Exercícios: Área

Um artesão está a fabricar dados gigantes de madeira para uma ludoteca. Se cada dado é um cubo perfeito que tem uma aresta de $a = 12 \text{ cm}$, calcule a superfície total de madeira que terá de pintar em cada um dos dados.

Calcule a área total de uma caixa de sapatos com forma de paralelepípedo cujas dimensões são $15 \text{ cm}$ de largura, $30 \text{ cm}$ de comprimento e $10 \text{ cm}$ de altura. Desenhe de forma esquemática a sua planificação para ajudar no cálculo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Para um projeto de tecnologia, precisas de encapar com papel autocolante um porta-lápis cilíndrico. O porta-lápis tem um raio da base de $r = 4 \text{ cm}$ e uma altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula quantos centímetros quadrados de papel precisarás, sabendo que o porta-lápis está aberto em cima (só tem uma base). Considera $\pi \approx 3,14$.

Uma tenda de jardim tem a forma de um prisma triangular regular reto. A base é um triângulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Se o comprimento da tenda (altura do prisma) é de $5 \text{ m}$, calcula a área lateral da tenda (sem incluir as duas bases triangulares).

Determine a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que o lado da base quadrada mede $8 \text{ cm}$ e que o apótema das suas faces laterais mede $10 \text{ cm}$.

Uma bola de basquetebol tem raio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcule a superfície de couro necessária para a fabricar, arredondando o resultado às centésimas. (Lembre-se de que a área da esfera é $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).

Observa a planificação deste sólido geométrico. Se cada um dos triângulos isósceles tem uma área de $15 \text{ cm}^2$ e o quadrado central tem um lado de $6 \text{ cm}$, qual é a área total da figura quando for montada? Que sólido geométrico se forma?

Calcule a área lateral de um cilindro cuja circunferência da base mede $C = 25,12 \text{ cm}$ e cuja altura é de $h = 10 \text{ cm}$. (Sugestão: Lembre-se de que, ao abrir o cilindro, a área lateral é um retângulo cuja base é o comprimento da circunferência).

O Marcos quer forrar com papel adesivo um porta-lápis que tem a forma cilíndrica. O recipiente está aberto na parte superior, a sua base circular tem um raio de $4\text{ cm}$ e a sua altura é de $12\text{ cm}$. Para calcular a quantidade de papel necessária, o Marcos anota no seu caderno:\n- Área lateral: $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Área da base: $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Área total: $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Indica o erro de raciocínio geométrico que o Marcos cometeu, tendo em conta a função do objeto que vai forrar.\nb) Explica que modificação deve ser feita na fórmula da área total a partir da planificação de um cilindro aberto por cima.\nc) Calcula a superfície real de papel adesivo que o Marcos precisa de recortar (utiliza $\pi \approx 3,14$).

Para os treinos escolares da Federação de Andebol de Portugal utilizam-se bolas regulamentares esféricas de tamanho 2, cujo raio é de $8,5\text{ cm}$.\na) Antes de efetuares qualquer cálculo exato, faz uma estimativa aproximada da área da superfície esférica arredondando mentalmente o raio para $8\text{ cm}$ e o número $\pi$ para $3$. Justifica se achas que a área real superará os $1\,000\text{ cm}^2$ ou se será menor.\nb) Calcula agora com precisão a superfície de couro da bola aplicando a fórmula da área da esfera ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$), tomando o raio real de $8,5\text{ cm}$ e $\pi \approx 3,14$. Arredonda o resultado às centésimas.\nc) Compara o valor obtido com a tua estimativa inicial e avalia por que motivo estimar previamente um resultado nos ajuda a verificar se os cálculos feitos com a calculadora são razoáveis.

Para um projeto de tecnologia, tens de fabricar uma caixa de madeira com forma de prisma hexagonal regular. A aresta da base mede $4\text{ cm}$ e a altura do prisma é de $15\text{ cm}$. Calcula a superfície total de madeira de que vais precisar para construir a caixa (incluindo as duas bases).

(Nota: Para encontrar a área da base, lembra-te de que primeiro deves calcular o apótema do hexágono usando o teorema de Pitágoras).

Uma tenda para um evento juvenil tem forma de pirâmide quadrangular regular. O lado da base quadrada mede $10\text{ m}$ e a altura da pirâmide (desde o centro da base até ao vértice superior) é de $12\text{ m}$. Calcule quantos metros quadrados de lona foram necessários para fabricar as quatro faces laterais da tenda.

Um fabricante de velas artesanais quer revestir com um papel protetor prateado a superfície lateral de uma vela cilíndrica. A vela tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma altura de $20\text{ cm}$. Se o papel só deve cobrir a parte curva (sem as bases), qual é a área de papel necessária para cada vela? Utiliza $\pi \approx 3,14$.

Numa gelataria de design, criaram um cone de gelado com forma de cone reto cuja altura é de $12\text{ cm}$ e o raio da sua base é de $5\text{ cm}$. Calcule a área total do cone (superfície lateral mais o círculo da base) para saber quanto chocolate precisam para o cobrir por completo.

(Dica: Primeiro deves encontrar a geratriz do cone).

Um vaso moderno tem forma de tronco de pirâmide quadrangular regular. As bases são dois quadrados de lados $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, respetivamente. Se a altura das faces laterais (a apótema do tronco) é de $10\text{ cm}$, calcule a área total da superfície exterior do vaso (bases superior e inferior incluídas).

Quer restaurar-se a cúpula de um observatório astronómico que tem forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de raio. Se o orçamento para a pintura é de $15\text{ €}$ por cada metro quadrado, quanto custará pintar a superfície exterior da cúpula? (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Um farol decorativo para um jardim é formado por dois corpos: um cilindro de $10\text{ cm}$ de raio e $30\text{ cm}$ de altura, coroado por um cone com a mesma base e $15\text{ cm}$ de geratriz. Calcule a área total da superfície exterior deste farol (sem contar a base sobre a qual se apoia).

Calcule a área total de um cubo sabendo que a diagonal de uma das suas faces mede $10\text{ cm}$.

(Dica: Utilize o teorema de Pitágoras numa das faces para encontrar a medida da aresta do cubo antes de calcular a área).

Uma fábrica de conservas vegetais do Ribatejo produz latas cilíndricas de folha-de-flandres para embalar espargos. A equipa técnica fixou que a base circular da lata deve ter um raio de $4\text{ cm}$. A máquina de corte dispõe de exatamente $351,68\text{ cm}^2$ de chapa metálica para fabricar cada lata completa fechada (área lateral mais as duas tampas circulares).\na) Formula uma equação em que a incógnita seja a altura $h$ do cilindro, utilizando os dados fornecidos e a fórmula da área total ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, usando $\pi \approx 3,14$).\nb) Resolve a equação para calcular a altura exata que a lata deve ter.\nc) Se o departamento de qualidade indica que para essa quantidade de conserva a altura ideal deve situar-se entre $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$, determina de forma justificada se as dimensões encontradas cumprem o referido padrão de qualidade.

Na região da Serra da Estrela vai ser restaurado o telhado cónico de um moinho de vento para proteger a sua maquinaria interior das chuvas torrenciais registadas pelo IPMA. O telhado tem a forma de um cone regular: o raio da sua base circular mede $3\text{ m}$ e a altura vertical desde o centro da base até ao vértice mede $4\text{ m}$. Apenas se vai impermeabilizar a superfície lateral exterior (o cone não tem base para cobrir, uma vez que assenta aberta sobre a torre de alvenaria).\na) Modela a secção do telhado através de um triângulo retângulo para calcular a geratriz do cone aplicando o teorema de Pitágoras.\nb) Calcula os metros quadrados de superfície cónica que se devem impermeabilizar (adota $\pi \approx 3,14$).\nc) Para colocar as telas impermeabilizantes é necessário encomendar $10\,\%$ extra de material devido a cortes e sobreposições. Se o metro quadrado de tela custa $25\text{ €}$, calcula o custo total do material necessário para a restauração.

Uma empresa de design quer fabricar uma luminária de teto com forma de pirâmide hexagonal regular. O lado do hexágono da base mede $10\text{ cm}$ e a altura da pirâmide é de $24\text{ cm}$. Para que a luz se projete corretamente, devem revestir-se as faces laterais com uma folha de cobre especial. Calcule quantos $\text{cm}^2$ de folha de cobre são necessários para cobrir a superfície lateral da luminária. Tenha em conta que primeiro deverá encontrar o apótema da base e, com ele, o apótema da pirâmide.

Um arquiteto projetou uma claraboia para um museu que consiste num tronco de pirâmide quadrangular regular de vidro. A base inferior tem um lado de $4\text{ m}$, a base superior um lado de $2\text{ m}$ e a altura do tronco é de $1,5\text{ m}$. O vidro utilizado para as faces laterais custa $85\text{ €/m}^2$. Calcule o orçamento necessário para comprar o vidro da superfície lateral, arredondando o resultado às centésimas.

Foi projetado um troféu de acrílico que consiste num cilindro reto de $10\text{ cm}$ de altura e $6\text{ cm}$ de diâmetro, do qual se extraiu uma semiesfera perfeita na base superior, cujo raio coincide exatamente com o raio do cilindro. Calcule a área total da superfície do troféu (superfície exterior cilíndrica, superfície da base inferior e a superfície curva da cavidade semiesférica). Use $\pi \approx 3,14$.

Um reservatório industrial tem forma de cilindro reto coroado por um cone com a mesma base. A altura da parte cilíndrica é de $8\text{ m}$ e a altura da parte cónica é de $3\text{ m}$. O diâmetro do reservatório é de $8\text{ m}$. Pretende-se pintar toda a superfície lateral exterior e a base superior (cone), mas não a base sobre a qual se apoia. Se com cada lata de tinta é possível cobrir $15\text{ m}^2$, quantas latas de tinta devem ser compradas, no mínimo?

Um cubo de madeira de $12\text{ cm}$ de aresta é cortado por um plano que passa pelos pontos médios de três arestas concorrentes num mesmo vértice, separando uma pequena pirâmide triangular (um tetraedro irregular). Calcule a área total da figura resultante que fica após retirar a pequena pirâmide. Ajuda: O corte gera uma nova face que é um triângulo equilátero cujos lados são as diagonais dos quadrados de lado $6\text{ cm}$.

Um fabricante de bolas de ginástica produz esferas de borracha de dois tamanhos. A bola pequena tem uma superfície de $5024\text{ cm}^2$. A bola grande tem um raio que é exatamente o dobro do da bola pequena. Calcule a área da superfície da bola grande. Qual é a relação numérica (razão) entre a área da bola grande e a da pequena? Use $\pi = 3,14$.

Pretende-se construir uma estufa com forma de meio cilindro apoiado sobre o solo, como se mostra na figura. O comprimento da estufa é de $15\text{ m}$ e a largura da base (o diâmetro do semicilindro) é de $6\text{ m}$. Se o plástico para cobrir a parte curva e as duas paredes frontais (semicírculos) custa $12\text{ €/m}^2$, qual será o custo total do plástico necessário? (Não se conta o solo).

Uma peça mecânica de aço tem a forma de um prisma reto de base quadrada com um furo cilíndrico que a atravessa de base a base pelo centro. O lado do quadrado da base do prisma mede $10\text{ cm}$ e a altura da peça é de $20\text{ cm}$. O diâmetro do furo cilíndrico é de $8\text{ cm}$. Calcule a área da superfície total da peça (incluindo a superfície interior do furo).

Para conceber um monólito comemorativo num parque público, a câmara municipal projeta uma torre composta por um prisma quadrangular reto de base quadrada com $4\text{ m}$ de lado e $10\text{ m}$ de altura, coroado por uma pirâmide quadrangular reta de base idêntica e uma altura vertical de $1,5\text{ m}$. Dois arquitetos discutem como calcular a superfície exterior total que necessitará de tratamento hidrófugo (incluindo a base inferior do prisma que assenta no terreno preparado):\n- Método da Laura: «Calculo a área total da pirâmide completa pela sua fórmula, somo-lhe a área total do prisma completo pela sua fórmula e subtraio duas vezes a área do quadrado onde se unem».\n- Método do Sérgio: «Olho para a planificação exterior do corpo conjunto: calculo diretamente a área da base inferior, a área lateral do prisma e a área lateral da pirâmide, somando essas três quantidades».\na) Demonstra formalmente que ambos os métodos chegam à mesma expressão algébrica da superfície.\nb) Justifica qual dos dois métodos é mais conveniente e eficiente para evitar erros na prática de oficina.\nc) Aplica o método mais conveniente para determinar a superfície exterior total que se deve tratar. (Tem em conta que para a pirâmide deves calcular primeiro o seu apótema usando o teorema de Pitágoras com metade do lado da base e a sua altura vertical).

Uma cooperativa de azeite virgem extra de Portalegre quer comercializar uma lata metálica de design premium com a forma de um prisma hexagonal regular. Por razões ergonómicas e de manuseamento na cozinha, a aresta da base hexagonal mede $4\text{ cm}$. O departamento financeiro impõe uma restrição de custos: a superfície total de folha-de-flandres consumida por cada embalagem fechada (incluindo ambas as bases hexagonais) não pode ultrapassar os $450\text{ cm}^2$.\na) Determina a área de uma das bases hexagonais regulares. Lembra-te de que para calcular o apótema da base deves utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo raio da base (que mede o mesmo que o lado, $4\text{ cm}$) e por metade do lado. Arredonda o apótema a duas casas decimais e a área da base às décimas.\nb) A partir da área total máxima permitida ($450\text{ cm}^2$), formula uma equação ou inequação onde intervenham a altura $h$ da lata e as duas bases hexagonais.\nc) Resolve a expressão para deduzir a altura máxima que a lata pode ter. Se a maquinaria de enchimento apenas permite calibrar alturas em números inteiros de centímetros, qual é a maior altura em centímetros que se pode fabricar cumprindo o orçamento de material?