Exercícios: Proporcionalidade direta

Indique quais dos seguintes pares de grandezas são diretamente proporcionais. Justifique brevemente a sua resposta:

1. a) O número de pessoas que entram num museu e o dinheiro arrecadado com os bilhetes.
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura.
3. c) A massa das maçãs compradas e o preço total a pagar.
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele demora a percorrer uma distância fixa.

Numa loja de desporto, todas as t-shirts do mesmo modelo têm o preço proporcional à quantidade comprada. Copia e completa a tabela seguinte no teu caderno e calcula a constante de proporcionalidade $k$ (preço de uma t-shirt).

Se uma torneira despeja $15$ litros de água a cada $3$ minutos, quantos litros despejará se for mantida aberta durante $10$ minutos? Resolve utilizando o método de redução à unidade (calculando primeiro quanto despeja num minuto).

Para preparar um bolo para $6$ pessoas, são necessários $300$ gramas de farinha. Se quisermos convidar $15$ pessoas e que todos comam a mesma proporção de bolo, de que quantidade de farinha vamos precisar?

Um videojogo ocupa $12$ GB de espaço e demorou $8$ minutos a ser descarregado com uma ligação estável. Se o próximo jogo a ser descarregado ocupa $18$ GB e a velocidade de transferência for a mesma, quantos minutos demorará a transferência?

O perímetro de um hexágono regular é diretamente proporcional ao comprimento do seu lado. Se um hexágono cujo lado mede $4$ cm tem um perímetro de $24$ cm, calcule o perímetro de outro hexágono regular cujo lado mede $7,5$ cm.

Numa planta de um quarto com uma escala $1:50$, o comprimento da cama mede $4$ cm. Qual é a medida real da cama expressa em metros? (Lembra-te de que a escala $1:50$ significa que $1$ cm no desenho equivale a $50$ cm na realidade).

A Marta pagou $4,50$ € por $3$ caixas de marcadores para o seu projeto de desenho. Se ela precisa de comprar $5$ caixas a mais para os seus colegas de grupo, quanto dinheiro custarão essas $5$ caixas extra?

O Tomás compra laranjas no mercado do seu bairro. Sabe que $3\text{ kg}$ de laranjas custam $4,20\text{ €}$ e precisa de descobrir quanto custarão $5\text{ kg}$. Para resolver o problema, o Tomás raciocina da seguinte forma: «Como $5$ é igual a $3 + 2$, ao preço de $4,20\text{ €}$ só tenho de somar $2\text{ €}$, pelo que pagarei $6,20\text{ €}$». Identifica o erro no raciocínio do Tomás, explica por que razão o seu método não respeita a definição de proporcionalidade direta e calcula o preço correto obtendo primeiro a constante de proporcionalidade direta $k$ (preço por quilograma).

Numa padaria artesanal de Évora vendem barras de pão ecológico ao mesmo preço unitário. Quatro barras idênticas custam $5,40\text{ €}$ e queres comprar $7$ barras.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo por escrito, faz uma estimativa: raciocina entre que dois números inteiros consecutivos de euros deve situar-se o preço final das $7$ barras e explica a tua dedução intuitiva.
2. b) Calcula o custo exato utilizando o método de redução à unidade (preço de uma só barra).
3. c) Compara o resultado exato com a tua estimativa inicial e avalia se o valor obtido é coerente com a situação apresentada.

Uma plataforma de streaming de videojogos oferece uma subscrição premium. Sabemos que por $4$ meses de serviço são pagos $35,20$ €.

1. a) Calcule a constante de proporcionalidade direta $k$ (preço por mês).
2. b) Complete a seguinte tabela de valores:

1. c) Quantos meses é possível contratar se houver um orçamento máximo de $100$ €?

Um drone de vigilância florestal voa a uma velocidade constante. O centro de controlo regista que o drone percorreu $10,5$ quilómetros nos primeiros $15$ minutos de voo.

1. a) Que distância o drone percorrerá se mantiver a mesma velocidade durante uma hora completa?
2. b) Se o drone precisar de cobrir uma distância total de $63$ km, quantos minutos demorará a completar a missão?

Indique fundamentadamente quais dos seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade direta:

1. a) O número de bilhetes para um espetáculo e o preço total a pagar (sem despesas fixas de gestão).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O peso das maçãs compradas a granel e o custo da compra.
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que demora a percorrer uma distância fixa.
5. e) O número de páginas de um livro e o tempo gasto a lê-lo (assumindo uma velocidade de leitura constante).

Para preparar uma tinta de uma cor laranja específica, um artista mistura $150$ ml de tinta vermelha com $225$ ml de tinta amarela.

1. a) Quantos mililitros de tinta vermelha precisará de utilizar se quiser usar $600$ ml de tinta amarela para obter o mesmo tom?
2. b) Se o artista decidir criar uma mistura total de $1$ litro ($1000$ ml), que quantidade de cada cor deve adicionar, mantendo a proporção original?

Na planta de uma moradia realizada na escala $1:250$, a sala tem um comprimento de $3,2$ cm e uma largura de $2,4$ cm.

1. a) Calcule as dimensões reais da sala em metros.
2. b) Calcule a área real da sala em metros quadrados.

Três irmãos decidem dividir os $144$ € que receberam como prenda dos seus avós de forma diretamente proporcional às suas idades, que são $10$, $12$ e $14$ anos, respetivamente. Que quantidade de dinheiro corresponde a cada um?

Um carregador rápido de smartphone é capaz de carregar $18\%$ da bateria em apenas $12$ minutos. Se a velocidade de carga se mantiver constante:

1. a) Que percentagem de bateria se terá carregado após meia hora ($30$ minutos)?
2. b) Quanto tempo total (em minutos e segundos) levará o telemóvel a passar de $0\%$ a $100\%$ de carga?

Uma empresa de reciclagem paga $0,65$ € por cada quilograma de latas de alumínio entregue. Um grupo de alunos recolheu latas durante o mês e pesou-as em lotes:

1. a) Quanto dinheiro receberão por um lote que pesa $8,4$ kg?
2. b) Se no final da campanha conseguiram um total de $27,30$ €, quantos quilogramas de alumínio conseguiram reciclar no total?

Um grupo de escuteiros da Serra da Estrela prepara um percurso pedestre. De acordo com os registos do seu monitor, o grupo consome $15\text{ litros}$ de água potável por cada $6\text{ km}$ que percorre a passo constante. Querem prever o consumo para duas jornadas diferentes: uma etapa plana de $18\text{ km}$ e outra etapa de montanha de $7\text{ km}$.

Colocam-se dois procedimentos: o Método A (redução à unidade, calculando quantos litros consomem por cada quilómetro) e o Método B (multiplicar ou dividir diretamente através do fator de escala entre os quilómetros conhecidos e os que vão percorrer).

1. a) Para a etapa de $18\text{ km}$, justifica qual dos dois métodos permite calcular a água necessária de forma mais rápida e mental. Determina o resultado com esse método.
2. b) Para a etapa de $7\text{ km}$, justifica que método resulta mais claro e operativo. Calcula com ele os litros de água necessários.
3. c) Que significado prático tem a constante de proporcionalidade $k = \frac{15}{6}$ neste contexto e em que unidades se expressa?

Segundo dados do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA), durante uma tempestade de intensidade regular na região do Alentejo (Beja), um udómetro recolheu $14\text{ litros}$ de água por metro quadrado em $40\text{ minutos}$.

1. a) Supondo que a chuva cai de maneira uniforme, verifica que o tempo e a quantidade de água acumulada são diretamente proporcionais e escreve a fórmula matemática que relaciona os litros por metro quadrado recolhidos ($y$) em função do tempo em minutos ($x$).
2. b) Quantos litros por metro quadrado se acumularão após $2\text{ horas e meia}$ de chuva contínua?
3. c) A Proteção Civil emite aviso laranja nessa zona se forem ultrapassados os $40\text{ litros}$ por metro quadrado numa hora. Com a intensidade registada neste episódio, atingir-se-ia o limiar de aviso laranja ao fim de $60\text{ minutos}$? Justifica a tua resposta com cálculos.

Três amigos decidem criar um canal de streaming de videojogos. Ao finalizar o primeiro mês, obtiveram uma receita de $1\,260\text{ €}$ com publicidade. Concordam em dividir o dinheiro de forma diretamente proporcional às horas que cada um dedicou a gravar e a editar conteúdo.

O Marcos dedicou $12$ horas, a Leonor dedicou o dobro do Marcos, e o Gonçalo dedicou tantas horas quanto a metade do que o Marcos e a Leonor dedicaram juntos. Calcule quanto dinheiro corresponde a cada um e determine qual é a constante de proporcionalidade $k$ (dinheiro por hora trabalhada).

Uma empresa de fabrico de filamento para impressoras 3D sabe que o comprimento do fio extraído é diretamente proporcional ao tempo de funcionamento da máquina extrusora. Se em $15$ minutos são produzidos $45$ metros de fio de uma espessura determinada:

• a) Quantos quilómetros de fio serão fabricados se a máquina trabalhar sem interrupção durante um dia de trabalho completo de $8$ horas?

• b) Se o custo de produção é de $0,12\text{ €}$ por cada decâmetro ($10\text{ m}$) de fio, qual será o valor total da produção após essas $8$ horas?

Num mapa de caminhada da Serra da Estrela, a distância entre dois abrigos é de $12,5\text{ cm}$. Sabemos que a escala do mapa é $1:50\,000$. Dois caminhantes decidem realizar esse percurso. Se a sua velocidade média é de $4\text{ km/h}$, calcule quanto tempo demorarão a chegar de um abrigo ao outro, expressando o resultado em horas e minutos.

Uma câmara municipal quer incentivar o uso de energias limpas e distribui um subsídio de $15\,000\text{ €}$ entre três condomínios que instalaram painéis solares. A divisão é feita de forma diretamente proporcional à superfície de painéis instalada.

O Condomínio A instalou $120\text{ m}^2$. O Condomínio B instalou $25\%$ a mais que o Condomínio A. O Condomínio C instalou $60\%$ da soma das superfícies dos condomínios A e B juntos. Calcule quanto dinheiro recebe cada condomínio.

O gráfico a seguir representa a relação entre a massa de um metal precioso e o seu valor no mercado. Observa que é uma função de proporcionalidade direta:

• a) Determina a constante de proporcionalidade $k$, que representa o preço por grama.

• b) Se uma joia contém $15\%$ de impurezas (massa que não tem valor) e pesa no total $24\text{ g}$, qual é o valor do metal puro que ela contém, com base no gráfico?

Para tingir um lote de t-shirts de algodão, uma oficina utiliza uma mistura de corante concentrado e água. A receita indica que para cada $2,5\text{ litros}$ de água se deve adicionar $150\text{ ml}$ de corante.

Se a oficina dispõe de um depósito de $60\text{ litros}$ de capacidade e quer enchê-lo mantendo exatamente a mesma proporção, que quantidade de corante concentrado e que quantidade de água deverá misturar? (Atenção: o volume final do depósito é a soma de ambos os líquidos).

Um farol projeta uma sombra de $18\text{ metros}$ sobre o solo. Nesse mesmo instante, um poste vertical de $2,5\text{ metros}$ de altura situado perto do farol projeta uma sombra de $150\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do farol.

• b) Se o sol baixar e a sombra do poste aumentar $30\text{ cm}$ a mais, quanto medirá a nova sombra do farol?

Uma linha de montagem produz um número constante de componentes eletrónicos a cada hora. Sabe-se que, a trabalhar $5$ dias à razão de $8$ horas diárias, fabricaram um total de $14\,000$ componentes.

Se, devido a um pedido urgente, precisarem de fabricar $25\,200$ componentes nos próximos $6$ dias, quantas horas diárias deverão as máquinas trabalhar para cumprir o prazo, supondo que o ritmo de produção por hora não varia?

No laboratório de Ciências investiga-se a relação entre a massa ($M$, em gramas) e o volume ($V$, em centímetros cúbicos) de um líquido desconhecido através de provetas graduadas. Sabe-se com certeza que ambas as grandezas são diretamente proporcionais. Após a experiência, uma parte do caderno de notas ficou manchada de tinta, mas conservam-se três pistas:

1. Ao aumentar o volume em $15\text{ cm}^3$, a massa aumenta exatamente em $12\text{ g}$.

2. A constante de proporcionalidade $k = \frac{M}{V}$ é um número decimal exato menor do que $1$.

3. A soma da massa que têm $20\text{ cm}^3$ desse líquido com o volume que ocupam $32\text{ g}$ do mesmo líquido é igual a $56$.

1. a) Deduz o valor exato da constante $k$ (densidade do líquido em $\text{g/cm}^3$) a partir dos dados conservados e demonstra que as pistas 1 e 3 são coerentes entre si.
2. b) Escreve a expressão analítica que permite obter a massa em função do volume.
3. c) Se dispuseres de um recipiente que suporta uma carga máxima de $140\text{ g}$, qual é o volume máximo de líquido que podes verter nele sem ultrapassar essa massa?

O serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa aplica a seguinte tarifa: $1,20\text{ €}$ fixos pelo desbloqueio da bicicleta mais $0,15\text{ €}$ por cada minuto de trajeto.

A Elena afirma: «Se por um trajeto de $10\text{ minutos}$ pago $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$, quando pedalar durante o dobro do tempo ($20\text{ minutos}$) terei de pagar o dobro ($5,40\text{ €}$). Como ao duplicar o tempo duplica o custo, ambas as grandezas são diretamente proporcionais».

1. a) Calcula o custo real de uma viagem de $20\text{ minutos}$ e determina se a afirmação da Elena sobre o preço é correta.
2. b) Utiliza o quociente $\frac{\text{preço}}{\text{tempo}}$ para $10$ e para $20\text{ minutos}$ e explica detalhadamente por que razão o tempo de utilização e o preço final NÃO são grandezas diretamente proporcionais, indicando que elemento da tarifa quebra essa proporcionalidade e como se refletiria isto no seu gráfico em comparação com uma reta de proporcionalidade direta.
3. c) Modifica o enunciado original eliminando ou alterando unicamente um elemento da tarifa para que o preço total passe a ser diretamente proporcional ao tempo de utilização. Indica qual seria a nova constante de proporcionalidade direta $k$ e qual seria o seu significado na vida real.