Exercícios: Conceito

Num laboratório de biologia, um aluno está a medir a espessura de diferentes folhas de plantas. Escreva com algarismos os seguintes números decimais obtidos nas suas medições:

1. a) Doze unidades e oito décimos.
2. b) Sete unidades e vinte e cinco centésimos.
3. c) Zero unidade e cento e quatro milésimos.
4. d) Cinco unidades e nove décimos de milésimo.

Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas:

1. a) $4,25$
2. b) $7,\widehat{3}$
3. c) $1,02\widehat{5}$
4. d) $12,444...$
5. e) $0,123$
6. f) $5,6\widehat{12}$

Nos Jogos Olímpicos, os tempos de natação são medidos com muita precisão. Um nadador demorou $48,052$ segundos para completar uma prova. Indique que lugar ocupa cada algarismo neste número:

• O $4$ ocupa as:

• O $8$ ocupa as:

• O $0$ ocupa as:

• O $5$ ocupa as:

• O $2$ ocupa as:

Observe a seguinte quadrícula que representa a unidade dividida em cem partes iguais. Indique que número decimal representa a parte sombreada a laranja e como se lê esse número.

Identifique que números decimais estão representados pelas letras $A$, $B$ e $C$ na seguinte reta numérica:

Três irmãos medem a sua altura. A Beatriz mede $1,54$ metros e o Marcos mede $1,55$ metros. Encontra um número decimal que esteja compreendido entre a altura da Beatriz e a do Marcos.

Ordene os seguintes números decimais do menor para o maior:

O Marcos está a ordenar números para um exame e afirma o seguinte: «O número $0,19$ é maior do que $0,8$ porque $19$ é um número muito maior do que $8$. Além disso, $0,8$ e $0,80$ representam quantidades diferentes porque o segundo tem mais casas decimais». a) Encontra os dois erros de raciocínio que o Marcos comete e explica, utilizando o valor posicional dos algarismos (décimas e centésimas), por que razão as suas afirmações estão incorretas. b) Escreve a comparação correta entre $0,19$ e $0,8$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) após igualares o seu número de casas decimais.

Pede-se-te que construas quatro números decimais diferentes que estejam compreendidos estritamente entre $3,4$ e $3,5$ (ou seja, maiores do que $3,4$ e menores do que $3,5$). Cada um deve cumprir uma das seguintes condições: a) Um número decimal exato que tenha exatamente três casas decimais. b) Um número decimal dízima periódica simples (lembra-te de que o período deve começar imediatamente após a vírgula). c) Um número decimal dízima periódica mista (com anteperíodo e período). d) Um número irracional. Para este último, escreve as suas primeiras sete casas decimais e explica que regra ou padrão seguiste para que nunca se repita nenhum bloco de algarismos.

Classifique os seguintes números decimais na tabela em anexo (Exato, Dízima Periódica Simples, Dízima Periódica Composta ou Irracional):

• $3,141592...$ (Número $\pi$)

• $2,15$

• $7,444...$

• $0,1232323...$

• $\sqrt{2}$

• $5,0616161...$

Num campeonato de Fórmula 1, os tempos de classificação de quatro pilotos para uma volta ao circuito foram os seguintes:

• Piloto A: $1:24,058\text{ s}$

• Piloto B: $1:24,5\text{ s}$

• Piloto C: $1:24,06\text{ s}$

• Piloto D: $1:24,0578\text{ s}$

Ordena os pilotos do mais rápido para o mais lento utilizando os sinais $>$ ou $<$ conforme corresponda.

Desenha uma reta numérica no teu caderno e representa os seguintes números decimais. Para os números negativos, utiliza uma cor diferente da dos positivos.

$A = 0,4$

$B = -0,25$

$C = 0,85$

$D = -0,7$

Pode ajudar-te tomar a reta desde $-1$ até $1$, com o $0$ no centro, e dividir cada unidade em 20 partes iguais, de modo que cada marca valha $0,05$. Por exemplo, se cada unidade ocupar 10 cm do caderno, cada marca ficará separada 0,5 cm. Escreve junto de cada ponto a sua letra e o seu valor.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Sem efetuar a divisão dos seus termos, indique que tipo de número decimal cada uma das seguintes frações vai gerar (dízima finita ou dízima infinita periódica). Justifique a sua resposta analisando os fatores primos do denominador:

1. a) $\dfrac{7}{40}$
2. b) $\dfrac{5}{12}$
3. c) $\dfrac{11}{21}$
4. d) $\dfrac{3}{250}$

Observa a seguinte figura, onde um quadrado de área $1\text{ u}^2$ foi dividido em secções.

1. a) Exprime na forma decimal a parte sombreada a laranja.
2. b) Exprime na forma decimal a parte que fica a branco.
3. c) Que tipo de números decimais obtiveste (exatos ou dízimas infinitas periódicas)?

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as precipitações acumuladas em litros por metro quadrado ($\text{l/m}^2$) durante um dia de tempestades em quatro estações da Região do Alentejo: Estação A: $24,\widehat{7}\text{ l/m}^2$; Estação B: $24,75\text{ l/m}^2$; Estação C: $24,7\widehat{5}\text{ l/m}^2$; Estação D: $24,\widehat{75}\text{ l/m}^2$. a) Escreve o desenvolvimento de cada um dos quatro registos com pelo menos quatro casas decimais e ordena-os da maior para a menor precipitação utilizando o símbolo $>$. b) Para verificar os sensores, a equipa técnica necessita de introduzir um valor de teste que seja uma dízima finita e que se encontre estritamente entre os dois registos mais chuvosos da lista. Propõe um número que cumpra este requisito e justifica por que razão pertence a esse intervalo.

Queremos situar na reta numérica o número irracional $\sqrt{7}$, cujo valor exato tem infinitas casas decimais não periódicas. a) Sem utilizares a calculadora, estima entre que dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{7}$ a partir dos quadrados perfeitos mais próximos. Em seguida, estima fundamentadamente entre que duas décimas consecutivas ($2,5$ e $2,6$, ou $2,6$ e $2,7$, etc.) se deve situar, verificando à mão o quadrado dessas décimas. b) Sabendo que o valor aproximado deste número é $\sqrt{7} = 2,645751...$, verifica se a tua estimativa por décimas estava correta. c) Baseando-te na propriedade da densidade dos decimais, propõe um número decimal exato e um número decimal dízima periódica mista que se encontrem compreendidos entre $2,64$ e $\sqrt{7}$.

Ordena do menor para o maior os seguintes números decimais, justificando a tua resposta através do desenvolvimento de pelo menos quatro das suas casas decimais:

• $A = 2,3\hat{5}$

• $B = 2,\widehat{35}$

• $C = 2,35$

• $D = 2,35\hat{3}$

• $E = 2,355$

• $F = 2,353$

Depois de ordenados, encontra um número decimal exato e uma dízima periódica simples que estejam compreendidos entre os dois valores centrais da tua lista.

Num laboratório de biologia, mediu-se o tamanho de um microrganismo obtendo-se um valor de $0,04586$ mm. Por um erro no software, o microscópio mostra este valor aproximado de duas formas diferentes:

• Aproximação X: truncado às milésimas.

• Aproximação Y: arredondado às milésimas.

Calcule o erro relativo cometido em cada uma das duas aproximações. Qual das duas estimativas é mais precisa para o estudo científico? Justifique a sua resposta comparando os erros obtidos.

Intercale três números racionais (em forma de fração) entre os números decimais $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$.

Para resolver, siga estes passos:

1. Obtenha as frações geratrizes de ambos os números.

2. Reduza essas frações ao mesmo denominador.

3. Encontre três frações que fiquem entre elas e verifique que as suas representações decimais cumprem a condição de intercalação.

Representa na reta numérica de forma aproximada os seguintes números e determina de forma exata qual deles é o maior:

• $X = 1,4\hat{6}$

• $Y = \sqrt{2}$ (usa a aproximação $1,4142...$)

• $Z = \frac{11}{7}$

Como $\sqrt{2}$ é um número irracional, não tem fração geratriz. Por isso:

• Para $X$, calcula a sua fração geratriz e compara-a com $Z$ (por exemplo, reduzindo-as ao mesmo denominador).

• Para $Y$, usa a sua aproximação decimal e compara-a com os outros dois.

Justifica a posição de cada número na reta realizando as divisões necessárias com pelo menos três casas decimais. Usa a reta da figura, onde cada marca pequena vale $0,01$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Quatro velocistas registaram marcas em segundos com desenvolvimentos decimais muito semelhantes: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ e $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Para as ordenar do menor para o maior tempo, dois juízes do campeonato propõem caminhos distintos: O Juiz 1 propõe: «Arredondemos todos os tempos às centésimas; assim será mais rápido e simples ordenar». O Juiz 2 propõe: «Desenvolvamos cada número até à sua quinta casa decimal e comparemos coluna a coluna da esquerda para a direita». a) Aplica a proposta do Juiz 1. É possível desempatar e classificar as quatro atletas com o seu método? Explica detalhadamente o que acontece e por que razão este procedimento falha neste caso. b) Aplica a proposta do Juiz 2, escreve o desenvolvimento com cinco casas decimais de cada marca e ordena as atletas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$. Justifica por que razão cinco casas bastam neste caso e por que razão, em geral, comparar algarismo a algarismo até ao primeiro algarismo diferente nunca falha. c) Se uma quinta atleta registar um tempo irracional cujos primeiros algarismos são $12,343443444...\text{ s}$, entre que duas atletas da lista anterior se classificaria? Justifica-o comparando a casa decimal exata em que se distingue das suas vizinhas.

Durante um debate na aula sobre a propriedade da densidade dos decimais, o Afonso afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$ não cabe nenhum outro número decimal porque, ao escrever $0,\widehat{2} = 0,222...$, depois do $2$ nas centésimas só pode vir o $3$, logo não fica nenhum espaço no meio». a) Demonstra que o raciocínio do Afonso é falso: explica como o sistema de numeração decimal garante a existência de infinitos valores intermédios e encontra três números de tipos diferentes (um exato, uma dízima periódica simples e uma dízima periódica mista) que estejam estritamente entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$. b) Constrói um número irracional compreendido nesse mesmo intervalo mostrando as suas primeiras oito casas decimais. Explica com precisão a regra de formação que utilizaste para assegurar que os seus algarismos nunca formem um período repetitivo e que não possa ser expresso sob a forma de fração.