade de rotação mínima?
3. c) Determina a função que dá a velocidade de rotação $y$ em função do número de dentes $x$.