Exercícios: Fração geratriz de um número decimal

Classifica os seguintes números conforme sejam decimais exatos, dízimas periódicas puras ou dízimas periódicas mistas. Depois, indica para cada um deles qual é a sua parte inteira e, se tiverem, o seu período e o seu anteperíodo.

1. a) $2,75$

1. b) $1,\widehat{6}$

1. c) $0,1\widehat{25}$

1. d) $34,\widehat{09}$

Calcule a fração geratriz destes decimais exatos. Não se esqueça de simplificar a fração até chegar à fração irredutível.

1. a) $0,8$
2. b) $1,25$
3. c) $0,064$
4. d) $12,5$

Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples:

1. a) $0,\widehat{4}$
2. b) $0,\widehat{15}$
3. c) $2,\widehat{3}$
4. d) $1,\widehat{72}$

Escreva na forma de fração irredutível as seguintes dízimas infinitas periódicas mistas:

1. a) $0,1\widehat{6}$
2. b) $1,2\widehat{3}$
3. c) $0,0\widehat{5}$
4. d) $2,1\widehat{45}$

Um relógio inteligente indica que completaste $0,65$ do teu objetivo diário de passos, como mostra o anel da figura. Que fração do total de passos representa esta quantidade? Expressa o resultado como uma fração irredutível.

Ontem choveu muito e o udómetro da escola recolheu um total de $3,\widehat{3}$ litros por metro quadrado. Como expressarias essa quantidade exata de água usando uma fração?

A Amina e o Marcos estão a comparar o quanto avançaram na leitura de um livro. A Amina diz que leu $\frac{3}{4}$ do livro, e o Marcos diz que leu $0,75$ partes.

Calcule a fração geratriz do número do Marcos e verifique se realmente leram o mesmo.

Calcula o resultado da seguinte operação, passando primeiro os números decimais a fração geratriz e operando depois:

Para determinar a fração geratriz da dízima periódica mista $0,2\widehat{5}$, o Marcos escreve no quadro o seguinte procedimento:

Ao ser questionado pelo professor, o Marcos justifica-se dizendo: «O numerador é a subtração entre o número formado pelos algarismos sem vírgula e a parte não periódica, e no denominador coloco dois noves porque a seguir à vírgula há no total dois algarismos decimais».

1. a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual cometeu o Marcos ao determinar o denominador da fração.
2. b) Escreve a regra correta para este tipo de números e calcula a fração geratriz irredutível de $0,2\widehat{5}$.
3. c) Verifica que o teu resultado é o correto efetuando à mão a divisão do teu numerador pelo teu denominador até obteres pelo menos três casas decimais.

Propõe-se calcular o valor exato da seguinte soma de dízimas periódicas simples:

1. a) Sem usares papel nem lápis para fazer contas, faz uma estimativa mental rápida do resultado arredondando cada parcela às décimas (uma única casa decimal). Que valor aproximado obténs?
2. b) Determina a fração geratriz de cada uma das duas parcelas e soma-as para obteres o resultado exato sob a forma de fração irredutível.
3. c) Escreve o resultado exato como número inteiro ou decimal. Compara-o com a tua estimativa da alínea a) e explica por que razão em matemática é imprescindível utilizar frações geratrizes ao operar com infinitas casas decimais periódicas.

Num popular videojogo de estratégia, a velocidade de ataque de um herói aumenta por um fator de $1,75$ e a sua defesa é multiplicada por $0,\hat{6}$. Para realizar cálculos precisos no motor do jogo, os programadores precisam de trabalhar com frações. Obtém as frações geratrizes irredutíveis de ambos os números para os ajudar.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. O ponto $A$ representa o número decimal $0,8\hat{3}$ e o ponto $B$ representa o número $1,\hat{2}$.

Calcule a fração geratriz de cada ponto e encontre a distância exata que há entre $A$ e $B$ expressa como uma única fração irredutível.

Um "streamer" da Twitch calculou que a duração média das suas subscrições é de $2,41\hat{6}$ meses. Se ele quer expressar esse tempo de forma exata para o seu relatório trimestral:

1. Identifique que tipo de número decimal ele é.

2. Calcule a sua fração geratriz seguindo os passos do método das potências de 10.

3. Simplifique a fração até que seja irredutível.

Numa aula de Educação Física, três alunos cronometraram quanto tempo demoram a percorrer 100 metros rasos. Os tempos obtidos foram:

• Sara: $12,5$ segundos.

• João: $12,\hat{5}$ segundos.

• Beatriz: $12,0\hat{5}$ segundos.

Exprime o tempo de cada aluno na forma de fração geratriz irredutível e ordena-os do mais rápido para o mais lento.

Calcule o valor da seguinte expressão de forma exata. Para isso, primeiro deves transformar cada número decimal na respetiva fração geratriz irredutível:

O armazenamento de uma aplicação de mensagens ocupa atualmente $3,875$ GB da memória de um telemóvel. O utilizador decide apagar ficheiros e liberta um espaço equivalente a $1,\hat{45}$ GB.

1. Calcule a fração geratriz do espaço ocupado inicialmente.

2. Calcule a fração geratriz do espaço libertado.

3. Que fração de GB permanece ocupada no telemóvel? Exprima o resultado como fração irredutível.

Um jovem designer gráfico está a criar um logótipo baseado em círculos concêntricos. O raio do círculo interior deve ser exatamente $\frac{7}{9}$ do raio do círculo exterior. Se o raio do círculo exterior mede $4,5$ cm:

1. Expressa o raio do círculo interior como um número decimal exato.

2. Se a área do círculo exterior é calculada como $A = \pi \cdot r^2$, e usamos a aproximação $\pi \approx 3,14$, calcula a área do círculo pequeno utilizando sempre a fração geratriz para obteres a máxima precisão possível.

Diz-se que um número é "curioso" se, ao somar os algarismos do seu numerador e do seu denominador na fração geratriz irredutível, obtemos o mesmo valor. Verifique se os números $0,4\hat{6}$ e $1,\hat{3}$ são números "curiosos" calculando as suas frações geratrizes.

Encontra a fração geratriz da dízima infinita periódica simples $12,\widehat{3}$. Para isso, segue o método algébrico designando o número por $x$ e multiplicando pela potência de 10 adequada para subtrair as expressões e eliminar a parte decimal. Não te esqueças de simplificar o resultado.

Relaciona no teu caderno cada número decimal com a sua fração geratriz irredutível correspondente. Tem cuidado, há uma fração que não corresponde a nenhum dos números:

Um alfaiate precisa de comprar tecido para confecionar alguns fatos de mascarar. O modelo exige exatamente $2,0\widehat{4}$ metros de tecido azul. Na loja, os pedaços de tecido são vendidos apenas em medidas fracionárias. Qual dos seguintes pedaços deve o alfaiate escolher se deseja a medida exata?

1. a) $\frac{202}{99}$ metros.
2. b) $\frac{37}{18}$ metros.
3. c) $\frac{92}{45}$ metros.

Observe a seguinte reta numérica onde foram assinalados três pontos: $A$, $B$ e $C$. O ponto $B$ representa o número decimal $1,2\widehat{7}$. Determine a sua fração geratriz irredutível e justifique entre quais dois números inteiros se encontra esse ponto.

Na fatura da água de um município português, o contador telemático de uma habitação registou um consumo bimestral de $12,8\widehat{3}\text{ m}^3$. A tarifa do município estabelece um preço de $1,80\text{ €}$ por cada metro cúbico consumido, ao qual se deve somar uma taxa fixa de serviço de $5,50\text{ €}$.

1. a) Para que a fatura não contenha erros por arredondamento de algarismos infinitos, o sistema informático deve converter a leitura do contador na sua fração geratriz. Determina essa fração irredutível de metros cúbicos.
2. b) Exprime o preço do metro cúbico ($1,80\text{ €}$) como fração irredutível e calcula o custo exato do consumo de água (sem a taxa fixa) multiplicando ambas as frações.
3. c) Soma a taxa fixa para obteres o valor total exato da fatura.
4. d) Se a empresa tivesse aproximado o consumo a duas casas decimais ($12,83\text{ m}^3$), qual teria sido o valor final cobrado? Teria saído beneficiada a família ou a empresa fornecedora? Justifica a tua resposta calculando a diferença exata.

Procura-se uma dízima periódica simples $D = 0,\widehat{a}$ (onde $a$ é um algarismo de $1$ a $9$) que satisfaça a seguinte condição: ao multiplicá-la pela dízima finita $1,5$ e somar-lhe depois a fração $\frac{1}{6}$, obtém-se exatamente o número inteiro $1$.

1. a) Escreve a fração geratriz do número $D$ em função da incógnita $a$.
2. b) Converte o número decimal exato $1,5$ numa fração irredutível e formula uma equação com todas as frações geratrizes que traduza o enunciado.
3. c) Resolve a equação para descobrires o valor do algarismo $a$ e escreve a dízima periódica $D$ procurada.
4. d) Verifica o resultado substituindo o valor obtido na expressão combinada original e resolvendo-a passo a passo.

Calcule o valor exato da seguinte expressão combinada. Para evitar erros de aproximação, transforme cada número decimal na sua respetiva fração geratriz antes de operar e simplifique o resultado até obter uma fração irredutível:

Um jovem programador está a projetar um videojogo e precisa de definir a probabilidade de aparecer um objeto raro. O código exige que a probabilidade seja inserida como uma fração irredutível, mas o motor gráfico devolve o valor no formato de dízima periódica mista: $P = 0,02\widehat{45}$.

Determina a fração geratriz que o programador deve inserir e justifica se essa probabilidade é maior ou menor que $\frac{1}{40}$.

Numa escavação arqueológica no antigo Egito, encontrou-se um azulejo quadrado cuja superfície mede exatamente $5,4\widehat{4}$ decímetros quadrados. Os arqueólogos precisam de saber a medida do lado do azulejo para reconstruir o mosaico original.

Determine o comprimento do lado em forma de fração e, posteriormente, calcule o perímetro do azulejo, expressando-o como um número decimal.

Encontra um algarismo $x$ para que a dízima periódica simples $0,\widehat{x7}$ tenha como fração geratriz uma expressão cujo denominador simplificado seja $33$. Existe mais do que uma solução? Justifica a tua resposta a analisar a soma dos algarismos do numerador.

Um drone de vigilância percorre uma distância de $14,2\widehat{7}$ quilómetros num tempo de $0,3\widehat{8}$ horas. Para calcular a velocidade média com total precisão (sem arredondar em passos intermédios), o sistema de controlo deve operar com frações.

Calcule a velocidade média do drone em km/h utilizando as frações geratrizes. Exprima o resultado final como um número inteiro ou uma fração irredutível.

Dois tanques de produtos químicos contêm misturas diferentes. O primeiro tem $2,1\widehat{6}$ litros de um reagente e o segundo tem $1,8\widehat{3}$ litros. Se misturarmos ambos os conteúdos num terceiro recipiente e, devido à evaporação, se perder a quarta parte do total da mistura:

1. a) Que volume de líquido resta no recipiente? (Utiliza frações geratrizes para o cálculo).
2. b) O resultado é uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica?

Sabemos que no sistema de numeração decimal, o número $0,\widehat{9}$ é igual a $1$. Demonstra-o utilizando o algoritmo da fração geratriz.

De seguida, utiliza essa mesma lógica para fundamentar a que número decimal exato equivale a dízima periódica mista $4,2\widehat{9}$ e verifica a tua resposta calculando a soma $4,2 + 0,0\widehat{9}$ através de frações.

Um satélite envia dados em rajadas de microssegundos. Uma rajada dura $0,\widehat{142857}$ segundos. O centro de controlo recebe $2,1$ rajadas por cada ciclo de relógio.

Se um ciclo de relógio dura exatamente o que indica a soma dessas rajadas, calcule a duração de um ciclo expressando-a como uma fração irredutível.

Calcule o resultado exato da seguinte operação combinada. Para isso, é imprescindível que obtenha primeiro as frações geratrizes de cada número decimal e simplifique os resultados intermédios:

Um agricultor ecológico projetou um reservatório de rega cuja base é retangular. As dimensões da base são $2,\widehat{6}$ metros de comprimento e $1,125$ metros de largura. Se ele deseja instalar uma lona protetora que cubra exatamente toda a superfície da base, qual deve ser a área dessa lona? Expresse o resultado como uma fração irredutível de metro quadrado.

Num ensaio de laboratório, um cientista mistura três substâncias. A primeira pesa $\frac{5}{9}$ de grama, a segunda pesa $0,\widehat{4}$ gramas e a terceira pesa $0,\widehat{09}$ gramas. Demonstra, utilizando as frações geratrizes, que a soma total das três substâncias é exatamente $\frac{12}{11}$ de grama.

Encontra o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade, expressando primeiro os números decimais como frações:

Um programa de televisão propõe o seguinte desafio: "Procure o menor número natural, diferente de zero, que, ao ser multiplicado pela dízima periódica composta $0,1\widehat{36}$, resulte num número inteiro". Qual é esse número? Explique os passos seguidos.

Três irmãos herdaram uma propriedade e dividem-na da seguinte maneira: o mais velho fica com $0,4\widehat{6}$ da propriedade, o do meio com $0,3\widehat{18}$ e o mais novo com o restante.

1. a) Calcule a fração geratriz da parte que corresponde a cada um dos dois irmãos mais velhos.
2. b) Que fração do total resta para o irmão mais novo? Expresse o resultado como fração irredutível.

Ordene do menor para o maior os seguintes números reais. Para os poder comparar com precisão, transforme todas as dízimas nas suas frações geratrizes e procure um denominador comum:

Sabe-se que um camião-cisterna transporta $12\,000$ litros de leite. Na primeira paragem, descarrega $0,2\widehat{3}$ do total. Na segunda paragem, descarrega $\frac{3}{11}$ do que restava.

1. a) Quantos litros restam no camião depois da segunda paragem?
2. b) Expresse a quantidade total descarregada entre as duas paragens, em litros, como uma dízima periódica, indicando se é simples ou composta.

Para calcular o valor exato da expressão combinada:

Três alunos do 8.º ano debatem sobre qual é a melhor estratégia:

• Daniel (Atalho decimal): Observa que $1,\widehat{6}$ e $0,\widehat{6}$ têm exatamente o mesmo período, pelo que propõe subtraí-los diretamente no formato decimal ($1,\widehat{6} - 0,\widehat{6} = 1$) antes de passar para fração.

• Sara (Método padrão): Propõe passar desde o primeiro momento todos e cada um dos quatro números decimais periódicos para a sua fração geratriz irredutível e operar unicamente com frações, respeitando a prioridade das operações.

• Lucas (Aproximação decimal): Propõe arredondar cada número às duas casas decimais ($1,67$; $0,67$; $0,33$; $2,17$), calcular o resultado com decimais e depois procurar a que fração se assemelha.

1. a) Desenvolve o procedimento completo segundo o método da Sara e determina o resultado exato como uma fração irredutível.
2. b) Aplica o atalho do Daniel no numerador e completa o resto da operação. Chega-se ao mesmo resultado que com o método da Sara? Justifica matematicamente por que razão é legítimo o atalho do Daniel neste caso concreto e alerta para o perigo que existiria se os períodos não fossem idênticos.
3. c) Calcula o resultado numérico que o Lucas obteria com as suas aproximações. Compara o seu valor com o resultado exato obtido nas alíneas anteriores e argumenta por que razão o método do Lucas não é aceitável num cálculo exato.

Consideremos duas dízimas periódicas simples menores que $1$, formadas por dois algarismos no período que estão invertidos entre si: $N_1 = 0,\widehat{ab}$ e $N_2 = 0,\widehat{ba}$, onde $a$ e $b$ são algarismos distintos não nulos tais que $a > b$.

1. a) Escreve a fração geratriz de $N_1$ em função dos algarismos $a$ e $b$. Lembra-te de que o número formado por dois algarismos $ab$ equivale a $10a + b$.
2. b) Exprime a soma $N_1 + N_2$ através de uma única fração algébrica e demonstra que essa soma pode ser sempre simplificada de forma a que o seu denominador seja $9$, independentemente de quais sejam os algarismos $a$ e $b$.
3. c) Sabe-se que a soma exata dos dois números é $N_1 + N_2 = 1,\widehat{2}$ e que a sua diferença exata é $N_1 - N_2 = 0,\widehat{27}$.

1. Formula um sistema de duas equações a duas incógnitas ($a$ e $b$) a partir das frações geratrizes desses resultados.

2. Resolve o sistema para determinar de forma unívoca os valores dos algarismos $a$ e $b$.

3. Escreve as dízimas periódicas originais $N_1$ e $N_2$ e verifica que satisfazem todas as condições iniciais.