Exercícios: Conceito

Na vida quotidiana, usamos os números inteiros para expressar situações opostas em relação a um ponto de referência ou "ponto zero". Associa cada um dos seguintes enunciados ao número inteiro (positivo ou negativo) que melhor o represente:

• a) Um mergulhador encontra-se a $15$ metros de profundidade abaixo do nível do mar.

• b) Um alpinista subiu até ao topo de uma montanha de $2300$ metros de altura.

• c) O saldo do teu cartão de transporte público é de $4$ euros de dívida.

• d) Um avião voa a uma altitude de $9500$ metros.

• e) A temperatura numa estação de esqui é de $7$ graus abaixo de zero.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados vários pontos com letras. Indique qual é o número inteiro que corresponde a cada uma das letras representadas:

Considerando que a distância entre duas marcas pequenas consecutivas é de $1$ unidade, determine os valores de $A$, $B$, $C$ e $D$.

O valor absoluto de um número inteiro é a distância que o separa do zero na reta numérica, sem ter em conta o seu sentido. Calcule os seguintes valores absolutos:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Dois números inteiros são opostos se estão à mesma distância do zero, mas em lados diferentes da reta numérica. Escreva o oposto de cada um dos seguintes números e represente-os em pares numa pequena reta numérica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

Numa cidade do norte de Portugal, foram registadas as seguintes temperaturas mínimas durante a primeira semana de janeiro:

• Segunda-feira: $-4$ ºC

• Terça-feira: $-7$ ºC

• Quarta-feira: $0$ ºC

• Quinta-feira: $+2$ ºC

• Sexta-feira: $-1$ ºC

• Sábado: $+3$ ºC

• Domingo: $-5$ ºC

Ordene estes dias do mais frio para o menos frio (ou seja, da menor para a maior temperatura) utilizando o símbolo $<$ entre os valores.

Um elevador de um centro comercial muito grande tem pisos acima e abaixo do solo. Se considerarmos o rés do chão (rua) como o número $0$:

• a) A que piso chegamos se estivermos na cave $-3$ e subirmos $5$ pisos?

• b) A que piso chegamos se estivermos no piso $+2$ e descermos $4$ pisos?

• c) Se estivermos na cave $-2$ e quisermos subir até ao piso $+4$, quantos pisos devemos subir?

Compara os seguintes pares de números inteiros utilizando os sinais $>$ (maior que) ou $<$ (menor que):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Escreva todos os números inteiros $x$ que satisfazem as seguintes condições ao mesmo tempo:

1. O seu valor absoluto é menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. São números menores que $2$ ($x < 2$).

3. São números maiores ou iguais a $-3$ ($x \geq -3$).

Represente-os sobre uma reta numérica.

Num boletim meteorológico analisam-se as temperaturas mínimas registadas pelo IPMA em três concelhos do distrito de Bragança: Vimioso ($-14\,^\circ\text{C}$), Mogadouro ($-6\,^\circ\text{C}$) e Vinhais ($-9\,^\circ\text{C}$). Na aula, o Marcos afirma o seguinte: «Como $|-14| = 14$, $|-9| = 9$ e $|-6| = 6$, e sabemos que $6 < 9 < 14$, a ordem da menor para a maior temperatura deve ser $-6\,^\circ\text{C} < -9\,^\circ\text{C} < -14\,^\circ\text{C}$, porque o menor número inteiro é sempre o que tem menor valor absoluto».

1. a) Localiza e explica detalhadamente o erro conceptual que o Marcos comete ao comparar números inteiros negativos a partir dos seus valores absolutos.
2. b) Apoiando-te na posição dos números na reta numérica em relação ao zero, escreve a ordenação correta das três temperaturas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$.

Um ponto misterioso $P(x, y)$ tem coordenadas formadas por números inteiros e deves descobrir a sua posição exata a partir das seguintes pistas:

1. O ponto $P$ está situado no quadrante II do plano cartesiano.

2. A distância da sua abcissa $x$ à origem na reta numérica é de $5$ unidades (isto é, $|x| = 5$).

3. A sua ordenada $y$ cumpre que $op(y) = -3$.

1. a) Deduz fundamentadamente o valor do número inteiro $x$ combinando a pista 1 e a pista 2.
2. b) Deduz o valor do número inteiro $y$ a partir da pista 3, aplicando a propriedade do oposto.
3. c) Escreve as coordenadas definitivas do ponto $P(x, y)$ e indica em que quadrante ficaria situado o seu ponto simétrico $Q(op(x), op(y))$, justificando o sinal de cada uma das suas coordenadas.

Numa expedição científica, um balão-sonda meteorológico sobrevoa um vulcão a uma altitude de $+125$ metros acima do nível do mar, enquanto uma sonda robotizada está a explorar o fundo de um lago próximo a uma profundidade de $-84$ metros.

1. a) Representa ambas as posições numa reta numérica vertical, situando o nível do mar na origem.

1. b) Calcula a distância total, em valor absoluto, que separa o balão da sonda.

1. c) Se a sonda subir $30$ metros, qual será a sua nova posição? Expressa-a com um número inteiro.

Uma equipa de arqueologia submarina está a explorar os destroços de um galeão antigo. Eles usam um pequeno submarino de pesquisa para documentar a descoberta. Expresse com números inteiros as seguintes situações:

1. a) O navio-mãe encontra-se na superfície do mar.
2. b) O galeão está assente no leito marinho, a uma profundidade de $45$ metros.
3. c) O submarino desce da superfície até uma fenda situada $12$ metros abaixo do galeão.
4. d) Após explorar a fenda, o submarino sobe $25$ metros para fotografar o mastro do navio.

Represente estas quatro posições numa linha vertical graduada onde a origem seja o nível do mar.

Ordene do menor para o maior os seguintes valores utilizando os símbolos $<$ ou $>$. Recomendamos calcular primeiro o valor numérico de cada expressão:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados três pontos, $X$, $Y$ e $Z$.

Se cada divisão da reta representa $2$ unidades:

1. a) Escreva as coordenadas dos pontos $X$, $Y$ e $Z$.
2. b) Calcule a distância entre o ponto $X$ e o ponto $Z$.
3. c) Escreva o oposto de $X$ e represente-o na reta.

Num referencial cartesiano, desenhámos três vértices de um retângulo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(4, −1)$.

1. a) Represente os pontos no plano.
2. b) Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para completar o retângulo.
3. c) Em que quadrante se encontra cada um dos vértices?
4. d) Calcule o perímetro do retângulo contando as unidades da quadrícula.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, dê um exemplo (contraexemplo) que demonstre isso:

1. a) O valor absoluto de um número é sempre maior que o próprio número.
2. b) Se dois números são negativos, é maior aquele que tem menor valor absoluto.
3. c) O oposto de um número inteiro é sempre um número negativo.
4. d) A distância entre um número e o seu oposto é sempre o dobro do seu valor absoluto.

Complete a seguinte pirâmide mágica de números inteiros. A regra é muito simples: o valor de cada casa é a soma dos dois números que estão logo abaixo.

Um jogo eletrónico de plataformas pontua os movimentos de uma personagem sobre uma linha horizontal.

• Por cada moeda de ouro apanhada, a personagem avança $+5$ posições.

• Por cada obstáculo atingido, a personagem recua $op(+3)$ posições.

• Se cair numa armadilha, fica na posição $-|−10|$.

Calcule a posição final da personagem se:

1. Começa na origem ($0$).

2. Apanha $4$ moedas de ouro.

3. Atinge $2$ obstáculos.

4. Cai numa armadilha.

5. Finalmente, avança mais $8$ posições.

O Instituto Geográfico Nacional (IGN) toma como cota zero ($0\text{ m}$) o nível médio do mar em Cascais para medir altitudes em Portugal. Uma equipa de oceanógrafos e topógrafos monitoriza quatro pontos numa zona costeira:

• O ponto $A$ é uma boia ancorada exatamente ao nível do mar ($0\text{ m}$).

• O ponto $B$ é uma baliza numa falésia situada a uma altitude de $+42\text{ m}$.

• O ponto $C$ é a entrada de uma gruta submarina cuja cota é dada por $op(|-28|)\text{ m}$.

• O ponto $D$ é o fundo de uma fossa marinha situado a uma cota de $-42\text{ m}$.

1. a) Determina o número inteiro que expressa a cota de cada um dos quatro pontos.
2. b) Justifica quais destas quatro cotas pertencem ao conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$ e quais pertencem a $\mathbb{Z}$ mas não a $\mathbb{N}$.
3. c) Compara as posições de $B$ e $D$: têm a mesma cota? Estão à mesma distância do nível do mar? Justifica a resposta utilizando os conceitos de número oposto e valor absoluto.
4. d) Ordena as quatro cotas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$.

Considera os seguintes dois números inteiros definidos a partir de opostos e valores absolutos:

$$A = op(|-18|)$$ $$B = op(op(-11))$$

1. a) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo numérico direto, fundamenta baseando-te exclusivamente nas definições de valor absoluto e de número oposto qual deve ser o sinal final de $A$ e qual o de $B$. A partir dessa dedução de sinais e comparando os valores absolutos, estima qual dos dois números deve ser forçosamente o menor na reta numérica.
2. b) Calcula: Aplica passo a passo as propriedades para simplificar $A$ e $B$, obtendo o número inteiro exato que cada um representa.
3. c) Verifica: Verifica se a ordem numérica obtida confirma a tua estimativa prévia. De seguida, calcula a distância que separa ambos os números na reta numérica e justifica se é razoável que essa distância seja menor do que $10$ unidades.

Um criador de conteúdo analisa a evolução dos seus subscritores durante uma semana. Na segunda-feira começou com um valor base. As alterações diárias foram registadas da seguinte forma: terça-feira ($+150$), quarta-feira (o dobro da perda de quinta-feira), quinta-feira ($-200$), sexta-feira (um aumento igual ao valor absoluto da perda de quinta-feira) e sábado (um aumento que deixou o saldo semanal total em exatamente $0$ em relação a segunda-feira).

Calcula o número inteiro que representa a variação de quarta-feira e o número inteiro que representa a variação de sábado. Representa numa reta numérica as variações de cada dia, situando o $0$ como o estado inicial de segunda-feira.

Encontra todos os números inteiros $x$ que satisfazem simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu valor absoluto é menor que $10$, ou seja: $|x| < 10$.

2. É um número estritamente menor que o seu oposto: $x < Op(x)$.

3. Ao somar $-3$ a ele, o resultado é um número cujo valor absoluto é maior que $5$.

Enumera os números obtidos e representa-os na reta numérica.

Um drone de reconhecimento submarino parte de uma plataforma situada a $15$ metros acima do nível do mar ($+15$ m). Realiza os seguintes movimentos consecutivos:

• Desce $27$ metros para recolher amostras.

• Sobe uma distância igual a metade do valor absoluto da sua posição atual.

• Finalmente, desce até uma zona abissal situada a $-120$ metros.

Determina o número inteiro que representa a posição do drone após o segundo movimento e calcula a distância total percorrida pelo drone durante os três movimentos.

Considere dois números inteiros $a$ e $b$ dos quais sabemos o seguinte:

• O valor absoluto de $a$ é $12$.

• O oposto de $b$ é $-15$.

• A distância entre $a$ e $b$ na reta numérica é a menor possível.

A partir destes dados:

1. a) Identifique os valores de $a$ e $b$.
2. b) Qual é o maior número inteiro $k$ tal que $a < k < b$?
3. c) Se multiplicarmos $a$ por um número negativo, o resultado será maior ou menor que $b$? Justifique a resposta.

Num videojogo de estratégia, as coordenadas da tua base são $A(-3, 4)$. Deves colocar um posto avançado num ponto $B$ que cumpra as seguintes condições:

1. A sua abcissa (coordenada $x$) é o simétrico da abcissa de $A$.

2. A sua ordenada (coordenada $y$) é um número inteiro negativo cujo valor absoluto é $2$.

Usa a quadrícula para representar ambos os pontos (cada quadradinho mede uma unidade):

1. a) Determina as coordenadas do ponto $B$.

1. b) Representa $A$ e $B$ no plano cartesiano e indica em que quadrante se encontra cada um.

1. c) Qual é o deslocamento horizontal e vertical necessário para ir de $A$ a $B$?

Temos três números inteiros consecutivos cuja soma é um número negativo. Se o valor absoluto do número intermédio é $1$:

1. a) Quais são esses três números?
2. b) Ordena do menor para o maior os valores absolutos desses números.
3. c) O que acontece com o sinal da soma se escolhermos os três números inteiros consecutivos "maiores" (mais à direita na reta) que continuam a ser todos negativos?

Analise as seguintes afirmações e determine se são verdadeiras ou falsas, apresentando um contraexemplo para as que considerar falsas:

1. Se $|a| > |b|$, então cumpre-se sempre que $a > b$.

2. O valor absoluto da soma de dois números inteiros é sempre igual à soma dos seus valores absolutos: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Se $n$ é um número inteiro negativo, então o seu oposto $Op(n)$ é sempre maior do que $n$.

4. A distância entre dois números opostos é sempre o dobro do valor absoluto de um deles.

Num laboratório criogénico, uma amostra encontra-se a $-18$ ºC. O sistema de controlo permite realizar dois tipos de ajustes:

• Ajuste A: Somar $-5$ ºC à temperatura atual.

• Ajuste B: Mudar a temperatura para a sua oposta e depois subtrair $10$ ºC.

Se aplicarmos primeiro o Ajuste B e depois o Ajuste A, qual será a temperatura final? Seria o mesmo resultado se aplicássemos primeiro o Ajuste A e depois o Ajuste B? Justifica a tua resposta realizando ambos os cálculos passo a passo.

Pretende-se determinar em que quadrante do plano cartesiano se situa qualquer ponto $P$ cujas coordenadas são dadas pelas expressões algébricas $P(op(|a|), op(op(b)))$, sabendo unicamente como dado de partida que $a$ é um número inteiro negativo ($a < 0$) e que $b$ é um número inteiro positivo ($b > 0$).

Dois alunos propõem dois métodos de resolução distintos:

• Método 1 (Beatriz - Verificação com valores particulares): Escolhe valores numéricos concretos que cumpram as condições, por exemplo $a = -5$ e $b = +2$. Substitui esses valores nas coordenadas de $P$, calcula os números inteiros resultantes e deduz o quadrante a partir dos sinais obtidos.

• Método 2 (Tomás - Dedução geral por propriedades): Argumenta que para qualquer $a \ne 0$ o seu valor absoluto é estritamente positivo ($|a| > 0$), pelo que o seu oposto $op(|a|)$ deve ser negativo; e que pela propriedade $op(op(b)) = b$, a segunda coordenada mantém o sinal positivo de $b$.

1. a) Aplica o Método 1 da Beatriz mostrando todos os passos de cálculo e determina o quadrante que obténs.
2. b) Aplica o Método 2 do Tomás justificando rigorosamente o sinal final da abcissa e da ordenada.
3. c) Compara criticamente ambos os métodos: o método da Beatriz garante que a conclusão seja válida para todos os possíveis números inteiros que cumprem a condição? Que riscos tem esse caminho face à dedução do Tomás? Justifica qual dos dois métodos é matematicamente rigoroso.

Dois números inteiros desconhecidos, $x$ e $y$, cumprem simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. Ambos pertencem a $\mathbb{Z}$, mas nenhum deles pertence a $\mathbb{N}$, e nenhum é igual a $0$.

2. O número inteiro $x$ é estritamente maior do que o número inteiro $y$ ($x > y$).

3. A soma das suas distâncias ao zero na reta numérica é igual a dez: $|x| + |y| = 10$.

4. O oposto de $x$ é igual a três: $op(x) = +3$.

1. a) Deduz o valor do número inteiro $x$ a partir da condição 4. Justifica se esse valor cumpre a condição 1.
2. b) Substitui o valor absoluto de $x$ na condição 3 para obteres o valor de $|y|$. Que dois números inteiros têm esse valor absoluto como distância à origem?
3. c) Utiliza as condições 1 e 2 para descartares um dos dois possíveis valores e determinares o único valor possível de $y$. Justifica o descarte comparando os valores absolutos dos números negativos em jogo.
4. d) Com os valores encontrados de $x$ e $y$, determina fundamentadamente em que quadrante do plano cartesiano se situa o ponto $R(op(x), op(y))$.