Combinaisons linéaires de vecteurs. Bases

Calculer les coordonnées du vecteur résultant de la combinaison linéaire $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sachant que $\vec{a} = (1, 4)$ et $\vec{b} = (-2, 5)$.

Sachant que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, avec $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ et $\vec{w} = (2, 7)$, déterminer la valeur du scalaire $k$.

Dans le plan ci-contre sont représentés les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Déterminer les coordonnées, dans la base canonique, du vecteur résultant $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Soit les vecteurs $\vec{u} = (2, -3)$ et $\vec{v} = (-4, 6)$. Justifier mathématiquement s'ils peuvent former une base de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les vecteurs $\vec{p} = (m, 4)$ et $\vec{q} = (3, -2)$ soient linéairement dépendants.

Un élève, Marc, doit déterminer si les vecteurs $\vec{u} = (2, -1)$ et $\vec{v} = (-6, 3)$ forment une base du plan $\mathbb{R}^2$. Dans sa copie, il écrit :

« Calculons le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Comme le produit scalaire n'est pas nul, les vecteurs ne sont pas orthogonaux et, par conséquent, n'ont pas la même direction ; cela signifie qu'ils sont linéairement indépendants et forment une base de $\mathbb{R}^2$ ».

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc, expliquer avec rigueur pourquoi son raisonnement est faux et rédiger la justification mathématique correcte pour déterminer si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment ou non une base.

Pour garantir la stabilité d'un nœud dans une structure réticulée plane, les vecteurs directeurs de deux barres concourantes doivent être linéairement indépendants. Les vecteurs de conception sont $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ et $\vec{d}_2 = (2, k)$. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $k$ le nœud est instable (les vecteurs ne forment pas une base). Ensuite, en supposant $k=0$, exprimer le vecteur de charge externe $\vec{P} = (4, -6)$ comme combinaison linéaire de $\vec{d}_1$ et $\vec{d}_2$.

Exprimer le vecteur $\vec{c} = (5, -2)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique $\vec{i} = (1, 0)$ et $\vec{j} = (0, 1)$.

Soit le parallélogramme $ABCD$ de la figure. Exprimer les vecteurs correspondant aux diagonales $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$ comme combinaison linéaire des vecteurs des côtés $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AD}$.

Dans l'hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$ représenté sur la figure, on définit les vecteurs de base $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprimer les vecteurs $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ et $\vec{BC}$ comme combinaisons linéaires de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

Vérifier si l'ensemble de vecteurs $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forme une base orthogonale du plan.

Vérifier si les vecteurs $\vec{u} = (3, 0)$ et $\vec{v} = (0, -2)$ forment une base orthogonale de $\mathbb{R}^2$.

Déterminer un vecteur $\vec{v}$ tel que l'ensemble $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme une base orthonormée, sachant que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. La solution est-elle unique ? Justifier la réponse.

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les vecteurs $\vec{u} = (a, 3)$ et $\vec{v} = (-2, b)$ forment une base orthogonale, sachant de plus que la norme du vecteur $\vec{u}$ est exactement $5$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que l'angle qu'ils forment soit de $60^\circ$, avec $|\vec{u}| = 2$ et $|\vec{v}| = 3$. On définit le vecteur $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$. Déterminer la relation qui doit exister entre les paramètres $m$ et $n$ pour que le vecteur $\vec{w}$ soit orthogonal au vecteur $\vec{u}$.

Le bras d'un robot industriel se déplace dans un plan défini par une base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ orthogonale mais non orthonormée, où $|\vec{e}_1| = 2$ et $|\vec{e}_2| = 4$. Une commande de trajectoire lui indique de se déplacer selon le vecteur $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calculer la norme exacte du vecteur déplacement $\vec{v}$ et le cosinus de l'angle qu'il forme avec le vecteur de la base $\vec{e}_1$.

On considère les vecteurs $\vec{u} = (2, 1)$ et $\vec{v} = (-1, 2)$, qui forment une base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ de $\mathbb{R}^2$, et le vecteur cible $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Sans résoudre aucun système d'équations, estimer en justifiant le signe des scalaires $a$ et $b$ dans la combinaison linéaire $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ et argumenter lequel des deux coefficients devrait avoir la plus grande valeur absolue en observant les quadrants vers lesquels pointe chaque vecteur.
2. b) Poser le système d'équations linéaires, calculer exactement les coordonnées $(a, b)_B$ de $\vec{w}$ dans cette base et vérifier si le résultat numérique concorde avec l'estimation précédente.

Un drone sous-marin se déplace dans un environnement soumis à des courants marins. Son système de navigation autonome utilise une base formée des vecteurs $\vec{c}_1 = (1, 2)$ et $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. Le drone enregistre un déplacement $\vec{w}$ dont les coordonnées dans cette base sont $(4, -1)_B$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$ dans la base canonique.

Deux remorqueurs tirent un bateau en panne avec des forces $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N et $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un troisième remorqueur se joint à eux en appliquant une force $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Exprimer la force $\vec{F}_3$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$, en déterminant les coordonnées de $\vec{F}_3$ dans la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Démontrer par le calcul que, si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ est une base des vecteurs du plan, alors l'ensemble $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ forme aussi une base. Si un vecteur $\vec{w}$ a pour coordonnées $(3, 5)$ dans la base $B$, déterminer ses coordonnées dans la nouvelle base $B'$.