Produtos notáveis (casos notáveis)

A Leonor quer projetar um tapete quadrado para o seu quarto. O lado do tapete mede $(x + 4)$ metros.

1. a) Escreva a expressão da área do tapete como o quadrado de um binómio.
2. b) Desenvolva o binómio para obter o polinómio que representa a área.

Desenvolva as seguintes expressões utilizando os casos notáveis para as converter num polinómio ordenado:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Preencha os espaços em branco para que as seguintes igualdades sejam corretas:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Para cobrir o chão de um stand quadrado na Feira do Livro de Lisboa é necessário encomendar uma lona que mede $39\text{ m}$ de lado.

1. a) Antes de calculares a área exata, faz uma estimativa mental aproximando o comprimento do lado à dezena mais próxima ($40\text{ m}$). Raciocina se a área real do stand será maior ou menor do que a tua estimativa.
2. b) Exprime o número $39$ como a subtração $(40 - 1)$ e calcula a área exata aplicando o caso notável do quadrado de uma diferença, indicando os três termos que resultam do desenvolvimento.
3. c) Subtrai a área exata calculada da tua estimativa inicial e verifica se a diferença coincide com o que tinhas raciocinado na alínea a).

Relaciona no teu caderno cada caso notável com a respetiva expressão desenvolvida:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Os casos notáveis também servem para realizar cálculos mentais rápidos com números grandes. Utiliza o produto da soma pela diferença $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ para calcular os seguintes produtos de forma engenhosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Dica: considera $50 + 2$ e $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Para calcular mentalmente o resultado da operação $105^2 - 95^2$ sem utilizar calculadora, o Marcos e a Leonor propõem duas estratégias distintas:

• Método do Marcos: Realizar as duas multiplicações tradicionais separadamente, $105 \cdot 105$ e $95 \cdot 95$, e depois subtrair o segundo resultado do primeiro.

• Método da Leonor: Identificar que a expressão é uma diferença de quadrados da forma $a^2 - b^2$, transformá-la no produto de uma soma por uma diferença e realizar as operações resultantes.

1. a) Aplica o método proposto pela Leonor desenvolvendo passo a passo o cálculo numérico até obteres o valor final.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica fundamentadamente por que razão a proposta da Leonor se revela muito mais vantajosa, analisando a dificuldade das operações intermédias de cada caminho.

Nádia e Tomás estão a fazer o trabalho de casa de matemática e cometeram alguns erros comuns. Identifica qual das seguintes igualdades é incorreta e corrige-a no teu caderno, explicando porque está errada:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Um erro muito comum ao começar a estudar casos notáveis é pensar que o quadrado de uma soma é simplesmente a soma dos quadrados. Por exemplo:

É verdade que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Para verificar, calcule o valor numérico de ambas as expressões para $x = 2$ e explique se os resultados são iguais ou diferentes.

Num teste do 2.º ano do ESO, a Lucía resolveu o desenvolvimento da expressão $(2x - 3)^2$ escrevendo diretamente: $4x^2 - 9$. O seu professor indicou-lhe que a resposta está errada porque contém dois erros conceptuais nesse único passo.

1. a) Identifica os dois erros cometidos pela Lucía (um relativo ao sinal do último termo e outro relativo aos termos que faltam no desenvolvimento).
2. b) Aplica a propriedade distributiva multiplicando $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ termo a termo para lhe explicares com clareza de onde surge cada elemento e escreve a expressão final correta e simplificada.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica efetuando primeiro as operações dos casos notáveis e reduzindo depois os termos semelhantes:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Desenvolva as seguintes expressões utilizando os casos notáveis e simplifique os termos semelhantes sempre que possível:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Calcule o valor numérico da expressão $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ para os valores $x = \frac{1}{3}$ e $y = 5$.

Dica: Simplifique a expressão algébrica utilizando os casos notáveis antes de substituir os valores.

Copia e completa no teu caderno os termos que faltam para que estas expressões formem um trinómio quadrado perfeito ou uma diferença de quadrados:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Uma Câmara Municipal quer projetar uma nova praça quadrada. No centro haverá uma área de jardim, também quadrada, cercada por um caminho de azulejos de largura constante.

Se o lado total da praça mede $(3x + 2)$ metros e o lado do jardim central mede $(3x - 2)$ metros, calcule o polinómio simplificado que representa a área destinada unicamente ao caminho de azulejos.

Encontra o termo que falta em cada expressão para que o trinómio seja o resultado do quadrado de uma soma ou de uma diferença (trinómio quadrado perfeito). Depois, escreve a potência correspondente:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Simplifique as seguintes frações algébricas utilizando os casos notáveis para fatorizar o numerador e o denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Observe a seguinte figura que representa um quadrado de lado $(x + 3)$ do qual foi recortado um quadrado interior de lado $(x - 1)$. Utilize os casos notáveis para escrever uma expressão simplificada que represente a área sombreada a cor de laranja.

Um designer de aplicações está a criar um ícone quadrado para uma rede social. O design original tem lado de $x$ píxeis. O cliente pede duas alterações: primeiro, aumentar o lado em $4$ píxeis para adicionar uma borda decorativa; segundo, criar uma versão reduzida em que cada lado mede $4$ píxeis a menos do que o original.

Encontra o polinómio que representa a diferença de áreas entre o ícone ampliado e o ícone reduzido em função de $x$.

Demonstre algebricamente que a diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre igual à soma desses números.

(Dica: chame $x$ ao primeiro número e $x+1$ ao seguinte).

Encontra a área da zona sombreada na seguinte figura. Exprime o resultado como um polinómio simplificado em função de $x$. O lado do quadrado exterior mede $2x+3$ e o lado do quadrado interior branco mede $2x-3$.