Múltiplos e divisores

Numa loja de videojogos, querem organizar uma prateleira com $30$ jogos de tal forma que todas as filas tenham o mesmo número de jogos e não sobre nenhum. Utiliza a relação de divisibilidade para completares as seguintes frases:

1. a) Se em cada fila colocarem $5$ jogos, haverá $6$ filas. Então, $30$ é ________ de $5$.
2. b) Como a divisão $30 : 10$ é exata, dizemos que $10$ é ________ de $30$.
3. c) O número $30$ é ________ por $2, 3$ e $5$ ao mesmo tempo.

Observe a seguinte representação de "números retangulares" para o número $12$. Cada retângulo representa uma forma de multiplicar dois números para obter $12$.

Com base na ideia de que os divisores são os lados desses retângulos, escreva todos os divisores do número $18$ desenhando ou imaginando as suas possíveis formas retangulares.

Os números naturais podem ser representados por meio de retângulos segundo os seus divisores. Por exemplo, o número $12$ pode ser representado como um retângulo de $3 \times 4$ ou de $2 \times 6$.

Observa o desenho a seguir e determina de que número se trata, sabendo que é o menor número que pode formar exatamente quatro retângulos diferentes, um dos quais é um quadrado como no desenho (considerando que um quadrado é um tipo especial de retângulo e que a base $1 \times n$ também conta).

Num armazém de logística, as prateleiras estão numeradas do $1$ ao $100$. Um operador deve colocar etiquetas de segurança seguindo este padrão:

• Coloca uma etiqueta laranja em todas as prateleiras que sejam múltiplas de $4$.

• Coloca uma etiqueta branca em todas as prateleiras que sejam múltiplas de $6$.

Quantas prateleiras terão as duas etiquetas ao mesmo tempo? Indique os números das três primeiras prateleiras que terão ambas as cores.

Aplique os critérios de divisibilidade para indicar se o número $4\,350$ é divisível pelos seguintes valores (responda SIM/NÃO e justifique brevemente):

1. a) É divisível por $2$?
2. b) É divisível por $3$?
3. c) É divisível por $5$?
4. d) É divisível por $10$?

Queremos decifrar um código numérico de três algarismos com a forma $4AB$ (onde $A$ representa as dezenas e $B$ as unidades). Conhecem-se as seguintes pistas sobre a sua divisibilidade:

• O número é divisível por $5$, mas não é divisível por $10$.

• O número é múltiplo de $3$, mas não é múltiplo de $9$.

Encontra o valor exato do algarismo das unidades $B$ e determina fundamentadamente todos os possíveis valores que o algarismo $A$ pode tomar para que se cumpram ambas as condições em simultâneo.

Numa loja de tecnologia, receberam um lote de tablets. O encarregado sabe que o número total de tablets é um número de quatro algarismos da forma $4A7B$. Para organizar o inventário, precisa que o número cumpra as seguintes condições:

• Deve ser divisível por $5$ e por $2$ ao mesmo tempo.

• Deve ser múltiplo de $9$.

Determine todos os valores possíveis de $A$ e $B$ para que o encarregado possa organizar o seu inventário.

Numa agência de cibersegurança, um programador precisa de criar um código de acesso de cinco algarismos. O número, a que chamaremos $N$, deve cumprir simultaneamente as seguintes condições de divisibilidade:

• É um número capicua (lê-se da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

• O algarismo das unidades é o primeiro número primo par.

• É divisível por $3$, por $4$ e por $11$.

Qual é o valor desse código $N$ se nele aparecem exatamente três algarismos diferentes?

Classifique os seguintes números da lista em primos ou compostos. Lembre-se de que os números compostos podem ser "desmontados" como produto de outros números menores:

Explique porque escolheu o número $21$ como composto, indicando por que números pode ser dividido além de $1$ e de si próprio.

Num teste de Matemática sobre divisibilidade, o Tomás comete dois erros comuns nos seus raciocínios:

1. Afirma que «o número $91$ é primo porque não é par, não termina em $0$ nem em $5$, e a soma dos seus algarismos ($9+1=10$) não é múltiplo de $3$».

2. Afirma que «para verificar se o número $3\,514$ é divisível por $4$, basta ver se o seu último algarismo ($4$) é divisível por $4$, pelo que $3\,514$ é divisível por $4$».

Identifica o erro de raciocínio em cada uma das duas afirmações do Tomás, explica por que razão estão incorretas e escreve a correção adequada para cada caso.

Complete a seguinte "árvore de fatores" para encontrar a decomposição em fatores primos do número $60$.

Uma vez completado, escreva a decomposição final usando potências: $60 = 2^{\dots} \cdot \dots \cdot \dots$

Sem calcular o valor numérico do número $N$, cuja decomposição em fatores primos é $N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, responda de forma fundamentada às seguintes perguntas:

1. a) $N$ é múltiplo de $12$?
2. b) $15$ é um divisor de $N$?
3. c) Quantos divisores tem o número $N$ no total? (Usa a fórmula baseada nos expoentes).

Um número natural diz-se "especial" se se puder escrever como $2^a \cdot 3^b$, onde $a$ e $b$ são números naturais que podem ser $0$, e tem exatamente $10$ divisores naturais.

Determina quais são todos os possíveis números "especiais" que cumprem esta condição.

Dois alarmes de um despertador tocam em intervalos diferentes. O primeiro toca a cada $15$ minutos e o segundo a cada $20$ minutos. Se acabaram de coincidir agora mesmo às $08:00$ da manhã:

1. a) Daqui a quantos minutos voltarão a tocar juntos pela primeira vez? (Calcule o $m.c.m.$).
2. b) A que horas exatas voltarão a coincidir?

Três criadores de conteúdo de uma plataforma de streaming enviam vídeos com diferentes frequências:

• O primeiro envia um vídeo a cada $18$ horas.

• O segundo envia um vídeo a cada $24$ horas.

• O terceiro envia um vídeo a cada $2$ dias.

Se os três coincidiram a enviar um vídeo hoje, segunda-feira, às $09:00$ da manhã, em que dia e a que horas voltarão a coincidir os três pela primeira vez?

Duas linhas de autocarro urbano de Coimbra coincidem na mesma paragem às $7:30\text{ h}$ da manhã. A linha circular passa nessa paragem a cada $15\text{ minutos}$ e a linha centro passa a cada $25\text{ minutos}$.

1. a) Antes de calculares o mínimo múltiplo comum, faz uma estimativa fundamentada: voltarão a coincidir antes de passar uma hora completa desde a sua partida ou demorarão mais de uma hora? Explica em que te baseias comparando mentalmente os primeiros múltiplos de ambas as frequências.
2. b) Calcula o $\text{m.m.c.}(15, 25)$ listando os múltiplos de cada frequência e determina a que horas exatas voltarão a coincidir nessa paragem pela primeira vez.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta e calcula quantas vezes coincidirão no total nessa paragem entre as $7:30\text{ h}$ e as $11:00\text{ h}$ da manhã (ambas as horas incluídas).

Três atletas de elite treinam numa pista circular. O primeiro leva $84\text{ segundos}$ para dar uma volta completa, o segundo leva $96\text{ segundos}$ e o terceiro $120\text{ segundos}$. Se os três partirem juntos da linha de chegada às $9:00$ da manhã:

1. A que horas exatas os três voltarão a coincidir pela primeira vez na linha de chegada?

2. Quantas voltas terá dado cada um deles nesse momento?

Um armazém logístico está a organizar caixas de kits de robótica. Há entre $700$ e $900$ sensores. Se forem embalados em caixas de $12$, sobram $7$. Se forem embalados em caixas de $15$, também sobram $7$. E se forem embalados em caixas de $18$, sobram novamente $7$ sensores. Quantos sensores há exatamente no armazém?

Dois navios de carga saem do porto de Setúbal. O navio Levante sai a cada $24$ dias e o navio Poniente sai a cada $35$ dias. No dia $1$ de janeiro, coincidiram no porto.

1. Quantas vezes voltarão a coincidir no porto ao longo de um ano civil (considera $365$ dias)?

2. Se um terceiro navio, o Tramontana, saísse a cada determinado número de dias $x$, e se sabe que a primeira vez em que os três coincidem é aos $840$ dias, qual é o menor valor possível para $x$ (sendo $x > 1$)?

Marta tem $24$ autocolantes vermelhos e $36$ autocolantes azuis. Quer fazer envelopes-surpresa iguais para os seus amigos, de forma que cada envelope tenha o mesmo número de autocolantes de cada cor e não sobre nenhum.

1. a) Qual é o número máximo de envelopes que ela pode preparar? (Calcula o $m.c.d.$).
2. b) Quantos autocolantes de cada cor haverá em cada um desses envelopes?

Um clube de e-sports quer organizar um torneio solidário. Tem $120$ camisolas de cor azul, $180$ de cor vermelha e $210$ de cor branca. Querem preparar mochilas de oferta que contenham o mesmo número de camisolas de cada cor, distribuindo todas as que têm e sem misturar cores dentro de cada pacote individual, mas maximizando o número de camisolas por mochila.

1. a) Qual é o número máximo de camisolas que pode haver em cada mochila?
2. b) Quantas mochilas de cada cor serão obtidas?

Quer-se pavimentar o chão de uma garagem retangular de $12,6$ metros de comprimento por $4,2$ metros de largura com mosaicos quadrados o maior possível. O pedreiro diz que não quer cortar nenhum mosaico.

1. a) Quais devem ser as dimensões de cada mosaico? (Exprime o resultado em centímetros).
2. b) Quantos mosaicos serão necessários no total para cobrir todo o chão?

Para organizar os livros da biblioteca municipal em caixas com a mesma quantidade e sem que sobre nenhum, é necessário calcular o máximo divisor comum de $36$ e $60$. Dois alunos propõem estratégias distintas:

• Método do Tomás: Escreve a lista completa de todos os divisores de $36$, a lista de todos os divisores de $60$ e seleciona o maior número que aparece em ambas as listas.

• Método da Leonor: Decompõe ambos os números em fatores primos ($36 = 2^2 \cdot 3^2$ e $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$) e aplica a regra de escolher os fatores primos comuns elevados ao menor expoente.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo para obter o $\text{m.d.c.}(36, 60)$ e confirma que chegas ao mesmo resultado.
2. b) Compara os dois caminhos: qual resulta mais intuitivo para números pequenos? Se tivesses de determinar o m.d.c. de $1\,260$ e $2\,100$, qual dos dois métodos escolherias? Justifica a tua decisão explicando os inconvenientes do outro método ao trabalhar com números grandes.

Um carpinteiro tem três ripas de madeiras nobres que medem $180\text{ cm}$, $252\text{ cm}$ e $420\text{ cm}$. Quer cortá-las em pedaços iguais do maior comprimento possível para fabricar molduras de espelhos, de modo que não sobre nada de madeira em nenhuma ripa.

1. Quanto deve medir cada pedaço?

2. Quantas molduras poderá fabricar se, para cada moldura, precisar de exatamente $4$ pedaços?

Pretende-se ladrilhar o chão de uma sala retangular de $12,6\text{ metros}$ de comprimento e $7,2\text{ metros}$ de largura com ladrilhos quadrados do maior tamanho possível, sem ter de cortar nenhum.

1. Qual deve ser o lado de cada ladrilho, expresso em centímetros?

2. Se cada ladrilho custa $8,50\text{ €}$ e o cimento-cola necessário custa $2,25\text{ €}$ por cada metro quadrado de superfície, qual será o orçamento total dos materiais para o chão da sala?

Uma cooperativa de azeite em Santarém tem armazenados dois depósitos: um com $720\text{ litros}$ da variedade galega e outro com $480\text{ litros}$ da variedade cobrançosa. Querem embalar todo o azeite, sem misturar as duas variedades, em recipientes iguais com uma capacidade inteira de litros, de modo que não sobre nada de azeite.

1. a) Se não existisse qualquer limite de tamanho e se procurasse usar a menor quantidade possível de recipientes, que capacidade deveria ter cada um e que conceito matemático representa?
2. b) Por questões ergonómicas e de prevenção de riscos laborais, a regulamentação proíbe que os operadores manuseiem manualmente recipientes com mais de $30\text{ litros}$. Sabendo que a capacidade escolhida deve ser um divisor comum de $720$ e $480$ (e, portanto, divisor do seu m.d.c.), determina qual é a maior capacidade possível por recipiente que cumpre a regulamentação.
3. c) Com a capacidade calculada na alínea anterior, quantos recipientes se encherão de azeite galego, quantos de cobrançosa e quantos serão necessários no total?

Dois números naturais $a$ e $b$ são tais que o seu produto é $a \cdot b = 1512$. Sabe-se que o seu máximo divisor comum é $m.c.d.(a, b) = 6$.

Utilizando a propriedade que relaciona o produto de dois números com o seu $m.c.d.$ e o seu $m.c.m.$, calcule o mínimo múltiplo comum desses números.

Encontra dois números naturais, $a$ e $b$, sabendo que o seu máximo divisor comum é $m.c.d.(a, b) = 15$ e que o seu produto é $a \cdot b = 6750$. Tem em consideração que nenhum dos dois números pode ser o próprio $15$. Existe mais do que uma solução possível? Justifica a tua resposta.

Num debate de turma sobre divisibilidade, o Mateo formula a seguinte conjetura: «Se um número natural é divisível por $4$ e ao mesmo tempo é divisível por $6$, então tem de ser obrigatoriamente divisível pelo seu produto, isto é, por $24$».

1. a) Encontra dois números menores que $50$ que sejam múltiplos de $4$ e de $6$ simultaneamente, mas que não sejam divisíveis por $24$. O que demonstra a existência destes dois contraexemplos sobre a afirmação do Mateo?
2. b) Explica o erro conceptual que o Mateo comete utilizando a decomposição em fatores primos ou o conceito de mínimo múltiplo comum: por que razão ser múltiplo de $4$ e de $6$ não obriga a sê-lo de $24$?
3. c) Que condição devem cumprir dois números naturais $a$ e $b$ para que seja sempre verdade que qualquer múltiplo comum de ambos seja também múltiplo do produto $a \cdot b$? Dá um exemplo de dois números maiores que $2$ que cumpram essa condição e justifica por que razão a regra funciona com eles.