Divisões proporcionais

Três irmãos decidem dividir um saco de $120$ rebuçados de forma diretamente proporcional às suas idades, que são $2$, $3$ e $7$ anos. Quantos rebuçados correspondem a cada um?

Três amigos, Alba, Beto e Caio, colaboraram numa feira solidária a vender artesanato. Decidem dividir os $300 \ €$ de lucro de forma diretamente proporcional ao número de horas que cada um trabalhou: Alba trabalhou $2$ horas, Beto $3$ horas e Caio $5$ horas. Calcule quanto dinheiro cada um recebe.

Três amigos decidem alugar um servidor privado para jogar um videojogo online durante as férias. O custo total do aluguer é de $153\ €$. Eles concordaram em dividir o pagamento de forma diretamente proporcional ao tempo que cada um esteve ligado: Rodrigo esteve $12$ horas, Beatriz $18$ horas e Tomás $21$ horas. Quanto deve pagar cada um para saldar a fatura?

Para repartir um prémio de $180$ € entre três irmãs de forma diretamente proporcional às horas que dedicaram a limpar o jardim ($2$ horas a Beatriz, $3$ horas a Elena e $4$ horas a Marta), o seu irmão mais velho Tomás raciocina assim: «Como são três pessoas, divido $180$ por $3$ e calham a $60$ € por parte. Depois multiplico pelas suas horas: a Beatriz leva $2 \cdot 60 = 120$ €, a Elena $3 \cdot 60 = 180$ € e a Marta $4 \cdot 60 = 240$ €».

1. a) Explica por palavras tuas que erro conceptual cometeu o Tomás ao calcular o valor de «uma parte» ($k$).
2. b) Verifica a soma das quantias que o Tomás obteve para demonstrar por que razão a sua solução é impossível na prática.
3. c) Corrige o exercício realizando a partilha diretamente proporcional de forma adequada e calcula quanto dinheiro recebe realmente cada irmã.

Três turmas do $2.^\circ$ ano de uma escola participam numa campanha solidária de recolha de alimentos e reuniram um total de $450\text{ kg}$. A direção da escola vai premiar o esforço repartindo $90$ bilhetes de cinema de forma diretamente proporcional aos quilos recolhidos por cada turma: o $2.^\circ\text{ A}$ recolheu $100\text{ kg}$, o $2.^\circ\text{ B}$ recolheu $150\text{ kg}$ e o $2.^\circ\text{ C}$ recolheu $200\text{ kg}$.

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, estima: o grupo $2.^\circ\text{ C}$ receberá mais ou menos de metade dos bilhetes disponíveis? Fundamenta a tua estimativa comparando os quilos do $2.^\circ\text{ C}$ com o total recolhido.
2. b) Calcula o valor de cada parte ($k$) e determina quantos bilhetes exatos correspondem a cada turma.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta e confirma que a soma das três quantidades coincide com o total de bilhetes.

Um carpinteiro tem uma ripa de madeira de $240\text{ cm}$ e precisa de a cortar em três pedaços cujos comprimentos sejam proporcionais aos números $1$, $2$ e $3$. Chamamos $k$ ao comprimento do pedaço mais curto, de modo que os outros dois medem $2k$ e $3k$. Qual será o comprimento de cada pedaço?

Uma aplicação de música dividiu os seus lucros trimestrais entre três artistas emergentes de forma diretamente proporcional ao número de reproduções das suas músicas. Sabemos que o artista $X$ recebeu $1\,200$ € por ter $300\,000$ reproduções. Se o artista $Y$ teve $450\,000$ reproduções e o artista $Z$ recebeu $2\,400$ €, calcula:

1. O número de reproduções que teve o artista $Z$.

2. A quantidade de dinheiro que recebeu o artista $Y$.

3. O lucro total que a aplicação dividiu entre os três.

Uma doação de $110\,000$ € é distribuída por três instituições de caridade de forma diretamente proporcional às vagas que oferecem. A instituição $P$ tem $x$ vagas, a instituição $Q$ tem o triplo das vagas da $P$, e a instituição $R$ tem metade das vagas da $Q$. Sabendo que à instituição $Q$ couberam $60\,000$ €, quanto dinheiro recebe cada uma das outras duas instituições?

Três famílias alugaram uma casa de campo para passar as férias da Páscoa. O custo total do aluguer é de $1\,500$ €. Decidem dividir a despesa de forma diretamente proporcional ao número de noites que cada família ficou na casa. A família Sousa ficou $5$ noites, a família Pereira ficou o dobro de noites que a família Garcia, e a família Garcia ficou $3$ noites a menos que a família Sousa. Que quantia deve pagar cada família?

Uma parcela retangular de $1\,200$ $m^2$ divide-se em três hortas escolares para as turmas do 8.º ano. A divisão da superfície faz-se de forma diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma. Na turma $A$ há $24$ alunos, na turma $B$ há $26$ alunos e a turma $C$ tem um número de alunos tal que lhe corresponderam $450$ $m^2$ de horta.

1. Quantos alunos tem a turma $C$?

2. Que superfície corresponde às turmas $A$ e $B$?

Três sócios fundadores de uma empresa em fase de arranque (startup) de desenvolvimento de aplicações móveis decidem repartir os lucros líquidos do primeiro trimestre de forma diretamente proporcional ao capital que cada um investiu ao constituir a sociedade. Sabe-se que a Ana investiu $12\,000$ € e que o Borja investiu $18\,000$ €. Na assessoria contabilística extraviou-se o dado do capital investido pela Carla, mas dispõe-se dos seguintes registos da liquidação:

1. Ao Borja couberam exatamente $5\,400$ € de lucro.

2. A Carla recebeu mais $1\,800$ € de lucro do que a Ana.

1. a) Descobre a constante de proporcionalidade direta $k$ (euros de lucro por cada euro investido).
2. b) Calcula quanto dinheiro de lucro coube à Ana e quanto à Carla.
3. c) Reconstrói fundamentadamente a quantia exata de capital que a Carla investiu no início da empresa.
4. d) Qual foi o lucro total distribuído pelos três sócios? Verifica que a soma dos três lucros individuais coincide com o produto do capital total pela constante $k$.

Num concurso de videojogos, são distribuídos $100$ pontos de bonificação entre dois jogadores de forma inversamente proporcional ao número de erros que cometeram. Se o primeiro jogador cometeu $2$ erros e o segundo cometeu $4$ erros, quantos pontos recebe cada um?

Dois alunos, Júlia e Marcos, têm de dividir $10$ horas de utilização de uma consola durante o fim de semana. Como a Júlia teve melhores notas, decidem dividir o tempo de forma inversamente proporcional ao número de disciplinas em que chumbaram: a Júlia chumbou a $4$ disciplinas e o Marcos chumbou a $6$. Quantas horas de jogo correspondem a cada um?

Numa corrida de drones, são distribuídos $310$ pontos de bonificação pelos três primeiros classificados de forma inversamente proporcional ao número de faltas técnicas cometidas durante o circuito. O primeiro classificado cometeu $2$ faltas, o segundo cometeu $5$ faltas e o terceiro cometeu $10$ faltas. Quantos pontos recebe cada um?

Três irmãos ajudam nas tarefas de casa e o seu avô decide dar-lhes uma gratificação de $114\ €$ para as suas economias. No entanto, para incentivar a responsabilidade, divide o dinheiro de forma inversamente proporcional ao número de vezes que se esqueceram de arrumar o quarto este mês. A Beatriz esqueceu-se $2$ vezes, o Jorge $3$ vezes e a Marta $6$ vezes. Que quantia de dinheiro receberá cada um?

Numa competição escolar de robótica repartem-se $270$ pontos entre as três equipas finalistas de forma inversamente proporcional ao número de penalizações técnicas cometidas durante a prova: a equipa Alfa cometeu $3$ penalizações, a equipa Beta cometeu $4$ e a equipa Gamma cometeu $6$.

Para resolver a partilha, dois membros do júri propõem caminhos distintos:

• Método 1: Somar as frações dos inversos $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$, dividir o total de pontos por essa soma fracionária para encontrar a constante $k$ e multiplicar cada fração por $k$.

• Método 2: Multiplicar os inversos pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores (m.m.c.$(3, 4, 6) = 12$) para obter números inteiros equivalentes ($4$, $3$ e $2$), e fazer uma partilha diretamente proporcional com esses inteiros.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo e verifica que com os dois se obtém exatamente a mesma pontuação para cada equipa.
2. b) Justifica qual dos dois procedimentos te parece mais cómodo e seguro ao trabalhar à mão num exame, explicando que dificuldades apresenta o outro caminho.

Num concurso de reciclagem, uma câmara municipal divide uma verba de $2\,600$ € entre três centros educativos de forma inversamente proporcional ao número de toneladas de resíduos não reciclados que geraram. O Centro $1$ gerou $\frac{1}{2}$ tonelada, o Centro $2$ gerou $\frac{1}{3}$ de tonelada e o Centro $3$ gerou $\frac{1}{4}$ de tonelada. Que prémio financeiro recebe cada centro?

Três amigos de um clube de e-sports ganharam um torneio regional e vão dividir um prémio de $1\,900$ €. A divisão deve ser diretamente proporcional aos pontos obtidos na grande final. O primeiro jogador conseguiu $150$ pontos, o segundo $120$ pontos e o terceiro $110$ pontos. No entanto, antes de receber, o clube desconta $5\%$ do total do prémio por despesas de gestão. Que quantia líquida receberá cada um dos três jogadores após aplicar o desconto e realizar a divisão proporcional?

Um avô quer repartir uma coleção de $168$ moedas antigas entre os seus três netos de forma inversamente proporcional às idades deles, que são $12$, $15$ e $20$ anos. O neto mais novo fica tão entusiasmado que o avô decide oferecer-lhe, além disso, mais $10$ moedas que tira da sua própria reserva pessoal. Com quantas moedas ficará cada neto?

Um município destina uma verba orçamental de $3\,700$ € a três associações de moradores para projetos de mobilidade sustentável. Por norma municipal, cada associação recebe primeiro um apoio fixo individual de $200$ € para despesas de secretaria e gestão. O dinheiro restante da verba é repartido de forma inversamente proporcional ao número de queixas dos moradores por ruídos e trânsito que cada bairro acumulou durante o ano: Bairro Norte ($2$ queixas), Bairro Centro ($3$ queixas) e Bairro Sul ($5$ queixas).

1. a) Determina que quantia da verba municipal é distribuída mediante partilha inversamente proporcional e calcula a verba que corresponde a cada bairro por este conceito.
2. b) Adiciona o apoio fixo de secretaria e calcula o montante total definitivo que receberá cada uma das três associações.
3. c) A porta-voz do Bairro Sul protesta afirmando: «Nós só temos mais três queixas do que o Bairro Norte, mas eles recebem mais do dobro do dinheiro do que nós na partilha proporcional; esta partilha é injusta». Refuta matematicamente a sua queixa: analisa a relação multiplicativa entre as queixas ($5$ face a $2$) e explica como atua a proporcionalidade inversa na atribuição de partes.