Exercícios: Divisibilidade

Numa plataforma de streaming, as séries são agrupadas em temporadas. Se uma série tem um total de $42$ episódios, indica quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando brevemente a tua resposta:

1. a) O número $6$ é divisor de $42$.
2. b) $42$ é múltiplo de $5$.
3. c) $42$ é divisível por $14$.

Calcule mentalmente e escreva no seu caderno:

1. a) Os cinco primeiros múltiplos de $12$.
2. b) Todos os divisores do número $24$.
3. c) Os múltiplos de $7$ compreendidos entre $30$ e $60$.

Observe os números que aparecem no painel seguinte e classifique-os em números primos ou números compostos.

Um videojogo exige que insiras um código de quatro algarismos para desbloquear um nível: $3,45\_$. Ajuda o jogador a encontrar o último dígito para que o número cumpra as seguintes condições:

1. a) Que o número seja divisível por $2$ e por $5$ ao mesmo tempo.
2. b) Que o número seja divisível por $3$, mas não por $2$.
3. c) Que seja um múltiplo de $9$.

Faz a decomposição em fatores primos dos seguintes números naturais. Lembra-te de escrever o resultado final como um produto de potências:

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calcule o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos seguintes pares de números:

1. a) $10$ e $15$
2. b) $20$ e $30$
3. c) $8$ e $12$

Duas luzes de um teclado "gamer" piscam de forma diferente. A luz azul acende a cada $6$ segundos e a luz laranja a cada $9$ segundos. Se ambas acenderam ao mesmo tempo agora mesmo, quantos segundos passarão até que voltem a coincidir acesas pela primeira vez?

Marta tem $24$ autocolantes de estrelas e $16$ autocolantes de planetas. Ela quer fazer envelopes de presente iguais (com o mesmo número de estrelas e o mesmo número de planetas em cada um) sem que sobre nenhum autocolante.

Qual é o número máximo de envelopes que ela pode preparar? Quantos autocolantes de cada tipo haverá em cada envelope?

O Marcos tem de verificar num teste se o número $3\,522$ é divisível por $6$. No seu desenvolvimento escreve o seguinte: «Como o último algarismo é $2$, o número é divisível por $2$. No entanto, como esse último algarismo ($2$) não é divisível por $3$, o número $3\,522$ não pode ser divisível por $6$».

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos comete ao verificar a divisibilidade por $3$ e explica por que razão o seu raciocínio está incorreto.
2. b) Aplica de forma correta os critérios de divisibilidade do $2$ e do $3$ para determinar se $3\,522$ é ou não divisível por $6$.

Uma tipografia municipal de Évora produziu $1\,342$ calendários e os trabalhadores devem embalá-los em caixas de $4$ unidades exatas sem que sobre nenhum.

1. a) Sem fazeres divisões por escrito nem aplicares ainda a regra completa, faz uma estimativa rápida: sabendo que $1\,300$ e $40$ são múltiplos de $4$, justifica se consideras razoável que sobre algum calendário.
2. b) Aplica o critério de divisibilidade por $4$ focando-te exclusivamente nos dois últimos algarismos para verificar a tua estimativa.
3. c) Tendo em conta o resultado, indica quantos calendários sobram após encher o número máximo de caixas completas de $4$, ou então quantos calendários faltariam para completar mais uma caixa.

Um programador está a conceber um código de acesso de quatro algarismos. O código segue o formato $35A2$, onde $A$ é um algarismo desconhecido. Para que o código seja válido, o número deve ser divisível por $3$ e por $4$ simultaneamente.

Determine todos os possíveis valores que o algarismo $A$ pode assumir e escreva os números completos resultantes.

Numa convenção de videojogos, quer-se organizar os participantes em equipas. Temos um código de segurança para o acesso que é um número de quatro algarismos da forma $4A2B$.

Para que o código seja válido, deve cumprir duas condições:

1. a) Deve ser divisível por $3$.
2. b) Deve ser divisível por $11$.

Encontra todos os valores possíveis para os algarismos $A$ e $B$.

Calcule o número total de divisores que o número $360$ possui sem necessidade de escrever todos. Para isso:

1. a) Faça a sua decomposição em fatores primos usando potências.
2. b) Aplique a propriedade do produto dos expoentes acrescidos de uma unidade.
3. c) Indique se o número $360$ é um quadrado perfeito, justificando a sua resposta a partir dos expoentes da sua decomposição.

Uma empresa de design de interiores tem dois rolos de fitas LED coloridas: um de luz azul que mede $120$ metros e outro de luz quente que mede $156$ metros. Querem cortar ambos os rolos em pedaços do mesmo comprimento, o maior possível, sem que sobre nada de material.

1. a) Quanto deve medir cada pedaço?
2. b) Quantos pedaços de cada cor obterão, no total?

Três canais de streaming começam a transmitir conteúdo especial hoje às 10:00.

• O canal A transmite um sorteio a cada $18$ horas.

• O canal B transmite uma entrevista a cada $24$ horas.

• O canal C transmite um torneio a cada $30$ horas.

Quantos dias devem passar, no mínimo, para que os três eventos voltem a coincidir à mesma hora? A que horas e em que dia da semana isso ocorrerá se hoje for segunda-feira?

Encontra um número natural que cumpra simultaneamente as seguintes condições:

1. Está compreendido entre $200$ e $250$.

2. É múltiplo de $13$.

3. Ao dividi-lo por $2$ e por $3$ dá uma divisão exata.

Observe os seguintes números poligonais que representam os números pentagonales. Os primeiros termos são $1, 5, 12, 22...$

1. a) Desenhe no seu caderno a disposição de pontos para o quinto número pentagonal.
2. b) Seguindo a sucessão, qual é o valor numérico do quinto e do sexto número pentagonal?
3. c) Verifique se o décimo número pentagonal ($145$) é divisível por $3$, por $5$ e por $11$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Sabendo que o produto de dois números é $2160$ e que o seu máximo divisor comum (M.D.C.) é $12$:

1. a) Calcule o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) desses números utilizando a relação entre M.D.C. e M.M.C.
2. b) Se um dos números é $60$, qual é o outro número?
3. c) Faça a decomposição em fatores primos de ambos os números para verificar se os resultados das alíneas anteriores estão corretos.

Um número natural $N$ cumpre simultaneamente as seguintes três propriedades sobre os seus divisores e fatores:

1. Na sua decomposição em fatores primos apenas aparecem o $2$ e o $3$ (ambos com expoente maior que zero).

2. O número total de divisores de $N$ é exatamente $9$.

3. $N$ é um quadrado perfeito.

1. a) Utiliza a fórmula do número de divisores e a propriedade dos expoentes dos quadrados perfeitos para deduzir de forma justificada quais devem ser os expoentes do $2$ e do $3$ na fatorização de $N$.
2. b) Reconstrói o número $N$, calcula o seu valor e escreve a lista completa dos seus $9$ divisores para verificar que cumpre todas as condições.

O serviço de aluguer de bicicletas públicas de uma cidade portuguesa identifica cada veículo através de um código de quatro algarismos com a estrutura $4X6Y$, onde $X$ e $Y$ são dígitos desconhecidos.

Por motivos de manutenção:

• As bicicletas vão à revisão mensal na oficina se o seu código for divisível por $8$ (os três últimos algarismos formam um múltiplo de $8$).

• Além disso, entram no turno especial de desinfeção semanal se o seu código for divisível por $11$.

1. a) Aplica o critério de divisibilidade por $11$ para encontrar que valor deve ter a soma dos algarismos $X + Y$.
2. b) Tendo em conta que para ser divisível por $8$ o algarismo $Y$ deve ser par, analisa os possíveis pares de dígitos $(X, Y)$ e encontra o único código $4X6Y$ que permite à bicicleta passar tanto na revisão mensal como na desinfeção semanal.

Um famoso influencer quer proteger o acesso à sua conta de edição de vídeo com um código PIN de quatro algarismos da forma $5X4Y$. Para não se esquecer dele, memorizou as seguintes condições baseadas na divisibilidade:

• O número é divisível por $4$.

• O número também é divisível por $9$.

• O algarismo das unidades ($Y$) é maior do que o algarismo dos milhares.

Determine todos os possíveis códigos PIN que cumprem essas condições.

No palco principal de um festival de música, há três sistemas de iluminação robótica. O primeiro sistema emite um flash branco a cada $18$ segundos, o segundo um flash azul a cada $24$ segundos e o terceiro um flash laranja a cada $30$ segundos.

Às $21:00$ horas, os três sistemas coincidem pela primeira vez. Quantas vezes os três flashes voltarão a coincidir exatamente antes de o espetáculo terminar às $22:25$ horas?

Uma empresa de logística deve organizar três tipos de pacotes de ajuda em contentores de transporte. Eles têm $144$ caixas de cobertores, $120$ caixas de alimentos não perecíveis e $84$ caixas de kits de higiene.

Querem carregar o número máximo de contentores iguais, de forma que cada contentor tenha a mesma quantidade de caixas de cada tipo e não sobre nenhuma caixa no armazém.

1. Quantos contentores poderão ser enviados?

2. Que quantidade de caixas de cada tipo haverá em cada contentor?

Um número natural $N$ tem a seguinte decomposição em fatores primos: $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

Sabemos que o número total de divisores de $N$ é exatamente $24$.

1. Calcule o valor do expoente $a$.

2. Determine o valor numérico de $N$.

3. Escreva todos os divisores de $N$ que sejam múltiplos de $15$, mas não de $2$.

Uma câmara municipal quer pavimentar uma praça retangular de $45$ metros de comprimento por $24$ metros de largura utilizando lajes quadradas de pedra. O arquiteto deseja que as lajes sejam o maior possível e que não seja necessário cortar nenhuma.

1. Qual deve ser a medida do lado de cada laje?

2. Se por motivos de orçamento decidirem usar lajes com metade desse tamanho, de quantas lajes precisarão agora para cobrir toda a praça?

O mecanismo de um relógio antigo utiliza duas rodas dentadas que engrenam entre si. A roda $A$ tem $54$ dentes e a roda $B$ tem $36$ dentes. Se colocarmos uma marca vermelha no ponto onde os dentes se tocam neste momento:

1. Quantos dentes da roda $A$ devem passar para que as marcas voltem a coincidir pela primeira vez?

2. Quantas voltas cada roda terá dado nesse instante?

Sabe-se que um número $X$ é múltiplo de $12$ e de $15$ simultaneamente. Além disso, $X$ tem exatamente $12$ divisores naturais.

1. Utilizando a decomposição em fatores primos, deduz qual é o valor de $X$. (Pista: raciocina sobre os expoentes da decomposição).

2. Justifica se o número $X+1$ é um número primo ou composto.

Três satélites artificiais orbitam em torno da Terra. O primeiro completa uma órbita a cada $90$ minutos, o segundo a cada $2$ horas e o terceiro a cada $105$ minutos. Se às $12:00$ do meio-dia estiverem alinhados sobre o meridiano de Greenwich:

1. A que hora exata voltarão a estar alinhados pela primeira vez?

2. Quantas órbitas terá completado o satélite mais lento nesse tempo?

Para descobrir qual é o menor número inteiro positivo $k$ pelo qual se deve multiplicar $N = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3$ para que o resultado seja um quadrado perfeito, duas alunas propõem caminhos distintos:

• Método da Laura: Multiplica todos os fatores com a calculadora para obter o valor numérico completo de $N$ e depois vai experimentando multiplicar por $2, 3, 4\dots$ até verificar com a tecla da raiz quadrada se o resultado é exato.

• Método da Irene: Examina diretamente a paridade dos expoentes na decomposição em fatores primos de $N$ para completar aqueles que não sejam pares.

1. a) Compara ambos os métodos e justifica qual deles é o mais adequado e generalizável, explicando a propriedade da fatorização que define os quadrados perfeitos.
2. b) Aplica o método mais eficiente para calcular o valor exato de $k$ e escreve a decomposição em fatores primos do novo número $N \cdot k$.
3. c) Justifica, a partir da fórmula do número total de divisores, por que razão o número $N \cdot k$ terá necessariamente uma quantidade ímpar de divisores.

A companhia ferroviária CP implementa nos seus bilhetes de alta velocidade um sistema antifraude baseado num código de controlo de seis algarismos com o formato $2A4.5B2$, onde $A$ e $B$ são dígitos desconhecidos.

Para que o leitor do torniquete de acesso valide o bilhete, o código deve satisfazer três condições simultâneas:

1. O número deve ser divisível por $6$.

2. O número deve ser divisível por $11$.

3. O algarismo $A$ deve ser estritamente menor que o algarismo $B$ ($A < B$).

1. a) Traduz o critério de divisibilidade por $6$ numa condição sobre a soma dos algarismos e obtém os possíveis valores que a soma $A + B$ pode tomar.
2. b) Aplica o critério de divisibilidade por $11$ (diferença entre a soma dos algarismos nas posições ímpares e a soma nas posições pares) para deduzir que relação matemática exata existe entre $A$ e $B$.
3. c) Combina todas as conclusões anteriores juntamente com a condição $A < B$ para determinar fundamentadamente todos os códigos de bilhete válidos que a máquina pode gerar.