Exercícios: Mínimo múltiplo comum

Num videojogo de plataformas, a tua personagem consegue um escudo protetor a cada $4$ níveis e uma melhoria de velocidade a cada $6$ níveis. Se acabaste de começar o jogo no nível $0$, em que nível coincidirão pela primeira vez ambas as recompensas? Calcula o resultado obtendo os primeiros múltiplos de cada número.

A reta numérica mostra o primeiro salto de cada recompensa. Continua tu os saltos até encontrares o primeiro nível em que coincidem.

Uma aplicação de mensagens envia uma notificação de "resumo de notícias" a cada $10$ minutos, enquanto outra aplicação de redes sociais o faz a cada $15$ minutos. Se ambas enviaram uma notificação às $10:00$ da manhã, quantos minutos passarão até que voltem a coincidir pela primeira vez? Escreva os conjuntos dos múltiplos de $10$ e $15$ para encontrar o menor comum a ambos.

Calcule no seu caderno o mínimo múltiplo comum dos números $12$ e $18$ utilizando a decomposição em fatores primos. Para isso, siga estes passos:

1. Realize a decomposição em fatores primos de ambos os números.

2. Identifique os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente.

3. Multiplique-os para obter o $m.c.m.(12, 18)$.

Três luzes inteligentes numa montra estão programadas para mudar de cor em intervalos diferentes. A primeira muda a cada $2$ segundos, a segunda a cada $3$ segundos e a terceira a cada $4$ segundos. Se as três se acenderem ao mesmo tempo, quanto tempo demorarão a voltar a mudar de cor simultaneamente?

Sem necessidade de realizar a decomposição fatorial, raciocina qual é o $m.c.m.(5, 20)$. Tem em conta a relação de divisibilidade que há entre ambos os números. O que acontece com o mínimo múltiplo comum quando um número é múltiplo do outro?

Um DJ utiliza dois loops de bateria de durações diferentes. O primeiro loop dura $8$ compassos e o segundo $12$ compassos. A cada quantos compassos serão ambos os loops reiniciados ao mesmo tempo? Utiliza o método da tua preferência (lista de múltiplos ou decomposição em fatores).

Maria e Marcos treinam na pista de atletismo da escola. Maria leva $6$ minutos para dar uma volta completa e Marcos leva $8$ minutos. Se saírem juntos da linha de chegada:

1. a) Após quantos minutos voltarão a cruzar a linha de chegada ao mesmo tempo?
2. b) Calcule quantas voltas cada um terá dado nesse momento.

Encontra o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares de números mentalmente:

1. a) $m.c.m.(2, 5)$
2. b) $m.c.m.(3, 9)$
3. c) $m.c.m.(4, 10)$
4. d) $m.c.m.(7, 11)$

Na aula de Matemática, a Lucía tenta calcular o mínimo múltiplo comum de $12$ e $18$. Para isso, realiza corretamente a decomposição em fatores primos: $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$. No entanto, no passo final escreve no seu caderno:

«Como estamos a procurar o mínimo, devo escolher os fatores comuns que tenham o menor expoente. Portanto: $\text{m.m.c.}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$».

1. a) Localiza o erro de raciocínio da Lucía e explica por que razão o número $6$ jamais poderia ser um múltiplo comum de $12$ e de $18$ atendendo ao significado de múltiplo.
2. b) Corrige o procedimento da Lucía e calcula o resultado correto explicando por que razão a regra do m.m.c. exige escolher os fatores elevados ao maior expoente.

Na estação de autocarros de Coimbra coincidem às $07:00$ da manhã duas partidas: a linha para Figueira da Foz, que passa a cada $15$ minutos, e a linha para Condeixa, que passa a cada $20$ minutos.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo por decomposição fatorial, faz uma estimativa fundamentada: é possível que voltem a coincidir antes de passarem $20$ minutos? Poderiam demorar mais de $15 \cdot 20 = 300$ minutos a voltar a partir ao mesmo tempo? Explica entre que limites lógicos se deve situar o tempo de coincidência.
2. b) Calcula formalmente o $\text{m.m.c.}(15, 20)$ para determinar exatamente quantos minutos demorarão a coincidir de novo e a que horas da manhã isso ocorrerá.
3. c) Verifica se o resultado obtido coincide com a tua estimativa inicial e justifica por que razão o m.m.c. resulta ser bastante menor do que o produto $15 \cdot 20$.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos seguintes grupos de números utilizando a decomposição em fatores primos:

1. a) $m.c.m.(45, 75)$
2. b) $m.c.m.(12, 18, 24)$
3. c) $m.c.m.(80, 120, 200)$

Dois ciclistas profissionais treinam num velódromo circular. O primeiro completa uma volta a cada $108$ segundos, enquanto o segundo, que vai um pouco mais devagar, demora $120$ segundos. Se ambos passarem juntos pela linha de meta neste momento, quantos minutos demorarão a voltar a coincidir no mesmo ponto pela primeira vez?

Em uma central de logística, um dos alarmes de manutenção soa a cada $45$ minutos e outro a cada $60$ minutos. Se às $08:00$ da manhã os dois alarmes coincidiram, a que horas voltarão a soar juntos pela segunda vez depois das $08:00$?

Um centro cultural organiza três atividades diferentes: aulas de robótica a cada $12$ dias, oficinas de teatro a cada $15$ dias e sessões de cineclube a cada $20$ dias. Se hoje as três atividades coincidiram, quantas vezes voltarão a coincidir no mesmo dia ao longo dos próximos $365$ dias?

Num armazém queremos empilhar caixas de dois tipos de produtos diferentes. As caixas do produto A têm uma altura de $18$ cm e as do produto B têm uma altura de $30$ cm. Na figura podes ver uma caixa de cada tipo (as alturas estão desenhadas à mesma escala).

Se empilharmos caixas do produto A numa pilha e caixas do produto B noutra:

1. a) Qual é a altura mínima que ambas as pilhas devem atingir para que tenham exatamente a mesma altura?

1. b) Quantas caixas de cada tipo haverá em cada pilha nesse momento?

A equipa de suporte de uma aplicação de jogos tem três servidores que realizam cópias de segurança de forma automática. O primeiro servidor faz uma cópia a cada $24$ horas, o segundo a cada $36$ horas e o terceiro a cada $48$ horas. Se hoje foram realizadas as três cópias em simultâneo, daqui a quantos dias voltará a ocorrer o mesmo?

Procure o menor número que, ao ser dividido por $15$, $20$ e $35$, dá sempre um resto igual a $0$. Depois de encontrá-lo, indique qual seria o menor número que, ao dividi-lo por esses mesmos valores, desse sempre um resto de $3$.

Uma empresa de transporte tem duas rotas interurbanas. O autocarro da rota Norte passa pela estação central a cada $1$ hora e $15$ minutos. O da rota Sul passa a cada $50$ minutos. Se às $10:00$ da manhã os dois saíram ao mesmo tempo, calcule quantas vezes terão coincidido na estação antes de o dia terminar às $22:00$.

Tens de encontrar o mínimo múltiplo comum em dois casos diferentes:

• Caso 1: $\text{m.m.c.}(14, 28)$

• Caso 2: $\text{m.m.c.}(40, 60)$

Dispões de três estratégias de resolução possíveis:

• Método A: Listar manualmente os primeiros múltiplos de cada número até encontrar o primeiro que coincida.

• Método B: Realizar a decomposição em fatores primos e escolher os comuns e não comuns com o maior expoente.

• Método C: Aplicar a relação de divisibilidade direta, observando se um dos números contém exatamente o outro.

1. a) Para o Caso 1, indica qual dos três métodos te permite deduzir o resultado de forma mais imediata e quase sem fazer operações. Justifica a tua escolha e obtém o valor.
2. b) Para o Caso 2, compara a eficácia do Método A com a do Método B: explica por que razão o Método A se torna pouco prático com números de certa dimensão e resolve o caso aplicando o método que considerares ótimo.

Na estação de Atocha (Madrid), três comboios suburbanos iniciam o seu serviço simultaneamente às $06:00$ da manhã: a linha C-3 para Aranjuez tem uma frequência de partida a cada $15$ minutos, a linha C-4 para Parla parte a cada $20$ minutos e a linha C-5 para Fuenlabrada parte a cada $12$ minutos.

1. a) Traduz esta situação para um modelo matemático: justifica que conceito precisas de calcular para saber o momento em que os três comboios voltarão a partir ao mesmo tempo e determina esse intervalo de tempo através da decomposição em fatores primos.
2. b) A que horas exatas da manhã ocorrerá a seguinte partida simultânea das três linhas?
3. c) Se as frequências se mantiverem invariáveis ao longo do dia e o serviço terminar às $23:30$, calcula quantas vezes no total coincidirão as três partidas simultâneas ao longo de todo o dia (incluindo a partida inicial das $06:00$).

Numa estação espacial, quatro satélites de investigação orbitam à volta de um asteroide. O primeiro completa a sua órbita a cada $12$ horas, o segundo a cada $18$ horas, o terceiro a cada $20$ horas e o quarto a cada $30$ horas. Se hoje às $12:00$ do meio-dia estiverem alinhados pela primeira vez, quantos dias completos deverão passar para que voltem a coincidir exatamente na mesma posição? A que horas do dia ocorrerá esse encontro?

O produto de dois números naturais é $6\,750$ e o seu máximo divisor comum ($M.C.D.$) é $15$. Utilizando a relação existente entre o produto de dois números, o seu $M.C.D.$ e o seu mínimo múltiplo comum ($m.c.m.$), calcule primeiro o valor do $m.c.m.$ desses números. Em seguida, descubra quais são esses dois números sabendo que a sua diferença é exatamente $15$.

Uma empresa de design quer fabricar painéis publicitários quadrados. Para isso, dispõe de três tipos de azulejos retangulares de cores diferentes, cujas dimensões são $12 \times 18$ cm, $15 \times 20$ cm e $18 \times 24$ cm. Querem construir o menor painel quadrado possível que possa ser coberto por qualquer um dos três tipos de azulejos de forma independente (sem os misturar no mesmo painel). Qual deve ser a medida do lado desse painel? Quantos azulejos de cada tipo seriam necessários para o cobrir?

Na biblioteca da escola, estão a reorganizar a secção de narrativa. A bibliotecária observa que, se guardar os livros em caixas de $6$, de $8$ ou de $10$ exemplares, sobram sempre exatamente $3$ livros fora das caixas. Sabendo que o número total de livros da secção está compreendido entre $400$ e $600$, quantos livros há exatamente na secção de narrativa?

Um DJ tem três sequenciadores de luz programados para emitir flashes em intervalos diferentes. O primeiro emite um flash a cada $24$ segundos, o segundo a cada $36$ segundos e o terceiro a cada $40$ segundos. Se às $23:00$ horas os três sequenciadores coincidirem no seu flash, quantas vezes voltarão a coincidir os três simultaneamente estritamente antes de a sessão terminar às $00:00$ horas (meia-noite)?

Descobre o valor de um número natural $x$, sabendo que é menor que $50$ e que as duas condições seguintes se verificam em simultâneo:

• O mínimo múltiplo comum de $24$ e $x$ é $120$.

• O máximo divisor comum de $24$ e $x$ é $4$.

(Dica: Decompõe em fatores primos os números conhecidos e utiliza a definição de m.m.c. e m.d.c.)

Três engrenagens de uma máquina industrial estão ligadas. A engrenagem $A$ tem $45$ dentes, a $B$ tem $60$ dentes e a $C$ tem $75$ dentes. Se a máquina começar a funcionar e marcarmos um ponto de contacto entre as três, quantas voltas completas terá dado cada engrenagem quando voltarem a coincidir pela primeira vez na posição inicial?

Um sistema de segurança informática gera três códigos de acesso automáticos. O primeiro código muda a cada $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ segundos, o segundo a cada $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ segundos e o terceiro a cada $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ segundos.

1. a) Exprime o tempo de mudança de cada código em números decimais.
2. b) Calcula, exprimindo o resultado por meio da sua decomposição em fatores, ao fim de quanto tempo coincidem as três mudanças de código em simultâneo.
3. c) Quantos minutos terão passado entre cada coincidência?

Dois números naturais desconhecidos, $A$ e $B$, cumprem simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O seu mínimo múltiplo comum é $\text{m.m.c.}(A, B) = 360$.

2. Nenhum dos dois números é divisível pelo outro.

3. Ambos os números são estritamente menores do que $360$.

4. O número $A$ é múltiplo de $9$ e o número $B$ é múltiplo de $10$.

1. a) Decompõe $360$ em fatores primos e explica que potências dos fatores primos ($2$, $3$ e $5$) devem estar obrigatoriamente presentes em $A$ ou em $B$ para que o seu m.m.c. contenha todas as necessárias.
2. b) Encontra dois pares diferentes de números $(A, B)$ que cumpram todos os requisitos dados e demonstra através das suas decomposições que o seu m.m.c. é efetivamente $360$.
3. c) Poderia ser $A = 75$? Justifica por que razão é impossível analisando unicamente os fatores primos de $75$ face aos de $360$, sem necessidade de efetuar tentativas.

Uma cooperativa agrícola em Santarém embala espargos com denominação de origem em frascos de vidro. Para preparar os envios, dispõe de caixas de três formatos: caixas pequenas de $12$ frascos, médias de $18$ frascos e grandes de $28$ frascos. A cooperativa encomenda paletes padronizadas com a condição de que cada palete possa ser totalmente completada utilizando exclusivamente caixas de $12$, exclusivamente caixas de $18$ ou exclusivamente caixas de $28$, sem misturar modelos de caixa numa mesma palete e sem que sobre nenhum frasco.

1. a) Calcula a quantidade mínima de frascos que uma palete deve comportar para ser compatível com os três formatos de caixa.
2. b) O responsável de logística propõe que a palete tenha uma capacidade de $1500$ frascos para aproveitar ao máximo o volume do camião. Demonstra, sem efetuar divisões com casas decimais e utilizando unicamente a decomposição em fatores primos do m.m.c., por que razão é impossível que uma palete de $1500$ frascos cumpra a condição requerida.
3. c) Se, por razões de peso e segurança rodoviária, a capacidade de cada palete tiver de estar compreendida obrigatoriamente entre $2000$ e $3000$ frascos, deduz fundamentadamente todas as capacidades possíveis que a palete pode ter.