Exercícios: Regra de três composta

Numa loja de personalização de roupa, $3$ máquinas de impressão térmica conseguem estampar $120$ t-shirts a trabalhar durante $4$ horas. Se, devido a uma encomenda urgente de uma escola, forem postas em funcionamento $5$ máquinas iguais, quantas t-shirts poderão estampar em $6$ horas?

Um abrigo de animais precisa de $480$ kg de ração para alimentar $40$ cães durante $30$ dias. Se o abrigo receber um donativo e aumentar a sua capacidade para $60$ cães, de quantos quilogramas de ração precisará para os alimentar durante $20$ dias?

Para enviar os ficheiros de um novo videojogo para um servidor, $4$ ligações de fibra ótica iguais levam $15$ minutos a transferir $120$ GB. Se quisermos transferir $200$ GB no mesmo servidor usando $5$ ligações iguais, quantos minutos levarão?

Um grupo de $6$ amigos decide distribuir panfletos da sua equipa local de e-sports. Em $3$ horas, conseguiram distribuir $450$ folhetos. Se no próximo sábado mais $2$ amigos se juntarem ao grupo e trabalharem durante $4$ horas, quantos folhetos distribuirão no total?

Numa estação de tratamento de água, $8$ depuradoras iguais filtram $2400$ metros cúbicos de água num período de $5$ dias. Quantos metros cúbicos de água filtrarão $12$ depuradoras se funcionarem durante $7$ dias?

Cinco fontes de água decorativas, com o mesmo caudal, consomem $300$ litros de água se estiverem ligadas durante $8$ horas. Calcule quantos litros consumirão $10$ fontes iguais se forem mantidas ligadas durante apenas $2$ horas.

Uma empresa de entregas utiliza $4$ carrinhas para distribuir $640$ pacotes em $5$ dias. Se a empresa decidir alugar mais $2$ carrinhas para reforçar o serviço, quantos pacotes poderá distribuir num período de $3$ dias?

Para iluminar uma sala de exposições de arte durante $12$ dias, $15$ refletores LED de baixo consumo geraram um gasto de $54$ euros. Qual será o gasto em eletricidade se forem utilizados $20$ refletores iguais durante um evento que dura $10$ dias?

Para pintar as vedações de um complexo desportivo municipal, uma equipa de $3$ pessoas demorou $8$ dias a trabalhar $6$ horas por dia. A Câmara Municipal encarrega um trabalho idêntico a outra equipa formada por $6$ pessoas que trabalharão $4$ horas por dia. O Lucas resolveu o problema escrevendo o seguinte no seu caderno:

«Como há o dobro das pessoas e menos horas diárias, coloco a proporção: $x = 8 \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{4} = 24$ dias».

1. a) Sem realizar cálculos numéricos, justifica por que razão um resultado de $24$ dias é incoerente com o senso comum para este caso.
2. b) Identifica o erro concetual que o Lucas cometeu ao analisar a relação de cada grandeza com o número de dias.
3. c) Corrige o raciocínio e calcula o número exato de dias de que a nova equipa precisará para terminar o trabalho.

Num viveiro municipal, $4$ aspersores iguais regaram um relvado de $600\text{ m}^2$ durante $3$ horas seguidas. Os funcionários devem regar agora outro relvado de $1\,200\text{ m}^2$ utilizando $6$ aspersores idênticos aos anteriores.

1. a) Antes de fazer os cálculos, faz uma estimativa qualitativa: tendo em conta que a área a regar é exatamente o dobro, mas que também se conta com mais $50\,\%$ de aspersores, esperas que o tempo necessário seja maior, menor ou igual às $3$ horas iniciais? Justifica a tua dedução.
2. b) Classifica cada grandeza como direta ou inversamente proporcional em relação ao tempo, monta a regra de três composta e calcula com precisão quantas horas durará a rega do segundo relvado.
3. c) Compara o valor obtido com a estimativa que fizeste no início e indica se o resultado confirma a tua dedução fundamentada.

Um grupo de $4$ criadores de conteúdo especializados em viagens conseguiu editar $12$ vídeos para o seu canal a trabalhar $6$ horas diárias durante uma semana. Se no próximo mês mais $2$ colaboradores se juntarem à equipa e decidirem trabalhar $8$ horas diárias, quantos vídeos poderão editar no mesmo período de tempo?

Para alimentar as $15$ vacas de uma quinta-escola durante $12$ dias, foram necessários $540$ kg de ração. Devido a um novo subsídio, a quinta adquiriu mais $5$ vacas. Quantos quilos de ração serão necessários para alimentar todos os animais durante $20$ dias?

Uma empresa de entregas utiliza $8$ drones para distribuir $160$ pacotes em $4$ horas de voo. Se a empresa decidir aumentar a sua frota para $10$ drones e quiser realizar a entrega de $250$ pacotes, quantas horas de voo totais vão os drones precisar para concluir a tarefa?

Uma equipa de $6$ trabalhadores municipais limpa uma superfície de $1500$ $m^2$ de praia em $5$ horas. Para o próximo dia de limpeza, a Câmara Municipal conta com $8$ trabalhadores, mas a área a limpar é de $2800$ $m^2$. Calcule quanto tempo levarão para terminar o trabalho.

Numa fábrica de componentes eletrónicos, $5$ máquinas idênticas produzem $2000$ processadores a funcionar $8$ horas por dia. Devido a uma encomenda urgente, a fábrica deve entregar $3500$ processadores no mesmo número de dias. Se forem postas a funcionar mais $2$ máquinas, quantas horas diárias deverão funcionar todas as máquinas?

Três torneiras iguais enchem um reservatório de $10$ $m^3$ em $6$ horas. Se quisermos encher um tanque de $25$ $m^3$ utilizando $5$ torneiras com o mesmo caudal que as anteriores, quantas horas precisaremos?

Para imprimir $1200$ cartazes publicitários, $4$ impressoras industriais estiveram a funcionar durante $15$ horas. Se uma das impressoras avariar e precisarmos de imprimir $1800$ cartazes para uma nova campanha, quantas horas deverão trabalhar as impressoras restantes?

Uma equipa de $12$ arqueólogos escavou um troço de $60$ metros de uma antiga estrada romana, trabalhando $9$ dias à razão de $7$ horas diárias. Se se quiser escavar outro troço de $80$ metros em $14$ dias, quantas horas diárias deverão trabalhar se a equipa se mantiver com o mesmo número de pessoas?

Uma empresa de estafetas utiliza carrinhas elétricas para distribuir encomendas urbanas. Durante o turno da manhã, $4$ carrinhas distribuíram $450$ encomendas a trabalhar durante $6$ horas. Para a tarde, acumularam-se $900$ encomendas que devem ser distribuídas numa jornada reduzida de $4$ horas.

Para saber quantas carrinhas devem ser mobilizadas à tarde, dois membros da equipa propõem duas estratégias distintas:

• A Sofia propõe aplicar diretamente uma regra de três composta, analisando as razões de proporcionalidade direta ou inversa de cada grandeza em relação ao número de carrinhas.

• O Mateo prefere reduzir primeiro à unidade: calcular quantas encomendas distribui uma única carrinha numa hora e, a partir desse dado, deduzir as carrinhas necessárias.

1. a) Resolve o problema seguindo o método da Sofia, detalhando a classificação de cada grandeza e a fração pela qual multiplicas.
2. b) Resolve o problema aplicando o método do Mateo, indicando o significado real e a unidade de medida de cada resultado intermédio.
3. c) Analisa ambos os caminhos: que vantagens e desvantagens apresenta cada método e qual te pareceria mais fiável se o problema envolvesse quatro ou mais grandezas ao mesmo tempo?

Durante um período de alerta por seca gerido pela Agência Portuguesa do Ambiente, a direção de um parque de campismo regista o consumo de água das suas instalações. De acordo com as suas medições, um grupo de $120$ pessoas alojadas durante $6$ dias gerou um consumo de $32\,400$ litros de água potável. Para o mês de agosto, a previsão de ocupação é de $180$ pessoas durante uma quinzena completa ($15$ dias).

1. a) Identifica as grandezas do problema e analisa o tipo de relação de proporcionalidade que cada uma delas mantém em relação ao volume de água consumido.
2. b) Se as pessoas mantivessem exatamente o mesmo hábito de consumo do registo prévio, calcula através de uma regra de três composta quantos litros de água se gastariam em agosto.
3. c) O plano de emergência municipal exige que nessa quinzena o parque de campismo não ultrapasse um limite rigoroso de $67\,500$ litros no total. Determina a quantos litros por pessoa e por dia se deve limitar o consumo diário para cumprir a norma e calcula que percentagem de redução sobre o consumo diário inicial representa essa restrição.

Num abrigo de animais, calculou-se que $15$ sacos de ração de $20\text{ kg}$ cada um são suficientes para alimentar $40$ cães durante $12$ dias. Devido a uma campanha de resgate, o número de cães aumenta em mais $20$ animais. Se o abrigo comprar sacos de $30\text{ kg}$ da mesma ração, de quantos sacos precisará para alimentar todos os cães durante $25$ dias?

Uma equipa de limpeza municipal, composta por $12$ trabalhadores, conseguiu limpar uma área de $3\,600\text{ m}^2$ de floresta em $6$ dias, a trabalhar $8$ horas diárias. Para a próxima semana, a Câmara Municipal precisa de limpar uma área de $5\,000\text{ m}^2$. Se $3$ trabalhadores estão de licença e não poderão comparecer, quantas horas diárias deverão trabalhar os trabalhadores restantes para terminar a tarefa em apenas $5$ dias?

Uma central de servidores de videojogos utiliza $8$ unidades de refrigeração para manter a temperatura ideal de $120$ servidores a funcionar durante $24$ horas por dia, com um custo elétrico de $480\text{ €}$ por semana. Se a empresa decidir ampliar a sua capacidade para $200$ servidores e o preço da eletricidade subir, de modo que o custo máximo permitido seja de $600\text{ €}$, durante quantas horas por dia poderão os servidores ficar ligados se forem mantidas as mesmas $8$ unidades de refrigeração? (Considera que o custo é diretamente proporcional ao número de servidores e às horas de utilização).

Para imprimir os folhetos de um festival de música, $3$ impressoras industriais a trabalhar em simultâneo levam $15$ horas a imprimir $4\,500$ exemplares. Uma das impressoras avaria e tem de ser retirada. Quanto tempo levarão as impressoras restantes a imprimir $6\,000$ exemplares se, para compensar a falta da terceira máquina, a velocidade de impressão das outras duas for aumentada em $25\text{ \%}$? (Sugestão: pensa em como o aumento de velocidade afeta o tempo necessário).

Um grupo de $5$ torneiras iguais leva $8$ horas a encher $3$ reservatórios de $600$ litros cada um. Se quisermos encher $4$ reservatórios de $900$ litros cada um num tempo máximo de $10$ horas, quantas torneiras com as mesmas características precisaremos de abrir? Se o resultado não for inteiro, raciocina quantas torneiras deveríamos instalar no mínimo.

Seis camiões-cisterna de $12\,000\text{ L}$ de capacidade cada um realizaram $4$ viagens para esvaziar um reservatório de resíduos industriais em $2$ dias. Se forem contratados mais $2$ camiões de $15\,000\text{ L}$ de capacidade cada um para realizar um trabalho semelhante, esvaziando um reservatório que é $50\text{ \%}$ maior do que o anterior, quantos dias demorarão a concluir o esvaziamento se cada camião realizar $5$ viagens por dia?

Uma equipa de $4$ programadores desenvolveu uma aplicação móvel de $180$ ecrãs em $15$ dias, dedicando $6$ horas por dia cada um. Para um novo projeto de uma aplicação mais complexa de $300$ ecrãs, a empresa dispõe de $20$ dias. Se decidirem contratar mais $2$ programadores e aumentar o horário de trabalho para $8$ horas diárias, calcule se poderão entregar o projeto a tempo e quantos ecrãs por dia, em média, a equipa completa desenvolverá agora.

Uma fábrica de calçado desportivo produziu $2\,400$ pares de ténis em $10$ dias, a trabalhar com $12$ máquinas automáticas durante $16$ horas por dia. Devido a uma encomenda urgente de um distribuidor internacional, a fábrica deve produzir $3\,600$ pares em apenas $8$ dias. Se foram compradas mais $3$ máquinas com as mesmas características, quantas horas extra por dia, além das $16$ habituais, deverão todas as máquinas funcionar para cumprir o prazo?

Na oficina de tecnologia de uma escola secundária, $4$ impressoras 3D a funcionar $5$ horas diárias demoraram $3$ dias a fabricar $30$ peças idênticas para um projeto de robótica.

1. a) Para uma feira de divulgação científica é necessário fabricar um lote de $96$ peças iguais. O departamento dispõe agora de $6$ impressoras 3D idênticas e planeia jornadas de $4$ horas diárias. Determina quantos dias inteiros demorarão até terem o lote completo pronto.
2. b) Escreve o enunciado completo de um problema inverso à alínea anterior, onde a incógnita seja o número de horas diárias que as $6$ impressoras devem funcionar, fixando como dados conhecidos os dias obtidos na alínea (a) e o objetivo de fabricar as $96$ peças.
3. c) Supõe que o trabalho do novo lote começa com as $6$ impressoras a $4$ horas diárias, mas no final do quarto dia de trabalho avariam-se $2$ máquinas e ficam inutilizadas. Escreve uma equação baseada na proporcionalidade composta que permita calcular quantas horas diárias deverão trabalhar as máquinas restantes durante os dias que faltam para não atrasar a entrega final.

Numa central de energia solar fotovoltaica, uma empresa prestadora de serviços de manutenção emprega $36$ funcionários organizados em equipas para desmatar e inspecionar uma área de $45\text{ hectares}$ de painéis, demorando $10$ dias com jornadas de $8$ horas diárias.

1. a) Para uma ampliação da central que abrangerá $90\text{ hectares}$, a empresa dispõe de um prazo de $16$ dias, mas a jornada de trabalho deve ser limitada a $6$ horas por dia devido às restrições laborais por onda de calor. Utiliza a regra de três composta para deduzir quantos funcionários devem ser contratados no total para cumprir o prazo previsto.
2. b) Para incentivar a produtividade, a direção distribui uma gratificação de $21\,600\text{ €}$ por três brigadas ($A$, $B$ e $C$) de acordo com dois critérios conjuntos: o número de pessoas na brigada e os dias trabalhados no mês. A brigada $A$ tem $10$ pessoas e trabalhou $18$ dias; a brigada $B$ tem $12$ pessoas e trabalhou $15$ dias; e a brigada $C$ tem $15$ pessoas e trabalhou $12$ dias. Calcula a quantia exata que recebe cada brigada e justifica por que razão a partilha é equitativa, apesar de terem equipas e calendários distintos.
3. c) Um supervisor afirma: «Não é preciso trabalhar com quatro grandezas. Como os dias e as horas diárias se multiplicam para dar as horas totais por funcionário, podemos reduzir o problema a apenas três grandezas: funcionários, horas totais por funcionário e hectares». Demonstra se a sua proposta é matematicamente válida analisando a relação de proporcionalidade desta nova grandeza combinada em relação ao número de funcionários.