Números inteiros — conceito

Na vida quotidiana, usamos os números inteiros para expressar situações opostas em relação a um ponto de referência ou "ponto zero". Associa cada um dos seguintes enunciados ao número inteiro (positivo ou negativo) que melhor o represente:

• a) Um mergulhador encontra-se a $15$ metros de profundidade abaixo do nível do mar.

• b) Um alpinista subiu até ao topo de uma montanha de $2300$ metros de altura.

• c) O saldo do teu cartão de transporte público é de $4$ euros de dívida.

• d) Um avião voa a uma altitude de $9500$ metros.

• e) A temperatura numa estação de esqui é de $7$ graus abaixo de zero.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados vários pontos com letras. Indique qual é o número inteiro que corresponde a cada uma das letras representadas:

Considerando que a distância entre duas marcas pequenas consecutivas é de $1$ unidade, determine os valores de $A$, $B$, $C$ e $D$.

Uma equipa de arqueologia submarina está a explorar os destroços de um galeão antigo. Eles usam um pequeno submarino de pesquisa para documentar a descoberta. Expresse com números inteiros as seguintes situações:

1. a) O navio-mãe encontra-se na superfície do mar.
2. b) O galeão está assente no leito marinho, a uma profundidade de $45$ metros.
3. c) O submarino desce da superfície até uma fenda situada $12$ metros abaixo do galeão.
4. d) Após explorar a fenda, o submarino sobe $25$ metros para fotografar o mastro do navio.

Represente estas quatro posições numa linha vertical graduada onde a origem seja o nível do mar.

O valor absoluto de um número inteiro é a distância que o separa do zero na reta numérica, sem ter em conta o seu sentido. Calcule os seguintes valores absolutos:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Dois números inteiros são opostos se estão à mesma distância do zero, mas em lados diferentes da reta numérica. Escreva o oposto de cada um dos seguintes números e represente-os em pares numa pequena reta numérica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, dê um exemplo (contraexemplo) que demonstre isso:

1. a) O valor absoluto de um número é sempre maior que o próprio número.
2. b) Se dois números são negativos, é maior aquele que tem menor valor absoluto.
3. c) O oposto de um número inteiro é sempre um número negativo.
4. d) A distância entre um número e o seu oposto é sempre o dobro do seu valor absoluto.

Analise as seguintes afirmações e determine se são verdadeiras ou falsas, apresentando um contraexemplo para as que considerar falsas:

1. Se $|a| > |b|$, então cumpre-se sempre que $a > b$.

2. O valor absoluto da soma de dois números inteiros é sempre igual à soma dos seus valores absolutos: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Se $n$ é um número inteiro negativo, então o seu oposto $Op(n)$ é sempre maior do que $n$.

4. A distância entre dois números opostos é sempre o dobro do valor absoluto de um deles.

Numa cidade do norte de Portugal, foram registadas as seguintes temperaturas mínimas durante a primeira semana de janeiro:

• Segunda-feira: $-4$ ºC

• Terça-feira: $-7$ ºC

• Quarta-feira: $0$ ºC

• Quinta-feira: $+2$ ºC

• Sexta-feira: $-1$ ºC

• Sábado: $+3$ ºC

• Domingo: $-5$ ºC

Ordene estes dias do mais frio para o menos frio (ou seja, da menor para a maior temperatura) utilizando o símbolo $<$ entre os valores.

Compara os seguintes pares de números inteiros utilizando os sinais $>$ (maior que) ou $<$ (menor que):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Ordene do menor para o maior os seguintes valores utilizando os símbolos $<$ ou $>$. Recomendamos calcular primeiro o valor numérico de cada expressão:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Numa expedição científica, um balão-sonda meteorológico sobrevoa um vulcão a uma altitude de $+125$ metros acima do nível do mar, enquanto uma sonda robotizada está a explorar o fundo de um lago próximo a uma profundidade de $-84$ metros.

1. a) Representa ambas as posições numa reta numérica vertical, situando o nível do mar na origem.

1. b) Calcula a distância total, em valor absoluto, que separa o balão da sonda.

1. c) Se a sonda subir $30$ metros, qual será a sua nova posição? Expressa-a com um número inteiro.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados três pontos, $X$, $Y$ e $Z$.

Se cada divisão da reta representa $2$ unidades:

1. a) Escreva as coordenadas dos pontos $X$, $Y$ e $Z$.
2. b) Calcule a distância entre o ponto $X$ e o ponto $Z$.
3. c) Escreva o oposto de $X$ e represente-o na reta.

Num referencial cartesiano, desenhámos três vértices de um retângulo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(4, −1)$.

1. a) Represente os pontos no plano.
2. b) Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para completar o retângulo.
3. c) Em que quadrante se encontra cada um dos vértices?
4. d) Calcule o perímetro do retângulo contando as unidades da quadrícula.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num videojogo de estratégia, as coordenadas da tua base são $A(-3, 4)$. Deves colocar um posto avançado num ponto $B$ que cumpra as seguintes condições:

1. A sua abcissa (coordenada $x$) é o simétrico da abcissa de $A$.

2. A sua ordenada (coordenada $y$) é um número inteiro negativo cujo valor absoluto é $2$.

Usa a quadrícula para representar ambos os pontos (cada quadradinho mede uma unidade):

1. a) Determina as coordenadas do ponto $B$.

1. b) Representa $A$ e $B$ no plano cartesiano e indica em que quadrante se encontra cada um.

1. c) Qual é o deslocamento horizontal e vertical necessário para ir de $A$ a $B$?

Um elevador de um centro comercial muito grande tem pisos acima e abaixo do solo. Se considerarmos o rés do chão (rua) como o número $0$:

• a) A que piso chegamos se estivermos na cave $-3$ e subirmos $5$ pisos?

• b) A que piso chegamos se estivermos no piso $+2$ e descermos $4$ pisos?

• c) Se estivermos na cave $-2$ e quisermos subir até ao piso $+4$, quantos pisos devemos subir?

Escreva todos os números inteiros $x$ que satisfazem as seguintes condições ao mesmo tempo:

1. O seu valor absoluto é menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. São números menores que $2$ ($x < 2$).

3. São números maiores ou iguais a $-3$ ($x \geq -3$).

Represente-os sobre uma reta numérica.

Um jogo eletrónico de plataformas pontua os movimentos de uma personagem sobre uma linha horizontal.

• Por cada moeda de ouro apanhada, a personagem avança $+5$ posições.

• Por cada obstáculo atingido, a personagem recua $op(+3)$ posições.

• Se cair numa armadilha, fica na posição $-|−10|$.

Calcule a posição final da personagem se:

1. Começa na origem ($0$).

2. Apanha $4$ moedas de ouro.

3. Atinge $2$ obstáculos.

4. Cai numa armadilha.

5. Finalmente, avança mais $8$ posições.

Encontra todos os números inteiros $x$ que satisfazem simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu valor absoluto é menor que $10$, ou seja: $|x| < 10$.

2. É um número estritamente menor que o seu oposto: $x < Op(x)$.

3. Ao somar $-3$ a ele, o resultado é um número cujo valor absoluto é maior que $5$.

Enumera os números obtidos e representa-os na reta numérica.