Exercícios: Máximo divisor comum

Calcula o máximo divisor comum (m.d.c.) dos seguintes números utilizando o método da decomposição em fatores primos (lembra-te: tomam-se os fatores comuns elevados ao menor expoente):

1. a) $12$ e $18$
2. b) $20$ e $30$
3. c) $15$ e $25$

Observe os divisores dos números $24$ e $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir dessas listas:

1. a) Escreva os divisores comuns de ambos os números.
2. b) Identifique qual é o maior desses divisores comuns. Como chamamos esse número?

Num campo de férias de aventura na Serra da Estrela, os monitores têm duas cordas de escalada: uma mede $20$ metros e a outra $28$ metros. Querem cortá-las em pedaços iguais, do maior comprimento possível e sem sobrar nada de corda. Quanto deve medir cada pedaço?

Numa turma do 8.º ano há $24$ alunos e $16$ alunas. O professor de Educação Física quer formar equipas do mesmo tamanho, as maiores possíveis, de modo que em cada equipa haja apenas rapazes ou apenas raparigas.

1. a) Quantos alunos haverá em cada equipa?
2. b) Quantas equipas de rapazes e quantas de raparigas serão formadas?

Um agricultor de Évora produziu $45$ litros de azeite virgem e $60$ litros de óleo de girassol. Quer embalá-los em garrafões iguais que tenham a maior capacidade possível e sem misturar os dois tipos de óleo. Qual deverá ser a capacidade de cada garrafão?

Queremos decorar uma parede da sala de música que mede $120$ cm de altura por $180$ cm de largura com cartolinas quadradas. Se quisermos que as cartolinas sejam as maiores possíveis e que cubram a parede exatamente sem ser preciso cortá-las:

1. a) Quanto deve medir o lado de cada cartolina?
2. b) De quantas cartolinas vamos precisar no total?

Dois números são chamados primos entre si se o seu único divisor comum for o $1$. Verifique se os seguintes pares de números são primos entre si calculando o seu máximo divisor comum:

1. a) $8$ e $15$
2. b) $14$ e $21$
3. c) $9$ e $20$

A Leonor tem uma fita azul de $18$ cm e uma fita vermelha de $24$ cm. Precisa de cortá-las em tiras do mesmo comprimento para fazer laços decorativos. Se quer que as tiras sejam as mais compridas possíveis e não quer desperdiçar nada de fita:

1. a) Qual será o comprimento de cada tira?
2. b) Quantas tiras obterá de cada cor?

O Marcos tem de calcular o máximo divisor comum de $72$ e $120$. Depois de decompor ambos os números em fatores primos, escreve no seu caderno:

E conclui: «Como o m.d.c. é o máximo, escolho todos os fatores que aparecem elevados ao seu maior expoente: $\text{m.d.c.}(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$».

1. a) Sem fazeres cálculos complexos, explica por que razão o resultado do Marcos é impossível, raciocinando sobre o significado da palavra «divisor».
2. b) Que conceito calculou realmente o Marcos em vez do m.d.c.?
3. c) Explica a regra correta para calcular o m.d.c. a partir das decomposições em fatores primos e encontra o resultado correto.

Vais calcular o máximo divisor comum de $48$ e $80$, mas antes de aplicares qualquer algoritmo deves antecipar como será a solução:

1. a) Estima: Sem decompores os números em fatores primos, responde de forma fundamentada:

• O resultado pode ser maior do que $48$? Porquê?

• Sabendo que tanto $48$ como $80$ são pares, o resultado poderia ser um número ímpar?

• Verifica mentalmente se $10$ poderia ser um divisor comum de ambos. Por que razão se descarta de imediato?

1. b) Verifica: Decompõe $48$ e $80$ em fatores primos, calcula o $\text{m.d.c.}(48, 80)$ e verifica se o valor obtido cumpre todas as deduções que fizeste na tua estimativa.

Calcule o Máximo Divisor Comum dos seguintes grupos de números utilizando o método de decomposição em fatores primos:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Lembra-te de expressar primeiro cada número como produto dos seus fatores primos e depois selecionar os fatores comuns elevados ao menor expoente.

Uma loja de artesanato tem duas fitas de seda, uma de cor carmesim que mede $160$ cm e outra de cor turquesa que mede $120$ cm. Pretendem cortar ambas as fitas em pedaços do mesmo comprimento, de modo que sejam o mais compridos possível e não sobre nada de tecido.

1. a) Quanto deve medir cada pedaço?

1. b) Quantos pedaços de cor carmesim se obtêm? E de cor turquesa?

Para o torneio de convivência da escola, inscreveram-se $48$ alunos do 1º do ESO e $60$ alunos do 2º do ESO. Querem-se formar equipes com o mesmo número de pessoas, sem misturar alunos de anos diferentes e de modo que as equipes sejam o mais numerosas possível.

1. a) Quantos alunos haverá em cada equipe?
2. b) Quantas equipes do 1º do ESO haverá no total? E do 2º do ESO?

Um operário municipal quer revestir uma área retangular de um parque que mede $24$ metros de comprimento por $18$ metros de largura. Para isso, vai utilizar azulejos quadrados os maiores possíveis e não quer ter de cortar nenhum.

1. a) Determine a medida do lado de cada azulejo.
2. b) Calcule o número total de azulejos que serão necessários para cobrir toda a superfície.

Um banco alimentar recebeu $210$ latas de conserva de atum, $126$ pacotes de arroz e $84$ frascos de leguminosas. Querem preparar o maior número possível de cabazes idênticos que contenham os três tipos de alimentos, de forma que não sobre nada.

1. a) Quantos cabazes poderão preparar?
2. b) Quantos produtos de cada tipo haverá em cada um dos cabazes?

O Algoritmo de Euclides é um método antigo e eficaz para encontrar o $m.c.d.$ de dois números mediante divisões sucessivas. Consiste em dividir o maior pelo menor; se o resto não for zero, divide-se o divisor pelo resto, e assim sucessivamente até que o resto seja zero. O último divisor utilizado é o $m.c.d.$

Utilize este método para encontrar o $m.c.d.(525, 225)$. Verifique o resultado realizando depois a decomposição fatorial habitual.

Sabe-se que o produto de dois números naturais é $2160$ e que o seu mínimo múltiplo comum ($m.c.m.$) é $180$. Utilizando a relação existente entre o produto de dois números, o seu $m.c.d.$ e o seu $m.c.m.$, descubra qual é o Máximo Divisor Comum desses números.

Um colecionador de banda desenhada tem três prateleiras com as seguintes quantidades: $135$ exemplares de super-heróis, $90$ de manga e $60$ de banda desenhada europeia. Deseja guardá-los em classificadores iguais com o mesmo número de exemplares cada um, sem os misturar e de forma que o número de classificadores seja o menor possível (ou seja, que cada classificador esteja o mais cheio possível).

1. a) Quantos livros de banda desenhada deve colocar em cada classificador?
2. b) Quantos classificadores serão necessários no total para toda a sua coleção?

Para calcular o máximo divisor comum de dois números dispões de diferentes estratégias:

• Método A (Critério de divisibilidade direta): Se o número maior for divisível pelo menor, o menor é diretamente o m.d.c.

• Método B (Lista exaustiva de divisores): Escrever todos os divisores de ambos os números e procurar o maior que coincida.

• Método C (Decomposição em fatores): Decompor em fatores primos e selecionar os comuns com o menor expoente.

Analisa os seguintes dois pares de números:

1) $28$ e $112$

2) $90$ e $126$

Para cada um dos dois pares:

1. a) Escolhe de forma fundamentada qual dos três métodos é o mais rápido e eficiente, justificando por que razão descartas os outros dois nesse caso concreto.
2. b) Aplica o método escolhido para calcular o m.d.c. de cada par.

Uma cooperativa de azeite em Moura quer preparar lotes promocionais idênticos para uma feira gastronómica. Dispõe de três variedades engarrafadas: $168$ garrafas de azeite picual, $252$ garrafas de azeite arbequina e $336$ garrafas de azeite galega.

Desejam embalar todo o azeite em caixas iguais, de modo que cada caixa tenha exatamente a mesma quantidade de garrafas de cada variedade, sem misturar garrafas de forma descompensada e sem que sobre nenhuma garrafa solta. Além disso, para rentabilizar as embalagens, querem preparar o maior número possível de caixas.

1. a) Traduz a situação para a linguagem matemática: que conceito deves calcular para saber quantas caixas se podem montar no máximo? Justifica a tua resposta.
2. b) Calcula quantas caixas promocionais se poderão preparar no total.
3. c) Determina quantas garrafas de cada variedade de azeite conterá cada caixa individual.

Um arquiteto está a projetar o piso de uma sala de troféus de um clube de e-sports. A sala tem forma retangular de $12,6$ metros de comprimento por $7,2$ metros de largura. Pretende-se cobrir o piso com azulejos quadrados do maior tamanho possível, de modo que não seja necessário cortar nenhum e que o design seja perfeitamente simétrico.

No entanto, o arquiteto quer deixar um pequeno canal de ventilação de $60$ cm de largura ao longo de todo o perímetro da sala, por isso a área real a revestir será um retângulo interior menor.

Calcule a medida do lado do maior azulejo que se pode utilizar para cobrir esse retângulo interior e quantos azulejos serão necessários no total.

Encontra dois números naturais, a que chamaremos $x$ e $y$, sabendo que o seu produto é $x \cdot y = 11\,250$ e que o seu mínimo múltiplo comum é $m.c.m.(x, y) = 750$.

Uma empresa de logística quer transportar três tipos de mercadorias em contentores cúbicos iguais, os maiores possíveis, para aproveitar ao máximo o espaço de um grande armazém de carga. As quantidades de mercadoria são medidas em volume:

• Caixas de tecnologia: $1\,512$ $m^3$

• Caixas de alimentação: $1\,848$ $m^3$

• Caixas de têxteis: $1\,260$ $m^3$

Se cada contentor deve ir cheio com um único tipo de mercadoria e não pode sobrar espaço em nenhum deles, qual deve ser o volume de cada contentor cúbico? Quantos contentores de têxteis haverá no armazém?

Utiliza o Algoritmo de Euclides para encontrar o $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Uma vez encontrado, indica se os números são primos entre si e justifica a tua resposta com base nos divisores obtidos durante o processo do algoritmo.

Determine todos os pares de números naturais cuja soma seja $168$ e cujo máximo divisor comum seja $m.c.d.(a, b) = 24$.

Ajuda: Se o MDC for 24, podes escrever os números como $a = 24 \cdot p$ e $b = 24 \cdot q$, em que $p$ e $q$ devem ser primos entre si.

Um centro de resgate de fauna marinha recebeu uma doação de três mangueiras de alta resistência para limpar os tanques. Os comprimentos das mangueiras são de $156$ metros, $144$ metros e $108$ metros.

Querem cortá-las em pedaços do mesmo comprimento, sem sobrar nada, para os distribuir por diferentes equipas de voluntários. O chefe do centro impõe como condição que os pedaços sejam o mais compridos possível, mas, por razões de segurança, nenhum pedaço pode medir mais de $15$ metros.

Qual comprimento deverá ter cada pedaço para cumprir todas as condições? Quantos voluntários receberão uma mangueira?

Têm-se dois números naturais $A$ e $B$ tais que o seu $m.c.d.(A, B) = 15$. Se multiplicarmos o número $A$ por $12$ e o número $B$ por $12$, qual será o novo máximo divisor comum dos números resultantes? Justifique a sua resposta aplicando as propriedades dos divisores.

Imagina que tens um terreno com forma de triângulo escaleno cujos lados medem $210$, $270$ e $330$ metros. Pretende-se colocar postes de madeira em todo o perímetro a distâncias iguais, de modo que haja um poste em cada vértice e que a distância entre os postes seja a máxima possível.

Se cada poste custa $14,50$ € e a mão de obra para colocar cada um é de $6$ €, qual será o orçamento total para cercar o terreno?

Procuram-se dois números naturais de três algarismos, $a$ e $b$ (com $a < b$), dos quais não conhecemos o valor inicial, mas sabemos que cumprem simultaneamente duas condições:

1. a) Aplica a propriedade que relaciona o produto de dois números com o seu m.d.c. e o seu m.m.c. para calcular o valor exato do produto $a \cdot b$.
2. b) Se escrevermos $a = 18 \cdot x$ e $b = 18 \cdot y$, deduz que valor deve ter o produto $x \cdot y$ e raciocina por que razão $x$ e $y$ devem ser obrigatoriamente primos entre si (isto é, não podem partilhar nenhum fator comum).
3. c) Decompõe o produto $x \cdot y$ em fatores primos, analisa todos os possíveis pares de fatores $(x, y)$ que sejam primos entre si e deduz quais são os únicos valores de $a$ e $b$ que cumprem a condição de ambos terem exatamente três algarismos.

Um armazém logístico de encomendas em Lisboa prepara envios para três concelhos do distrito de Setúbal. Têm três paletes com diferente quantidade de pacotes de material escolar: a primeira contém $540$ pacotes, a segunda $720$ e a terceira $900$. Querem reembalá-los em contentores mais pequenos que levem exatamente o mesmo número de pacotes cada um, sem misturar material de diferentes paletes e sem que sobre nenhum pacote.

No entanto, a empresa de transporte impõe duas restrições por motivos de segurança ergonómica:

• Cada contentor deve levar pelo menos $20$ pacotes.

• Nenhum contentor pode levar mais de $50$ pacotes.

1. a) Calcula o $\text{m.d.c.}(540, 720, 900)$ e explica por que razão este resultado por si só não resolve diretamente o problema.
2. b) Raciocina por que razão qualquer tamanho de contentor válido que permita repartir os pacotes sem que sobre nenhum deve ser necessariamente um divisor do m.d.c. obtido.
3. c) Encontra todos os possíveis tamanhos de contentor (número de pacotes por contentor) que cumprem as restrições impostas pela empresa de transporte.
4. d) Que tamanho convém escolher se se pretender utilizar o menor número total de contentores? Calcula quantos contentores serão necessários no total com essa escolha.

Desafio do tema. «Auditoria energética em casa». Torna-te auditor energético da tua casa utilizando dados reais obtidos da tua última fatura de eletricidade ou do site oficial da REN (Redes Energéticas Nacionais). Elabora um breve relatório seguindo estas fases:

1. Dados e notação científica: Consulta o consumo mensal em kWh ($1\text{ kWh} = 3,6 \cdot 10^6\text{ J}$) e transforma-o em joules empregando notação científica e potências. Regista o preço do kWh com decimais (por exemplo, $0,15\text{ \euro}$) e calcula o custo base.

2. Divisibilidade e medidas: Seleciona duas rotinas periódicas de consumo (como ligar a máquina de lavar roupa a cada $3$ dias ou a máquina de lavar loiça a cada $4$) e usa a decomposição em fatores primos e o $\text{m.m.c.}$ para prever quando coincidirão. Além disso, se pretendes isolar uma zona quadrada do teu chão de $12,25\text{ m}^2$, encontra o comprimento do lado aplicando a raiz quadrada.

3. Equação e balanço: Formula e resolve uma equação do primeiro grau para descobrir quantas horas de radiador podes manter ligadas sem ultrapassar um limite de gasto de $45\text{ \euro}$. Desenha numa folha de cálculo um balanço mensal com números inteiros (poupanças positivas e custos negativos).

Será valorizado:

• Rigor no uso de potências, notação científica e operações com decimais.

• Aplicação correta de divisibilidade ($\text{m.m.c.}$) e raízes quadradas.

• Formulação algébrica e resolução válida da equação.

• Organização clara dos dados na folha de cálculo e conclusões fundamentadas.