Simetrias

Copie numa folha de papel quadriculado a seguinte figura poligonal incompleta. Complete o desenho sabendo que a reta $r$ é o seu eixo de simetria axial.

Um designer gráfico precisa de colocar vários elementos simétricos num ecrã e tem fixado o ponto $P(2, 6)$.

1. a) Se o ponto simétrico de $P$ deve ser $Q(8, 6)$ através de uma reflexão axial, deduz fundamentadamente a equação da reta que deve atuar como eixo de simetria. Lembra-te de que o eixo deve ser a mediatriz do segmento $PQ$.
2. b) Se agora se pretende que o simétrico de $P(2, 6)$ seja o ponto $P'(2, -2)$ através de outra reflexão axial diferente, determina a equação deste novo eixo justificando o teu procedimento a partir do ponto médio do segmento $PP'$.

No plano cartesiano, um ponto $P$ tem coordenadas $(4, -3)$. Se aplicarmos uma simetria axial em relação ao eixo das abcissas (eixo $X$), quais serão as coordenadas do ponto simétrico $P'$? Representa-o graficamente num sistema de eixos.

Na figura tens os eixos graduados e o ponto $P$; marca tu o ponto $P'$.

Sabe-se que uma figura é simétrica em relação ao eixo das ordenadas (eixo $Y$). Se a figura passa pelo ponto $Q(-5, 2)$ que vês no desenho, por que outro ponto $Q'$ deve passar obrigatoriamente devido a essa simetria? Explica a regra que relaciona as coordenadas de dois pontos simétricos em relação ao eixo $Y$.

A simetria central equivale a realizar uma rotação de $180^\circ$ relativamente a um ponto chamado centro de simetria. Se tivermos um quadrado cujo centro coincide com a origem das coordenadas $O(0, 0)$ e um dos seus vértices é $A(2, 2)$, calcula as coordenadas do vértice oposto $A'$ mediante a simetria central de centro $O$.

Na figura estão assinalados o centro $O$ e o vértice $A$.

O Lucas está a resolver uma tarefa sobre simetrias no plano cartesiano com o ponto $A(-3, 5)$. No seu caderno escreveu o seguinte:

«Como o eixo $X$ é horizontal, ao refletir em relação a ele só muda a coordenada horizontal, por isso o simétrico é $A'(3, 5)$. Por outro lado, para determinar o simétrico em relação à origem do referencial $(0, 0)$, como a origem não tem valor, o ponto não muda e fica em $A''(-3, 5)$».

1. a) Localiza os dois erros conceptuais cometidos pelo Lucas e explica fundamentadamente por que são incorretos com base na definição geométrica de simetria (a reta como mediatriz ou a distância ao centro de simetria).
2. b) Corrige o exercício escrevendo as coordenadas corretas de $A'$ e $A''$, indicando em que quadrante fica situado cada um deles.

Um designer de videojogos está a criar o logótipo para uma nova fação. Ele desenhou a metade direita do emblema num sistema de coordenadas e precisa de a completar aplicando uma simetria axial em relação ao eixo das ordenadas (eixo $Y$). Os vértices da parte direita são $A(0, 5)$, $B(3, 4)$, $C(5, 1)$ e $D(0, 1)$.

Indique as coordenadas dos pontos simétricos $A'$, $B'$, $C'$ e $D'$ para completar o logótipo e desenhe a figura resultante no seu caderno.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

No centro de uma praça será instalada uma hélice decorativa com duas pás. Uma das pás é definida por um triângulo de vértices $P(1, 1)$, $Q(4, 2)$ e $R(2, 5)$. Para que o design seja harmonioso, a outra pá é obtida por uma simetria central.

Determine as coordenadas do triângulo simétrico de $PQR$ em relação à origem do referencial $O(0, 0)$. Que relação observas entre as coordenadas dos pontos originais e as dos seus simétricos?

Considera-se o ponto $A(-5, 1)$ e a reta vertical $r$ de equação $x = -1$. Queremos determinar o ponto simétrico $A'$ em relação a essa reta.

1. a) Estima: Sem aplicar fórmulas ainda, raciocina em que quadrante deve ficar situado o ponto $A'$ e se a sua abcissa será positiva ou negativa, tendo em conta a posição de $A$ em relação à reta $x = -1$. Dá uma estimativa aproximada das suas coordenadas.
2. b) Verifica: Utiliza a condição de que o eixo $x = -1$ é a mediatriz do segmento $AA'$ (ou seja, o eixo é perpendicular ao segmento e passa pelo seu ponto médio) para calcular com exatidão as coordenadas de $A'$.
3. c) Compara a tua estimativa inicial com o resultado exato obtido e justifica por que razão a ordenada do ponto não variou neste movimento.

Na torre de controlo marítimo do porto de Sines utiliza-se um ecrã de radar representado sobre um plano cartesiano (com distâncias medidas em milhas náuticas e o centro de controlo situado na origem $(0, 0)$). O radar deteta um navio de carga na posição $B(-6, 8)$.

1. a) O sistema calcula automaticamente a posição de uma boia de sinalização $N$, que é simétrica ao navio $B$ em relação ao eixo das ordenadas (eixo $Y$), e a de uma embarcação de pesca $P$, simétrica a $B$ em relação à origem das coordenadas. Determina fundamentadamente as coordenadas de $N$ e de $P$.
2. b) Se uma lancha de salvamento partir da boia $N$ e navegar em linha reta direta em direção ao navio $B$, a sua trajetória interseta o eixo $Y$? Se sim, a que distância do centro de controlo $(0, 0)$ ocorre esse cruzamento?
3. c) Se for adicionado o ponto $P'$, que é o simétrico da embarcação de pesca $P$ em relação ao eixo $Y$, classifica o polígono de vértices $B, N, P, P'$ e indica quantos eixos de simetria tem essa figura geométrica.

Dois espelhos planos estão colocados de forma paralela numa loja de roupa. O primeiro espelho coincide com a reta $x = 2$ e o segundo com a reta $x = 6$. Um cliente posiciona-se no ponto $P(0, 3)$.

• a) Determine as coordenadas do ponto $P'$ (simétrico de $P$ em relação ao primeiro espelho).

• b) Determine as coordenadas do ponto $P''$ (simétrico de $P'$ em relação ao segundo espelho).

• c) Qual isometria direta (translação ou rotação) permite passar de $P$ a $P''$ num único passo? Indique os seus elementos caraterísticos (vetor ou centro/amplitude do ângulo).

Considere duas retas $m$ e $n$ que se intersetam na origem das coordenadas $O(0, 0)$. A reta $m$ coincide com o eixo das abcissas e a reta $n$ é a bissetriz do primeiro quadrante ($y = x$). Seja o ponto $P(4, 2)$.

1. a) Determine o ponto $P'$ simétrico de $P$ em relação à reta $m$.
2. b) Determine o ponto $P''$ simétrico de $P'$ em relação à reta $n$.
3. c) Verifique que a transformação que transforma $P$ em $P''$ é uma rotação. Indique o seu centro e a sua amplitude.
4. d) Que relação existe entre o ângulo que as retas $m$ e $n$ formam e o ângulo da rotação obtida?

Uma equipa de arquitetura em Coimbra está a desenhar uma pérgola simétrica e ensaia transformações no plano de desenho sobre o vértice $A(1, 3)$. Aplicam-se duas simetrias axiais consecutivas:

1.º Uma simetria em relação ao eixo das abcissas ($e_1: y = 0$), obtendo-se um ponto intermédio $A'$.

2.º Uma segunda simetria axial em relação a uma reta vertical desconhecida $e_2: x = k$, que leva o ponto $A'$ até à posição final $A''(7, -3)$.

1. a) Determina as coordenadas do ponto intermédio $A'$.
2. b) Formula uma equação que relacione a abcissa de $A'$, a abcissa de $A''$ e o valor de $k$, baseando-te na definição de ponto médio, e deduz o valor exato da reta vertical $e_2: x = k$.
3. c) Verifica analiticamente se o movimento global que transforma diretamente o ponto inicial $A(1, 3)$ no ponto final $A''(7, -3)$ equivale a uma única simetria central em relação a um ponto $C(x_0, y_0)$. Se for esse o caso, determina as coordenadas de $C$ e explica que relação geométrica têm as coordenadas desse centro com os dois eixos de simetria $e_1$ e $e_2$ utilizados.

Define-se uma isometria no plano como a composição de uma reflexão em relação ao eixo das ordenadas e uma translação de vetor $\vec{v}(0, -6)$.

1. a) Aplique esta transformação ao quadrilátero de vértices $A(2, 2)$, $B(5, 2)$, $C(5, 4)$ e $D(2, 4)$.
2. b) Esta transformação é uma isometria direta ou inversa? Justifique a sua resposta analisando o sentido de rotação dos vértices.
3. c) Existe algum ponto que permaneça invariante nesta transformação? Se sim, calcule-o. Se não, explique porquê.

No design de logótipos, a simetria é uma ferramenta fundamental para transmitir equilíbrio. Observa as seguintes letras do nosso alfabeto escritas em maiúsculas: A, H, M, S, X, Z.

Indica fundamentadamente quais delas têm pelo menos um eixo de simetria axial e desenha-as no teu caderno, traçando esse eixo. Existe alguma que tenha mais de um eixo?

Desenhe um triângulo isósceles que não seja equilátero.

1. a) Quantos eixos de simetria axial tem?
2. b) Se o vértice oposto ao lado desigual estiver no ponto $(0, 5)$ e a base estiver apoiada sobre o eixo $X$, qual é a reta que funciona como eixo de simetria?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Muitas bandeiras nacionais apresentam simetrias.

1. a) Desenhe de forma esquemática a bandeira da Suíça (uma cruz branca sobre fundo vermelho). Quantos eixos de simetria axial podes encontrar?
2. b) Esta bandeira tem centro de simetria (simetria central)? Justifica a tua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe um retângulo de base $8 \text{ cm}$ e altura $4 \text{ cm}$.

1. a) Indique quantos eixos de simetria ele tem e onde se localizam.
2. b) Se colocarmos o centro do retângulo no ponto $(0, 0)$ e os seus lados forem paralelos aos eixos, indique as coordenadas dos seus quatro vértices.

Observe os seguintes sinais de trânsito comuns nas nossas estradas. Analise quantos eixos de simetria cada um deles tem e se possuem centro de simetria.

• a) Sinal de "Stop" (octógono regular).

• b) Sinal de "Cedência de passagem" (triângulo equilátero invertido).

• c) Sinal de "Sentido proibido" (círculo com faixa horizontal).

Justifique se um sinal que tem exatamente dois eixos de simetria perpendiculares deve ter obrigatoriamente um centro de simetria.

Dizemos que uma figura é invariante em relação a um movimento se, após aplicar tal movimento, a figura permanece na mesma posição do início.

Considere um quadrado com centro na origem $(0,0)$ e lados paralelos aos eixos. Indique quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta:

• a) O quadrado é invariante em relação a uma simetria central com centro em $(0,0)$.

• b) O quadrado é invariante em relação a uma simetria axial cujo eixo seja uma das suas diagonais.

• c) Qualquer reta que passe pela origem é um eixo de simetria do quadrado.

No design industrial, utiliza-se a simetria para otimizar o espaço. Uma embalagem tem a forma de um prisma hexagonal regular.

• a) Quantos planos de simetria tem este prisma se o cortarmos perpendicularmente às suas bases?

• b) Existe algum plano de simetria que seja paralelo às bases? Em caso afirmativo, descreva-o.

• c) Se o prisma for rodado em torno de um eixo que passa pelo centro das duas bases, que ângulos de rotação inferiores a $360^\circ$ deixam a figura invariante?

Analise as propriedades de invariância das seguintes figuras sob transformações geométricas no plano:

1. a) Determine todas as retas do plano que são invariantes (se transformam em si mesmas) perante uma simetria central de centro $C(2, 3)$. Quais delas são constituídas por pontos invariantes?
2. b) Numa simetria axial de eixo $e$, existem retas invariantes que não sejam o próprio eixo $e$? Em caso afirmativo, descreva-as geometricamente.
3. c) Se aplicarmos uma translação de vetor $\vec{u}(4, 0)$, indique se existe algum ponto invariante e que família de retas permanece invariante.

Estudamos as simetrias nos sólidos platónicos. Considere um cubo de aresta $a$ centrado na origem das coordenadas do espaço tridimensional, com as suas faces paralelas aos planos coordenados.

1. a) Quantos planos de simetria tem o cubo no total? Classifique-os segundo a sua posição (paralelos às faces ou diagonais).
2. b) Descreva os eixos de rotação do cubo. Quantos eixos de ordem 4 existem e por onde passam?
3. c) O cubo tem um centro de simetria? Justifique a sua resposta com base na posição dos seus vértices homólogos.

Um mosaico nazari é gerado a partir de um motivo mínimo $F$. Sabe-se que este mosaico tem centros de simetria central nos pontos $O_1(0, 0)$ e $O_2(4, 0)$. Na figura foram marcados os dois centros e um vértice $V(1, 1)$ do motivo mínimo.

1. a) Se aplicarmos primeiro a simetria central em relação a $O_1$ e depois em relação a $O_2$, que movimento resultante obtemos?
2. b) Demonstra que a composição de duas simetrias centrais de centros distintos é sempre uma translação. Qual é o vetor dessa translação em função dos centros $O_1$ e $O_2$?
3. c) Se o motivo mínimo tem um vértice em $V(1, 1)$, onde se encontrará esse vértice depois de aplicar as duas simetrias centrais sucessivas?

As trajetórias parabólicas no desporto costumam apresentar simetria. A altura $h$ de uma bola de basquetebol (em metros) em relação à distância horizontal $d$ (em metros) é dada pela função $h = -d^2 + 6d$.

• a) Desenhe o gráfico da função para valores de $d$ entre $0$ e $6$.

• b) Identifique o eixo de simetria desta parábola. Para que valor de $d$ a bola atinge a sua altura máxima?

• c) Se a bola está a uma altura de $5$ metros quando $d=1$, a que outra distância horizontal voltará a estar a $5$ metros de altura, aplicando a simetria?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

No estudo das funções reais de variável real, a simetria é uma propriedade fundamental.

1. a) Demonstra que o gráfico de uma função par (aquela em que $f(x) = f(-x)$) apresenta uma simetria axial. Indica qual é o seu eixo de simetria.

1. b) Demonstra que o gráfico de uma função ímpar (aquela em que $f(-x) = -f(x)$) apresenta uma simetria central. Indica qual é o seu centro de simetria.

1. c) Dada a função $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula a equação do seu eixo de simetria e as coordenadas do seu vértice. Que transformação (simetria ou translação) levaria esta parábola a ser simétrica em relação ao eixo $Y$?

Numa prova de lançamento do peso durante o Campeonato de Portugal de Atletismo, a trajetória do peso segue uma função quadrática dada por $h(x) = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, onde $x$ é a distância horizontal percorrida em metros e $h(x)$ é a altura em metros. O gráfico desta função é uma parábola e o seu ponto mais alto coincide com o seu eixo de simetria vertical.

Para calcular a posição desse eixo de simetria, um grupo de estudantes propõe dois métodos:

• Método 1: Utilizar a fórmula da abcissa do vértice: $x = -\frac{b}{2a}$.

• Método 2: Identificar para que duas distâncias horizontais o peso está à mesma altura de lançamento ($h = 1,8\text{ m}$), resolvendo $-0,05x^2 + 0,8x + 1,8 = 1,8$, e calcular depois o ponto médio de ambas as soluções, aproveitando a simetria da curva.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo para obter a equação do eixo de simetria e verifica que se chega exatamente ao mesmo resultado.
2. b) Compara os dois caminhos: qual dos dois métodos explica melhor o significado geométrico da simetria da parábola? Que vantagem de cálculo direto oferece o Método 1 em relação ao Método 2 se a altura dada não fosse $1,8\text{ m}$?
3. c) Sabendo que aos $2\text{ m}$ de distância horizontal o peso atinge uma altura de $3,2\text{ m}$, utiliza exclusivamente a simetria da parábola em relação ao seu eixo (sem substituir nem operar na fórmula da função) para deduzir a que outra distância horizontal o peso voltará a estar exatamente a $3,2\text{ m}$ de altura. Justifica a tua resposta.

Num jogo de bilhar artístico, a mesa é o retângulo com $0 \le x \le 14$ e $0 \le y \le 8$ (as tabelas superior e direita são as retas $y = 8$ e $x = 14$). Um jogador precisa de bater na bola branca situada em $A(2, 2)$ para que toque na tabela superior (a reta $y = 8$) e depois acerte na bola vermelha situada em $B(10, 4)$. Considera as bolas como pontos e que, ao ressaltar, o ângulo de chegada é igual ao de saída.

1. a) Determina, mediante uma construção geométrica baseada em simetrias, o ponto exato $C$ da tabela superior onde a bola deve ressaltar para que o caminho $A \to C \to B$ seja o mais curto possível.

1. b) Calcula as coordenadas do ponto $C$.

1. c) Se a bola branca deve tocar primeiro na tabela superior ($y = 8$) e depois na tabela direita ($x = 14$) antes de tocar na bola $B$, esboça o procedimento utilizando simetrias sucessivas para encontrar a trajetória ótima.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Desafio do tema. O nosso ambiente urbano é tão simétrico quanto parece? Vais investigar a presença e precisão da simetria na arquitetura da tua localidade.

1. Captura e modelação: Tira uma fotografia frontal de uma fachada, ponte ou monumento do teu meio envolvente (ou faz uma captura de imagem nítida no Google Street View). Importa-a para o GeoGebra e posiciona os eixos cartesianos colocando a origem $(0,0)$ no seu eixo central.

2. Análise de simetrias: Identifica pelo menos $4$ pontos singulares e os seus supostos homólogos. Verifica se cumprem a simetria axial relativamente à reta vertical $x = 0$, analisando se as suas coordenadas passam de $(x, y)$ a $(-x, y)$, ou se detetas simetrias centrais relativamente a algum ponto.

3. Quantificação do erro: Redimensiona a imagem usando um dado de referência real (por exemplo, uma porta padrão de $2,1$ m de altura). No GeoGebra ou numa folha de cálculo, mede a distância de cada ponto homólogo ao eixo para calcular a assimetria média em centímetros.

4. Relatório final: Exporta a imagem com as construções geométricas e redige um relatório breve justificando se a construção apresenta uma simetria matematicamente rigorosa ou se responde a uma simetria aproximada por razões funcionais.

Será valorizado:

• Precisão na modelação de eixos e pontos simétricos no GeoGebra.

• Uso correto das transformações de coordenadas no plano.

• Obtenção e cálculo rigoroso da margem de erro com dados reais.

• Argumentação matemática e clareza expositiva nas conclusões.