Exercícios: Produtos notáveis

Num teste do 2.º ano do ESO, a Lucía resolveu o desenvolvimento da expressão $(2x - 3)^2$ escrevendo diretamente: $4x^2 - 9$. O seu professor indicou-lhe que a resposta está errada porque contém dois erros conceptuais nesse único passo.

1. a) Identifica os dois erros cometidos pela Lucía (um relativo ao sinal do último termo e outro relativo aos termos que faltam no desenvolvimento).
2. b) Aplica a propriedade distributiva multiplicando $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ termo a termo para lhe explicares com clareza de onde surge cada elemento e escreve a expressão final correta e simplificada.

Para cobrir o chão de um stand quadrado na Feira do Livro de Lisboa é necessário encomendar uma lona que mede $39\text{ m}$ de lado.

1. a) Antes de calculares a área exata, faz uma estimativa mental aproximando o comprimento do lado à dezena mais próxima ($40\text{ m}$). Raciocina se a área real do stand será maior ou menor do que a tua estimativa.
2. b) Exprime o número $39$ como a subtração $(40 - 1)$ e calcula a área exata aplicando o caso notável do quadrado de uma diferença, indicando os três termos que resultam do desenvolvimento.
3. c) Subtrai a área exata calculada da tua estimativa inicial e verifica se a diferença coincide com o que tinhas raciocinado na alínea a).

Desenvolva as seguintes expressões utilizando os casos notáveis para as converter num polinómio ordenado:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Observe a seguinte figura que representa um quadrado de lado $(x + 3)$ do qual foi recortado um quadrado interior de lado $(x - 1)$. Utilize os casos notáveis para escrever uma expressão simplificada que represente a área sombreada a cor de laranja.

Nádia e Tomás estão a fazer o trabalho de casa de matemática e cometeram alguns erros comuns. Identifica qual das seguintes igualdades é incorreta e corrige-a no teu caderno, explicando porque está errada:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Os casos notáveis também servem para realizar cálculos mentais rápidos com números grandes. Utiliza o produto da soma pela diferença $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ para calcular os seguintes produtos de forma engenhosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Dica: considera $50 + 2$ e $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Copia e completa no teu caderno os termos que faltam para que estas expressões formem um trinómio quadrado perfeito ou uma diferença de quadrados:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica efetuando primeiro as operações dos casos notáveis e reduzindo depois os termos semelhantes:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Uma Câmara Municipal quer projetar uma nova praça quadrada. No centro haverá uma área de jardim, também quadrada, cercada por um caminho de azulejos de largura constante.

Se o lado total da praça mede $(3x + 2)$ metros e o lado do jardim central mede $(3x - 2)$ metros, calcule o polinómio simplificado que representa a área destinada unicamente ao caminho de azulejos.

No cubo da figura, de aresta $x$, foi traçada a diagonal de uma das suas faces e a diagonal principal do corpo. Forma-se também um hexágono regular ao cortar o cubo por um plano $P$ que passa pelos pontos médios das suas arestas.

1. a) Expresse por meio do quadrado de um binómio a área de uma face se a aresta aumentasse em $2\text{ cm}$.
2. b) Se a área do hexágono pode ser expressa como $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$, demonstre utilizando casos notáveis que, se a aresta fosse $(x+y)$, a nova área do hexágono seria $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Calcule o valor exato do perímetro do hexágono para $x = 4\text{ cm}$ (simplifique o radical).

Relaciona no teu caderno cada caso notável com a respetiva expressão desenvolvida:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Preencha os espaços em branco para que as seguintes igualdades sejam corretas:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

A Leonor quer projetar um tapete quadrado para o seu quarto. O lado do tapete mede $(x + 4)$ metros.

1. a) Escreva a expressão da área do tapete como o quadrado de um binómio.
2. b) Desenvolva o binómio para obter o polinómio que representa a área.

Um erro muito comum ao começar a estudar casos notáveis é pensar que o quadrado de uma soma é simplesmente a soma dos quadrados. Por exemplo:

É verdade que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Para verificar, calcule o valor numérico de ambas as expressões para $x = 2$ e explique se os resultados são iguais ou diferentes.

Para calcular mentalmente o resultado da operação $105^2 - 95^2$ sem utilizar calculadora, o Marcos e a Leonor propõem duas estratégias distintas:

• Método do Marcos: Realizar as duas multiplicações tradicionais separadamente, $105 \cdot 105$ e $95 \cdot 95$, e depois subtrair o segundo resultado do primeiro.

• Método da Leonor: Identificar que a expressão é uma diferença de quadrados da forma $a^2 - b^2$, transformá-la no produto de uma soma por uma diferença e realizar as operações resultantes.

1. a) Aplica o método proposto pela Leonor desenvolvendo passo a passo o cálculo numérico até obteres o valor final.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica fundamentadamente por que razão a proposta da Leonor se revela muito mais vantajosa, analisando a dificuldade das operações intermédias de cada caminho.

Uma associação de regantes da horta de Santarém dispõe de uma parcela quadrada de cultivo de lado $x$ metros (com $x > 10$). Para melhorar a rede de rega estudam-se duas opções de remodelação:

• Opção A: Aumentar um dos lados em $5\text{ m}$ e reduzir o lado perpendicular em $5\text{ m}$ para abrir uma vala de rega.

• Opção B: Aumentar os dois lados perpendiculares em $5\text{ m}$ para aproveitar uma faixa contígua.

1. a) Escreve a fórmula da área resultante na Opção A como produto de dois binómios, desenvolve-a através do caso notável correspondente e raciocina se a parcela ganha, perde ou mantém a superfície relativamente à parcela original de $x^2\text{ m}^2$.
2. b) Escreve a fórmula da área na Opção B como o quadrado de um binómio e desenvolve-a. Se a parcela original media $x = 20\text{ m}$ de lado, calcula a diferença exata em metros quadrados entre a superfície da Opção B e a da Opção A.

Desenvolva as seguintes expressões utilizando os casos notáveis e simplifique os termos semelhantes sempre que possível:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Encontra o termo que falta em cada expressão para que o trinómio seja o resultado do quadrado de uma soma ou de uma diferença (trinómio quadrado perfeito). Depois, escreve a potência correspondente:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Simplifique as seguintes frações algébricas utilizando os casos notáveis para fatorizar o numerador e o denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Um designer de aplicações está a criar um ícone quadrado para uma rede social. O design original tem lado de $x$ píxeis. O cliente pede duas alterações: primeiro, aumentar o lado em $4$ píxeis para adicionar uma borda decorativa; segundo, criar uma versão reduzida em que cada lado mede $4$ píxeis a menos do que o original.

Encontra o polinómio que representa a diferença de áreas entre o ícone ampliado e o ícone reduzido em função de $x$.

Demonstre algebricamente que a diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre igual à soma desses números.

(Dica: chame $x$ ao primeiro número e $x+1$ ao seguinte).

Encontra a área da zona sombreada na seguinte figura. Exprime o resultado como um polinómio simplificado em função de $x$. O lado do quadrado exterior mede $2x+3$ e o lado do quadrado interior branco mede $2x-3$.

Calcule o valor numérico da expressão $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ para os valores $x = \frac{1}{3}$ e $y = 5$.

Dica: Simplifique a expressão algébrica utilizando os casos notáveis antes de substituir os valores.

Um fabricante de painéis solares descobriu que a eficiência dos seus painéis melhora se for utilizada uma configuração de células que segue o caso notável da diferença de quadrados.

Se a área total de um painel é dada pelo polinómio $A(x) = 16x^4 - 81y^2$, quais são as expressões algébricas que representam o comprimento e a largura desse painel?

Numa fábrica de cerâmica de Aveiro desenham azulejos quadrados cuja área é dada pelo trinómio $9x^2 + kx + 16$, onde $k$ é um número inteiro.

1. a) Deduz os dois possíveis valores que o coeficiente $k$ pode tomar para que a expressão represente exatamente a área de um azulejo quadrado de lado $(ax + b)$ ou $(ax - b)$, com $a$ e $b$ inteiros positivos. Escreve em cada caso o binómio ao quadrado associado.
2. b) Tomando o valor positivo de $k$ encontrado, pede-se aos desenhadores que recortem uma zona decorativa interior subtraindo $25$ unidades à área total, obtendo a expressão $(3x + 4)^2 - 25$. Sem desenvolver os quadrados, fatoriza esta última expressão como produto de dois binómios do primeiro grau aplicando a identidade da soma pela diferença e simplifica os termos numéricos de cada fator.

Num debate na aula de Matemática, o João afirma: «O quadrado da soma de dois números, $(a + b)^2$, dá sempre um resultado maior do que a soma dos seus quadrados, $a^2 + b^2$, porque ao desenvolvê-lo adicionamos sempre o termo $2 \cdot a \cdot b$».

1. a) Desenvolve $(a + b)^2$ e calcula a diferença algébrica $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ de forma simplificada. Que termo algébrico condiciona completamente se o resultado é maior, menor ou igual?
2. b) Demonstra que a afirmação do João é falsa fornecendo um contraexemplo numérico com números inteiros onde se cumpra que $(a + b)^2 < a^2 + b^2$. Em seguida, investiga se é possível encontrar dois números diferentes de zero tais que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ e justifica a tua conclusão.
3. c) Enuncia com precisão que condição matemática devem cumprir os sinais de $a$ e $b$ para que $(a + b)^2 > a^2 + b^2$, quando ocorre que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ e quando ocorre que $(a + b)^2 < a^2 + b^2$.

Desafio do tema. Modela a embalagem sustentável do futuro! Uma empresa de logística quer reformular as suas caixas em forma de paralelepípedo retângulo (poliedros) para minimizar o cartão utilizado.

1. Medição real: Mede com uma régua as dimensões reais (comprimento, largura e altura) de uma encomenda que tenhas em casa e calcula o seu volume aproximado.

2. Modelação algébrica: Considera uma nova caixa de base quadrada de lado $(x+4)\text{ cm}$ e altura $2x\text{ cm}$. Expressa em linguagem algébrica: o binómio de uma aresta da base, o polinómio da área total do poliedro desenvolvendo o caso notável $(x+4)^2$, e o polinómio do volume. Efetua as operações e reduz os polinómios.

3. Simulação digital: Numa folha de cálculo, gera uma tabela avaliando as fórmulas de área e de volume para valores de $x$ de $4$ a $15$, com incrementos de $0,5$. Identifica o valor de $x$ cujo volume seja mais próximo do da tua caixa real.

4. Proposta fundamentada: Redige um breve relatório com a tabela, o desenvolvimento algébrico e uma conclusão a justificar que caixa aproveita melhor o material.

Será valorizado:

• Tradução correta para a linguagem algébrica e desenvolvimento de casos notáveis.

• Precisão nas operações com monómios e polinómios associados ao poliedro.

• Uso rigoroso da folha de cálculo para tabelar e comparar com dados reais.

• Clareza e fundamentação matemática da proposta final.